¿Qué son los trinomios y cómo se hacen en matemáticas? Educación te da un futuro mejor

Los trinomios son polinomios con tres términos, cuando se simplifican (pero aún no se tienen en cuenta).

Honestamente, pueden ser un dolor en el trasero. Un binomio tiene la forma “ax + b” y es estúpidamente fácil de resolver para las tres variables. Un polinomio de cuatro términos es algo así como ax ^ 3 + bx ^ 2 + cx + d. Lo divide en dos binomios, factorice cada binomio si es posible, y ya está.

Un trinomio es mucho más envolvente. Técnicamente, tienes cuatro términos justo antes de terminar con un trinomio.

ejemplo: ax ^ 2 + bx + c es la forma estándar de un trinomio.

El objetivo es factorizar el trinomio para que termine con dos binomios, por ejemplo (a + b) (ab). Son cuatro operaciones, utilizando el método FOIL: a ^ 2 – ab + ab -b ^ 2

-ab + ab = 0, por lo que te queda

a ^ 2 – b ^ 2

como tu solución

El primer término del trinomio determina cuál será el primer término en cada binomio, en su solución. tenemos un ^ 2 y solo puedes obtenerlo multiplicando a * a.

Ahora puede comenzar a configurar su par binomial factorizado:
(a +/-?) (a +/-?)

Observe los signos de interrogación y el +/-. Aún no los hemos determinado, pero puede determinar cuáles serán cada uno de los signos por el orden en que aparecen en la ecuación. Si tiene un signo -, y es el primero en la ecuación, entonces sus signos serán – primero y + segundo, como se muestra a continuación:
(a -?) (a +?)

Si tiene dos aspectos positivos en su trinomio, ambos signos serán +:
(a +?) (a +?)

si su primer signo es positivo y el segundo signo es negativo, entonces tiene
(a +?) (a-?)

Aquí hay algunos ejemplos de mi tarea de matemáticas y cómo resolverlos.

Factorizar trinomios de la forma (x ^ 2) + bx + c:

(x ^ 2) + 7x + 6

El primer término de cada binomio tiene la variable x, y ambos signos son positivos, por lo que podemos comenzar a configurar el par binomial:
(x +?) (x +?)

Ahora aquí es donde se pone difícil: hay que factorizar el segundo y tercer término en el trinomio en un solo paso . La única forma de ser bueno en esto es practicar mucho y eventualmente verás que funciona en tu cabeza. Su objetivo es factorizar 7x y 6 de modo que los dos factores de 6 = 6 cuando se multiplican, e iguales a 7 cuando se suman .

¿Cómo factorizas 6? Al encontrar dos números que se multiplican para formar un producto de 6; en este caso, solo números enteros (y esto es lo que siempre verá en un libro de matemáticas común)

Factores de 6:

6 * 1

1 * 6

-6 * -1

-1 * -6

3 * 2

2 * 3

-3 * -2

-2 * -3

Los números negativos se eliminan automáticamente porque ninguna combinación da 7 positivos. Eso deja:

6 * 1

1 * 6

3 * 2

2 * 3

3 + 2 no es igual a 7, así que eso está fuera. Nos quedan 6 y 1, o 1 y 6. La buena noticia es que, en este caso, no importa en qué orden los conecte, obtendrá el mismo resultado:
(x + 6) (x + 1)

Probemos con otro:

(x ^ 2) + 4x + 3

Tenemos x ^ 2 como primer término, lo que significa que los primeros términos en cada binomio serán x. También tenemos dos signos +, lo que significa que ambos signos serán +, así:
(x +?) (x +?)

Ahora factorizamos 3:

3 * 1

1 * 3

-1 * -3

-3 * -1

Nuestros signos son positivos, por lo que estos negativos están FUERA. Eso deja solo las dos primeras opciones, y en este caso no importa en qué orden las escriba:

(x + 1) (x + 3)

(también se puede escribir como (x + 3) (x + 1) que da el mismo resultado).

Ahora, un ejemplo más y luego pasaremos a algo un poco más desafiante.

(r ^ 2) – r – 42

r está en el primer término, nuestros dos signos son negativos (lo que significa que tenemos a + y a -), y el – viene primero:
(r -?) (r +?)

Factor -42:

-42 * 1

1 * -42

-1 * 42

42 * -1

-7 * 6

6 * -7

-6 * 7

7 * -6

Ahora podemos reducir esto un poco. Recuerde que el segundo término en cada binomio, cuando se multiplica, debe darnos -42. También deben ser iguales a -1 (que es el coeficiente del término medio, r) cuando se combinan juntos. Eso deja de lado las primeras cuatro combinaciones (¡uf!). Ahora puedes mirar las últimas cuatro combinaciones para descubrir cuál, cuando se suman, dará -1. Eso nos deja solo dos opciones (¡sí!):
-7 * 6

6 * -7

Cualquiera de estas combinaciones funcionará, pero solo se verá un poco diferente cuando las FALLE:

(r-7) (r + 6) = (r ^ 2) + 6r – 7r -42 = (r ^ 2) -r – 42 (¡FUNCIONA!)
(r + 6) (r-7) = (r ^ 2) – 7r + 6r – 42 = (r ^ 2) – r – 42 (¡TAMBIÉN FUNCIONA!)

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~

Factorizando trinomios de la forma (ax ^ 2) + bx + c:

Aquí es donde se vuelve un poco más complicado porque ahora también debe factorizar el coeficiente de la primera variable, agregando otra capa de complejidad. Incluso el término medio ahora se factoriza de manera diferente, como verás a continuación. ¡Esto significa que está factorizando los tres términos en un solo paso!

Ejemplo (directamente de mi tarea, donde se da parte de la respuesta):

(2x ^ 2) + 7x + 6 = (2x + 3) (???)

Ambos signos son positivos, por lo que sabemos que tenemos un + en el segundo binomio:
(2x + 3) (? +?)

El primer término también se da: 2x. La única forma de obtener 2x ^ 2 es multiplicar por x:
(2x + 3) (x +?)

Nuevamente, aquí es donde se pone difícil, excepto que la mitad de la respuesta ya se ha dado … de lo contrario, podría estar factorizando por un tiempo. Tenga en cuenta que en el primer binomio en la respuesta tiene +3. El último término en el trinomio es +6. Tienes que multiplicar 3 por algo para obtener 6. Factoriza 6 y la respuesta se aclarará. Aún más fácil, ambos signos en el trinomio son +, por lo que sabemos que no es negativo, y uno de los factores es 3. La única opción es 3 * 2. La respuesta es

(2x + 3) (x + 2)

Si no está seguro de si los factores son correctos, FOIL, luego simplifique:

(2x + 3) (x + 2) = 2x ^ 2 + 4x + 3x = 6

……………… .. = 2x ^ 2 + 7x + 6

¡Presto!

Otro ejemplo:

18x ^ 2 + 27x – 5 = (3x + 5) (???)

El segundo signo en el trinomio es negativo; así es el signo en el segundo binomio:
(3x + 5) (? -?)

Ahora tiene dos términos para factorizar al mismo tiempo: 18x ^ 2 y -5

Comience escribiendo los factores de 18x ^ 2 en papel. Obtiene una pista, y es que necesita multiplicar por x para obtener x ^ 2, por lo que solo necesita factorizar el coeficiente (a continuación como “a”):

(3x + 5) (hacha -?)

todos los factores de número entero de 18:
18 * 1

1 * 18

9 * 2

2 * 9

6 * 3

3 * 6

y también todos los términos anteriores donde ambos números son negativos. Son doce combinaciones totales de factores para 18. Sin embargo, en este caso se nos da 3x como primer término, y la única combinación que dará 18x ^ 2 es multiplicar por 6x. Ahora estamos un paso más cerca:
(3x + 5) (6x -?)

El término final en el trinomio es -5. El segundo término en nuestra respuesta es +5. La única forma de obtener -5 es multiplicar +5 por -1:
(3x + 5) (6x-1)

Nuevamente, para verificar, FOIL, luego simplifique:

(3x + 5) (6x-1) = 18x ^ 2 – 3x + 30x – 5 = 18x ^ 2 + 27x – 5

¡Hecho! 🙂

Aquí hay uno más difícil de mi tarea (más difícil porque la mitad de la respuesta no se proporcionó con esta pregunta)

Factor: 4c ^ 2 + 9c + 5

Factoriza los 4 y 5 por separado:

4 =

4 * 1

1 * 4

2 * 2

5 =

5 * 1

1 * 5

Dado que ambos signos en la ecuación son positivos, no debemos preocuparnos por los factores negativos de 4 o 5, por lo que podemos comenzar a configurar nuestro par binomial:
(ac +?) (bc +?)

La única forma de resolver esto es con un método particularmente brutal de “prueba y error” (así se llama en mi libro de matemáticas). Mirando los factores anteriores, solo tenemos 6 combinaciones para trabajar, ¡así que comencemos!
(4c + 5) (c + 1) = 4c ^ 2 + 4c + 5c +5 = 4c ^ 2 + 9c + 5

¡Suerte! ¡La primera combinación que elegí fue correcta! Sin embargo, no siempre es tan fácil. Revisé veinte combinaciones de factores hasta que encontré la respuesta correcta.

Aquí hay un último ejemplo:

(8 años ^ 2) – 17 años + 9

Tenemos y ^ 2 al principio, por lo que sabemos que y estará en el primer término de cada binomio; También tenemos un signo – y un signo +. Eso nos dice que tenemos dos términos negativos, lo que significa dos signos, y el primer signo en el trinomio es a, lo que significa que viene primero en la solución:

(ay -?) (por -?)

Factoriza 8 y 9 por separado:

8 =

8 * 1

1 * 8

4 * 2

2 * 4

y negativos para cada par, para 8 combinaciones en total

9 =

9 * 1

1 * 9

3 * 3

y negativos para cada par, para seis combinaciones para 9. ¡Eso significa que tenemos 48 combinaciones posibles para resolver! 🙁 Pero como dije anteriormente, una vez que empiezas a entender esto, básicamente puedes adivinar qué factores funcionarán. Además, debido a que el primer signo en el trinomio es un – y el segundo es positivo, sabemos que solo usaremos factores negativos de 9. Eso nos reduce a 48 combinaciones. ¡Uf! Entonces comencemos:

(8y-1) (y-9) = (8y ^ 2) – 72y – y + 9 = (8y ^ 2) – 73y + 9 (¡NO! No funciona)

(8y-9) (y-1) = (8y ^ 2) – 8y – 9y + 9 = (8y ^ 2) – 17y + 9 (¡FUNCIONA!)

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~

Lo que quiero que saque de esto es que factorizar trinomios es fácil, pero tedioso y ocasionalmente lento (especialmente cuando factoriza números muy grandes en los tres términos en el trinomio). Mi profesor lo expresó así: “Lo que buscamos en la universidad es la tenacidad. Su capacidad para seguir con un problema hasta que se resuelva ”(parafraseado). No puedo pensar en un mejor ejemplo de esto que factorizar trinomios: a veces puedes adivinarlo sin siquiera escribir los factores, a veces tienes que pasar por 30 intentos para hacerlo bien. Pero quédese con él y eventualmente será fácil y rápido también.

Felicidades. Acabas de recibir una conferencia matemática de 2 horas sobre factorización de trinomios de forma gratuita. De nada.