Si [math] x [/ math] no es un múltiplo de 3, ¿por qué [math] x ^ 2 – 1 [/ math] siempre es un múltiplo de 3?

Answer 1

“Si [matemática] x [/ matemática] no es un factor de 3, ¿por qué [matemática] x ^ 2–1 [/ matemática] siempre es un múltiplo de 3?”

[matemática] 6 [/ matemática] no es un factor de [matemática] 3 [/ matemática], pero [matemática] 6 ^ 2–1 = 35 [/ matemática] no es un factor de 3.

Si quiso decir “[matemáticas] x [/ matemáticas] no es un múltiplo de [matemáticas] 3 [/ matemáticas]”, esto se debe a que obliga a [matemáticas] x [/ matemáticas] a parecerse a [matemáticas] 3n + 1 [/ matemática] o [matemática] 3n + 2 [/ matemática]. En el primer caso, [matemáticas] x ^ 2–1 = (3n + 1) ^ 2–1 = 9n ^ 2 + 6n + 1–1 = 9n ^ 2 + 6n = 3 (3n ^ 2 + 2n) [/ matemáticas].

En el segundo caso, obtienes [matemáticas] x ^ 2–1 = (3n + 2) ^ 2–1 = 9n ^ 2 + 12n + 4–1 = 9n ^ 2 + 12n + 3 = 3 (3n ^ 2 + 4n + 1) [/ matemáticas].

Entonces siempre terminas con un múltiplo de 3.

Answer 2

Si [math] x [/ math] no es un múltiplo de 3, entonces [math] x \ not \ equiv 0 \ mod 3 [/ math]. Esto significa que [math] x \ equiv 1 \ mod 3 [/ math] o [math] x \ equiv 2 \ mod 3. [/ Math]

Caso 1: [matemáticas] x \ equiv 1 \ mod 3 \ iff x = 3k_1 + 1 [/ matemáticas] para algún número entero [matemáticas] k_1 [/ matemáticas]

Observe que podemos factorizar [matemáticas] x ^ 2 – 1 [/ matemáticas] como [matemáticas] (x + 1) (x-1) [/ matemáticas]. Ahora, dado que [matemáticas] x = 3k_1 + 1 [/ matemáticas] entonces [matemáticas] x ^ 2 – 1 = (x + 1) (x-1) = (3k_1 + 2) (3k_1) [/ matemáticas] para algunos entero [matemáticas] k_1 [/ matemáticas]. Entonces [matemáticas] x ^ 2 – 1 [/ matemáticas] es un múltiplo de 3.

Caso 2: [matemática] x \ equiv 2 \ mod 3 \ iff x = 3k_2 + 2 [/ matemática] para algún número entero [matemática] k_2 [/ matemática]

Similar al ejemplo anterior [matemáticas] x ^ 2 – 1 = (x + 1) (x-1) = (3k_2 + 3) (3k_2 + 1) = 3 (k_2 + 1) (3k_2 + 1) [/ matemáticas ] para algún número entero [math] k_2. [/ math] Entonces [math] x ^ 2 – 1 [/ math] es un múltiplo de 3.

Por lo tanto, si [math] x [/ math] no es un múltiplo de 3, entonces [math] x ^ 2 – 1 [/ math] es un múltiplo de 3.

Answer 3

Si [math] x [/ math] no es un múltiplo de 3, ¿por qué [math] x ^ 2 – 1 [/ math] siempre es un múltiplo de 3?

La respuesta corta es que 1 es un residuo cuadrático [1] (mod 3), y -1 no lo es.

Para elaborar solo un poco, si [math] x [/ math] no es un múltiplo de [math] 3, [/ math] entonces [math] x = 3k + 1, [/ math] para algún entero, [math ] k, [/ math] o sino [math] x = 3k-1, [/ math] para algún entero, [math] k. [/ math] En cualquier caso, [math] x ^ 2 [/ math] es [matemática] 1 [/ matemática] más que un múltiplo de [matemática] 3, [/ matemática] que puede ver al cuadrar cada representación posible de [matemática] x. [/ matemática]

[matemáticas] \ qquad (3k + 1) ^ 2 = 9k ^ 2 + 6k + 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ qquad (3k-1) ^ 2 = 9k ^ 2-6k + 1 [/ matemáticas]

Notas al pie

[1] Residuo cuadrático – Wikipedia

Answer 4

Primero, tenga en cuenta que [matemáticas] x ^ 2-1 = (x-1) (x + 1) [/ matemáticas]

Tenemos [matemáticas] 3 [/ matemáticas] enteros consecutivos involucrados: [matemáticas] x-1, x, x + 1 [/ matemáticas]. Como estos son [math] 3 [/ math] enteros consecutivos, exactamente uno de ellos debe ser divisible por [math] 3 [/ math]. Como [math] x [/ math] no es divisible por [math] 3 [/ math], uno de [math] x-1 [/ math] o [math] x + 1 [/ math] debe ser, por lo tanto, debe su producto, [matemáticas] x ^ 2-1 [/ matemáticas].

Answer 5

[matemáticas] {x} ^ {2} – 1 = (x + 1) (x-1) [/ matemáticas].

Exactamente uno de [matemática] x-1 [/ matemática], [matemática] x [/ matemática] y [matemática] x + 1 [/ matemática] es divisible por [matemática] 3 [/ matemática].

Entonces, si [math] x [/ math] no es un múltiplo de [math] 3 [/ math], [math] x-1 [/ math] o [math] x + 1 [/ math] lo es, y así [matemáticas] {x} ^ {2} -1 = (x + 1) (x-1) [/ matemáticas] es divisible por [matemáticas] 3 [/ matemáticas].

Answer 6

Supongo que esta pregunta está mal formulada y debería preguntar “Si x no tiene un factor 3, ¿por qué x ^ 2 – 1 siempre tiene un factor de tres? En otras palabras, si x no es divisible por tres, ¿por qué es x ^ 2 – 1 siempre divisible por tres. Así que aquí está la respuesta. Podemos factorizar (x ^ 2 – 1) como (x + 1) tiempo (x – 1). Entonces, si x no es divisible por tres tampoco (x + 1 ) o (x – 1) debe ser. Inténtalo con 7 como ejemplo. 7 no es divisible por 3 pero 7 – 1 = 6. Sí. Prueba 8, que no es divisible por 3, pero 8 + 1 = 9 sí lo es. QED

Answer 7

Si X no es un factor de 3, entonces X + 1 o X-1 debe ser un factor de 3 (para 3 enteros consecutivos 1 debe ser un factor de 3), entonces (X + 1) (X-1) = X ^ 2–1 debe ser divisible por 3. Hay una excepción que X no puede = 0

Answer 8

Supongamos que [math] x [/ math] es un número entero. Cualquier número entero es un múltiplo de [matemática] 3 [/ matemática], [matemática] 1 [/ matemática] más que un múltiplo de [matemática] 3 [/ matemática] o [matemática] 2 [/ matemática] más que un múltiplo de [matemáticas] 3 [/ matemáticas].

Como la pregunta supone que [math] x [/ math] no es un múltiplo de [math] 3 [/ math], tenemos dos casos para [math] x [/ math].

Primero, deje que [math] x = 3m + 1 [/ math], donde [math] m [/ math] también es un número entero. Entonces [matemática] x ^ 2-1 = (9m ^ 2 + 6m + 1) -1 = 3 (3m ^ 2 + 2m) [/ matemática].

Esto es claramente divisible por [matemáticas] 3 [/ matemáticas]; por lo tanto, tenemos que [matemática] x ^ 2-1 [/ matemática] es un múltiplo de [matemática] 3 [/ matemática] en este caso.

Para el siguiente caso, dejamos que [math] x = 3k + 2 [/ math], donde [math] k [/ math] es un número entero. Entonces [matemáticas] x ^ 2-1 = (9k ^ 2 + 12k + 4) -1 = 3 (3k ^ 2 + 4k + 1) [/ matemáticas].

Una vez más, [matemáticas] x ^ 2-1 [/ matemáticas] es un múltiplo de [matemáticas] 3 [/ matemáticas]. Dado que esos son los únicos dos casos para [matemáticas] x [/ matemáticas] no un múltiplo de [matemáticas] 3 [/ matemáticas], vemos que la afirmación es verdadera.

Answer 9

Sospecho que tienes factor y múltiplo mezclado.

(Obviamente, si x = 10, ¡entonces eso no es un factor de 3 y 99 tampoco es un factor de 3!)

Entonces, suponiendo que quiere decir “Si x no es un múltiplo de 3, ¿por qué x ^ 2−1 siempre es un múltiplo de 3?” …

Nunca puede tener una ejecución de más de dos no múltiplos de 3 (por ejemplo, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, … Entonces, si x no es un múltiplo de 3, entonces uno de (x + 1) o (x – 1) debe ser un múltiplo de 3. Y dado que tenemos …

entonces eso debe ser un múltiplo de 3 también.

Answer 10

Tenga en cuenta que esto significa que [matemática] x [/ matemática] deja un resto de [matemática] 1 [/ matemática] o [matemática] 2 [/ matemática] tras la división por [matemática] 3 [/ matemática].

Podemos factorizar [matemáticas] x ^ 2–1 [/ matemáticas] como [matemáticas] (x-1) (x + 1) [/ matemáticas].

Si [math] x \ bmod 3 = 1 \ Leftrightarrow x \ equiv 1 \ pmod {3} \ Leftrightarrow x-1 \ equiv 0 \ pmod {3} [/ math], entonces [math] (x-1) (x +1) [/ math] es un múltiplo de tres.

Si [matemáticas] x \ bmod 3 = 2 \ Leftrightarrow x \ equiv 2 \ pmod {3} \ Leftrightarrow x + 1 \ equiv 2 + 1 \ pmod {3} \ Leftrightarrow x + 1 \ equiv 3 \ pmod {3} \ Flecha izquierda x + 1 \ equiv 0 \ pmod {3} [/ math] entonces [math] (x-1) (x + 1) [/ math] es un múltiplo de tres.

Answer 11

Si x no es un múltiplo de 3, entonces tenemos que:

[matemáticas] \ izquierda | x – c \ right | = 1 [/ matemáticas]

donde c es el múltiplo más cercano de 3 a x en los enteros.

Ahora, tenga en cuenta que:

[matemáticas] x ^ {2} – 1 = (x + 1) (x-1) [/ matemáticas]

Entonces, si x no es un múltiplo de 3, uno de “x + 1” o “x – 1” debe ser un múltiplo de 3, y usted tiene su prueba.

Answer 12

Otra respuesta proviene del Pequeño Teorema de Fermat, que esencialmente establece que [matemáticas] a ^ pa [/ matemáticas] es divisible por p para todos los números primos p y enteros a. Si establece p = 3, lo obtiene realmente: [matemática] x ^ 3-x = x (x ^ 2-1) [/ matemática] es siempre un múltiplo de 3. Y dado que x no lo es, por hipótesis, entonces [matemáticas] x ^ 2-1 [/ matemáticas] es.

Answer 13

Si x ^ 2 no es un múltiplo de 3, entonces [math] x \ not \ equiv 0 mod 3 [/ math]. Esto significa que [math] x \ equiv 1 (mod 3) [/ math] o [math] x \ equiv 2 (mod 3) [/ math].

Teorema: Si [matemática] a \ equiv b (mod ~ m) [/ matemática] y [matemática] c \ equiv d (mod ~ m) [/ matemática] entonces [matemática] ac \ equiv bd (mod ~ m) [ /matemáticas]

Teorema: Si [matemática] a \ equiv b (mod ~ m) [/ matemática] y [matemática] c \ equiv d (mod ~ m) [/ matemática] entonces [matemática] a + c \ equiv b + d (mod ~ m) [/ matemáticas]

Caso 1: Si [matemática] x \ equiv 1 (mod ~ 3) [/ matemática] entonces [matemática] x ^ 2 \ equiv 1 (mod ~ 3) [/ matemática]. Si [matemática] x ^ 2 \ equiv 1 (mod 3) [/ matemática] entonces [matemática] x ^ 2–1 \ equiv 0 (mod 3) [/ matemática].

Caso 2: Si [matemática] x \ equiv 2 (mod ~ 3) [/ matemática] entonces [matemática] x ^ 2 \ equiv 4 (mod ~ 3) [/ matemática]. Si [matemática] x ^ 2 \ equiv 4 (mod ~ 3) [/ matemática] entonces [matemática] x ^ 2–1 \ equiv 0 (mod ~ 3) [/ matemática].

Answer 14

x ^ 2–1 = (x-1) (x + 1)

Si tiene tres enteros consecutivos (x-1), x, (x + 1) uno de ellos debe ser divisible por 3. Si x no es divisible por 3, entonces es (x-1) o (x + 1) ) Por lo tanto (x ^ 2-1) es divisible por 3.

Answer 15

x ^ 2 -1 se puede simplificar a (x + 1) (x-1).

Si x no es un múltiplo de 3, significa que x + 1 es o x-1 es, lo que significa que (x + 1) (x-1) también siempre será un múltiplo de 3.