¿Cuáles son las técnicas matemáticas más interesantes del mundo?

Answer 1

Métodos aleatorizados.

¿Sabías que puedes integrar una función lanzando dardos? El método se llama integración de Monte Carlo.

La idea es que al muestrear aleatoriamente un área (lanzar dardos) puede contar el número de muestras (dardos) que se encuentran dentro de una región en particular y compararlo con el número total de muestras. La proporción de las muestras combinadas con el área de la región total le da el área de la subregión.

De manera similar, puede estimar la integral de una función al muestrearla en puntos aleatorios y luego promediar los valores y escalar el tamaño del dominio.

En un caso extremo, si necesita tomar una integral, pero solo puede evaluar la función una vez que su mejor opción es evaluar la función en un punto aleatorio y escalar el valor por el tamaño del dominio.

En algunos casos, el muestreo aleatorio puede ser un método de integración más eficiente que un método numérico determinista. Por ejemplo, calcular la suma de Riemann de un objeto de alta dimensión es exponencial en la dimensión, mientras que el método de Monte Carlo es independiente de la dimensión . En términos prácticos, las sumas de Riemann comienzan a fallar alrededor de 10 a 20 dimensiones, mientras que el método Monte Carlo funciona bien para cientos de dimensiones.

Los algoritmos aleatorios tienen muchas otras aplicaciones maravillosas. Para nombrar unos pocos…

• Prueba rápida de primalidad
• Mejora del rendimiento del algoritmo (p. Ej., Selección de pivote en Quicksort)
• Búsqueda aleatoria: útil cuando se sabe poco sobre el espacio de búsqueda
• Algoritmos de sistemas distribuidos (retroceso exponencial, elección de líder, etc.)
• Muestreo de grandes conjuntos de datos
• Algoritmos de síntesis (generación de papel y generación de paisajes fractales)

Muchos algoritmos tienen variantes aleatorias y el rango de aplicaciones es bastante sorprendente.

Answer 2

Una de las más flexibles y poderosas es la representación de funciones como una serie infinita de funciones seno y coseno en un rango de frecuencias. Esto se llama la transformada de Fourier y es útil para analizar el comportamiento de los sistemas lineales como funciones de frecuencia.

Hay mucho que decir sobre la variedad de conocimientos y herramientas que ofrece en ingeniería, física, óptica, matemática aplicada y matemática pura. Es increíble. Para una pista, puede leer el artículo de Wikipedia sobre la transformación de Fourier.

Si los premios Nobel hubieran existido en la época de Fourier, lo habría merecido varias veces por esta creación; Lo mismo ocurre con cualquier otro premio en las ciencias matemáticas o de ingeniería.

Answer 3

Diría que la inducción y la prueba por contradicción son las técnicas matemáticas más interesantes del mundo. Me pregunto si AI alguna vez podría deducir que la inducción fue una estrategia legítima para probar algo verdadero, y también como prueba por contradicción.

Answer 4

2015: Teoría general de la relatividad del centenario de Einstein

Me gustan las respuestas cortas, así que disculpas de antemano.

¡Métodos variacionales porque de alguna manera la física inesperadamente, al menos para mí, parece gustarle esta forma de matemática!

Por qué debería ser que las partículas y las ondas parecen explorar todas las posibilidades y terminan encontrando la que es un extremo de la acción es, en mi opinión, absolutamente sorprendente.