Si es posible definir una superficie particular en el espacio tridimensional como [matemática] f (x, y, z) = c [/ matemática], entonces podemos definir un contorno en la superficie mediante parametrización como [matemática] x (t), y (t), z (t) [/ matemáticas]. Entonces, tenemos para todos los puntos en el contorno,
[matemáticas] f (x (t), y (t), z (t)) = c [/ matemáticas]
Calculemos el diferencial total para [matemáticas] f (x (t), y (t), z (t)) [/ matemáticas] con respecto a [matemáticas] t [/ matemáticas]. Obtenemos
[math] df = \ dfrac {\ partial f} {\ partial x} \ mathrm {d} x + \ dfrac {\ partial f} {\ partial y} \ mathrm {d} y + \ dfrac {\ partial f} {\ parcial z} \ mathrm {d} z [/ math]
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[math] = \ left (\ dfrac {\ partial f} {\ partial x} \ mathbf {i} + \ dfrac {\ partial f} {\ partial y} \ mathbf {j} + \ dfrac {\ partial f} {\ partial z} \ mathbf {k} \ right). (\ mathrm {d} x \ mathbf {i} + \ mathrm {d} y \ mathbf {j} + \ mathrm {d} z \ mathbf {k} )[/matemáticas]
Pero como [math] \ mathrm {d} f = 0 [/ math], concluimos
[math] \ left (\ dfrac {\ partial f} {\ partial x} \ mathbf {i} + \ dfrac {\ partial f} {\ partial y} \ mathbf {j} + \ dfrac {\ partial f} { \ parcial z} \ mathbf {k} \ right). (\ mathrm {d} x \ mathbf {i} + \ mathrm {d} y \ mathbf {j} + \ mathrm {d} z \ mathbf {k}) = 0 [/ matemáticas]
El primero de los factores define [math] \ mathbf {\ nabla} f [/ math] mientras que el segundo define un vector tangencial al contorno. Que su producto escalar sea cero implica que son perpendiculares.