¿Por qué los gradientes son perpendiculares a las líneas de contorno en el cálculo multivariado?

Si es posible definir una superficie particular en el espacio tridimensional como [matemática] f (x, y, z) = c [/ matemática], entonces podemos definir un contorno en la superficie mediante parametrización como [matemática] x (t), y (t), z (t) [/ matemáticas]. Entonces, tenemos para todos los puntos en el contorno,

[matemáticas] f (x (t), y (t), z (t)) = c [/ matemáticas]

Calculemos el diferencial total para [matemáticas] f (x (t), y (t), z (t)) [/ matemáticas] con respecto a [matemáticas] t [/ matemáticas]. Obtenemos

[math] df = \ dfrac {\ partial f} {\ partial x} \ mathrm {d} x + \ dfrac {\ partial f} {\ partial y} \ mathrm {d} y + \ dfrac {\ partial f} {\ parcial z} \ mathrm {d} z [/ math]

[math] = \ left (\ dfrac {\ partial f} {\ partial x} \ mathbf {i} + \ dfrac {\ partial f} {\ partial y} \ mathbf {j} + \ dfrac {\ partial f} {\ partial z} \ mathbf {k} \ right). (\ mathrm {d} x \ mathbf {i} + \ mathrm {d} y \ mathbf {j} + \ mathrm {d} z \ mathbf {k} )[/matemáticas]

Pero como [math] \ mathrm {d} f = 0 [/ math], concluimos

[math] \ left (\ dfrac {\ partial f} {\ partial x} \ mathbf {i} + \ dfrac {\ partial f} {\ partial y} \ mathbf {j} + \ dfrac {\ partial f} { \ parcial z} \ mathbf {k} \ right). (\ mathrm {d} x \ mathbf {i} + \ mathrm {d} y \ mathbf {j} + \ mathrm {d} z \ mathbf {k}) = 0 [/ matemáticas]

El primero de los factores define [math] \ mathbf {\ nabla} f [/ math] mientras que el segundo define un vector tangencial al contorno. Que su producto escalar sea cero implica que son perpendiculares.

Hay formas de probar esto rigurosamente, usando algo de geometría diferencial. Pero lo que necesita es una justificación intuitiva.

Vayamos a un punto del gráfico de la función, y nos preguntamos en primer orden en qué dirección ir para seguir la línea de contorno.

Esa dirección podría observarse [matemáticas] \ delta e [/ matemáticas].

Entonces necesitamos [math] f (x + \ delta e) \ simeq f (x) [/ math].

Pero también [math] f (x + \ delta e) \ simeq f (x) + (\ nabla_xf | \ delta e) [/ math].

La conclusión es la siguiente: la dirección de la línea de contorno debe ser perpendicular al gradiente.

Para funciones diferenciables esto es cierto. En cualquier punto hay un plano tangente. Claramente para un plano, el gradiente es perpendicular a las curvas de nivel (para un plano, la curva es una línea). Por lo tanto, la función es localmente “similar a un plano”.

Pero, ¿qué pasa con las funciones que no son localmente planas? Existen funciones no diferenciables con todas las derivadas direccionales existentes. Por ejemplo

f (x, y) = (x ^ 2y) ^ 1/3

Esta función no es diferenciable en (0,0) pero existen todas las derivadas direccionales. Si definimos el gradiente solo por los parciales, entonces esta es una función localmente arrugada. Pero a menudo el gradiente se define solo para funciones diferenciables.