Cómo probar la fórmula de Wallis sin usar integrales

Answer 1

Defina la fórmula de Wallis por

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {\ pi} {2} = \ prod ^ {\ infty} _ {n = 1} \ frac {(2n) (2n)} {(2n-1) (2n + 1)} .[/matemáticas]

Aquí hay un enfoque que no usa integración, pero usa la fórmula seno de Euler

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {\ sin (x)} {x} = \ prod ^ {\ infty} _ {n = 1} (1- \ frac {x ^ 2} {n ^ 2 \ pi ^ 2} ) ~ \ forall x \ in \ mathbb {R} [/ math]

así como algunas manipulaciones básicas.

Al establecer [math] x = \ frac {\ pi} {2} [/ math] obtenemos

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {2} {\ pi} = \ prod ^ {\ infty} _ {n = 1} (1- \ frac {1} {4n ^ 2}). [/ math]

Invertir da

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {\ pi} {2} = \ prod ^ {\ infty} _ {n = 1} (\ frac {4n ^ 2} {4n ^ 2-1}). [/ math]

Observando que [matemáticas] 4n ^ 2 = (2n) (2n) [/ matemáticas] y [matemáticas] 4n ^ 2-1 = (2n-1) (2n + 1) [/ matemáticas] da el resultado.