Realmente me gusta cuando las cosas que al principio no parecen tener nada que ver entre sí se complementan perfectamente. Estas son algunas de mis cosas favoritas. Tomaría mucho tiempo explicar completamente cualquiera de estas cosas (desde una sola charla para la primera hasta un curso completo o más para algunas de las otras), así que solo te dejaré buscarlas, como tu los intereses lo dictan.
- Puedes construir códigos de corrección de errores mirando las posiciones perdedoras de ciertos juegos combinatorios. Por ejemplo, las posiciones perdedoras del juego de nim forman un código de Hamming. El código binario de Golay también se puede construir de esta manera, observando las posiciones perdedoras de una generalización de nim.
- La prueba del teorema de Abel-Ruffini, que dice que no existe una fórmula quíntica en términos de radicales. La idea es usar la teoría de Galois: asociar grupos a ciertas extensiones de campo y usar las propiedades de estos grupos (en particular, la capacidad de solución) para decir algo acerca de encontrar raíces de polinomios. De manera análoga, puede usar la teoría diferencial de Galois para mostrar que ciertas funciones no tienen antiderivadas elementales, o que ciertas ecuaciones diferenciales no pueden resolverse en términos de funciones elementales y sus antiderivadas. La misma idea, pero ahora el grupo de Galois es un grupo de mentiras en lugar de un grupo finito.
- En la otra dirección, la teoría de campo de clase, que explica cómo entender las extensiones abelianas de los campos locales y globales en términos de la aritmética de estos campos. Como ejemplo, el grupo de Galois de la extensión abeliana máxima no ramificada en todas partes de un campo numérico (el campo de clase de Hilbert) es isomorfo al grupo de clase.
- La fórmula integral de Cauchy en análisis complejo. Supongamos que estoy pensando en una función “agradable” [matemática] f: \ mathbb {R} ^ 2 \ to \ mathbb {R} [/ math], y le doy una curva cerrada simple [matemática] \ Gamma [/ matemáticas] en el avión. Te digo los valores de [matemáticas] f [/ matemáticas] en [matemáticas] \ Gamma [/ matemáticas]. ¿Puedes determinar el valor de [math] f [/ math] en algún punto del interior? No, porque puede haber muchas funciones con los mismos valores en [math] \ Gamma [/ math] y diferentes valores en su interior. Pero si [math] f [/ math] es una función compleja y diferenciable en [math] \ Gamma [/ math] y su interior, entonces este no es el caso, y de hecho, existe una hermosa fórmula [math] f (z_0 ) = \ frac {1} {2 \ pi i} \ int_ \ Gamma \ frac {f (z)} {z-z_0} \, dz [/ math] para el valor de [math] f [/ math] en [matemáticas] z_0 [/ matemáticas]. Existen otras fórmulas análogas en otras partes de las matemáticas, como el teorema del valor medio para funciones armónicas y la fórmula de Gauss-Bonnet en geometría diferencial.
- La teoría de los dessins d’enfants. La teoría algebraica de números, más o menos, trata de comprender el grupo absoluto de Galois de [math] \ mathbb {Q} [/ math]. Este grupo es enormemente complicado, por lo que uno tiene que verlo observando sus acciones en otros objetos. Una familia de objetos sobre los que, sorprendentemente, actúa es la familia de gráficos bipartitos incrustados en las superficies de Riemann. Resulta que esta acción es fiel, lo que significa que uno puede (¡en teoría!) Entender todo sobre el grupo absoluto de Galois de [math] \ mathbb {Q} [/ math] entendiendo sus acciones solo en estos gráficos. Por ejemplo, Thompson utilizó este enfoque para mostrar que este grupo contiene el famoso grupo de monstruos como cociente.