Matemáticas: ¿Cómo divido una cantidad dada para que el producto de los fragmentos sea el mayor?

Answer 1

Este es el problema estándar de maximizar [matemáticas] x_1 x_2 x_3… x_n [/ matemáticas] sujeto a una restricción de la forma [matemáticas] x_1 + x_2 + x_3 +… + x_n = y [/ matemáticas]. Podemos hacer la desigualdad de los medios aritmético-geométricos para hacer esto, que establece

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {x_1 + x_2 + x_3 +… + x_n} {n} \ geq (x_1 x_2 x_3… x_n) ^ {1 / n} [/ matemáticas]

donde se alcanza la igualdad si y solo si [matemáticas] x_1 = x_2 = x_3 =… = x_n [/ matemáticas]. (Tenga en cuenta que esto solo se cumple cuando todas las [matemáticas] x_i [/ ​​matemáticas] son ​​números reales no negativos).

Imponer la restricción produce

[matemáticas] \ displaystyle x_1 x_2 x_3… x_n \ leq \ frac {y ^ n} {n ^ n} [/ matemáticas]

cuál es el valor máximo posible del producto. Además, se logra si todos los [math] x_i [/ ​​math] son ​​iguales. Por lo tanto, hemos reducido el problema para maximizar la función en el RHS. Observe que podemos maximizar su logaritmo [matemática] f (n) = n \ log (y) – n \ log (n) [/ math] en su lugar. Al diferenciar y luego igualar a 0 se obtiene la ecuación [matemática] \ log (y) – \ log (n) – 1 = 0 [/ matemática] o [matemática] n = y / e [/ matemática] (Verifique que esto sea, de hecho, un máximo global.) Por lo tanto, obtenemos el valor máximo para el producto cuando el número de factores es más cercano a [math] y / e [/ math]. Como aplicación de esto, considere el caso con 10. Vemos que [matemáticas] 10 / e \ aproximadamente 3.67 [/ matemáticas], por lo que deberíamos considerar los productos con 4 factores (ya que 4 es el entero más cercano). Por lo tanto, podemos decir que el producto máximo se alcanzará para [matemáticas] x_1 = x_2 = x_3 = x_4 = 10/4 = 2.5 [/ matemáticas], lo que produce

[matemáticas] \ displaystyle x_1 x_2 x_3 x_4 = \ frac {625} {16} = 39.0625 [/ matemáticas]

Nota: Cuando el valor [math] y / e [/ math] no está lo suficientemente cerca de un entero como para permitir un juicio fácil, es más seguro probar [math] \ lfloor y / e \ rfloor [/ math] y [math ] \ lfloor y / e \ rfloor + 1 [/ math] como candidatos para maximizar el número de factores.