1) Primero, realice la sustitución [matemática] x ^ 2 = \ sinh \ theta [/ matemática] para transformar
[matemáticas] \ displaystyle \ int \ frac {1} {(1 + x ^ 4) ^ {1/4}} \, dx [/ matemáticas]
dentro
[matemáticas] \ displaystyle \ frac {1} {2} \ int (\ coth \ theta) ^ {1/2} \, d \ theta [/ math]
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2) Segundo, realice la sustitución [math] u = \ coth \ theta [/ math] para transformar
[matemáticas] \ displaystyle \ frac {1} {2} \ int (\ coth \ theta) ^ {1/2} \, d \ theta [/ math]
dentro
[matemáticas] \ displaystyle \ frac {1} {2} \ int \ frac {u ^ {1/2}} {1-u ^ 2} \, du [/ math]
3) Tercero, realice la sustitución [matemática] t = u ^ {1/2} [/ matemática] para transformar
[matemáticas] \ displaystyle \ frac {1} {2} \ int \ frac {u ^ {1/2}} {1-u ^ 2} \, du [/ math]
dentro
[matemáticas] \ displaystyle \ int \ frac {t ^ 2} {1-t ^ 4} \, dt [/ matemáticas]
4) Cuarto, dividir la fracción en fracciones parciales para transformar
[matemáticas] \ displaystyle \ frac {t ^ 2} {1-t ^ 4} [/ matemáticas]
dentro
[matemáticas] \ displaystyle \ frac {\ frac {1} {4}} {1-t} + \ frac {\ frac {1} {4}} {1 + t} – \ frac {\ frac {1} { 2}} {1 + t ^ 2} [/ matemáticas]
5) Resuelve la integral de
[matemáticas] \ displaystyle \ frac {\ frac {1} {4}} {1-t} + \ frac {\ frac {1} {4}} {1 + t} – \ frac {\ frac {1} { 2}} {1 + t ^ 2} [/ matemáticas]
como
[matemáticas] \ displaystyle – \ frac {1} {4} \ ln (1-t) + \ frac {1} {4} \ ln (1 + t) – \ frac {1} {2} \ arctan t + C [/ matemáticas]
6) Sustituya las variables: [matemáticas] t = u ^ {1/2}, u = \ coth \ theta, \ theta = \ sinh ^ {- 1} (x ^ 2) [/ math] en la expresión anterior para obtener tu respuesta
Uf.