¿Por qué no es [math] | a + bi | [/ math] igual a [math] \ sqrt {a ^ 2 + (bi) ^ 2} [/ math] sino que es igual a [math] \ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}? [/ Matemáticas]

Answer 1

Hola,

Para simplificar un poco las cosas: el valor absoluto de cualquier número es su distancia desde cero. Por lo tanto, el valor absoluto de [matemáticas] {{a ^ 2} + {i * b ^ 2}} [/ matemáticas] sería …

El círculo azul es todos los arreglos de puntos que tienen el valor absoluto de la expresión original si incluimos el número imaginario i. La distancia de la línea roja es la distancia real o el valor absoluto. Podemos descubrir esto usando el teorema de Pitágoras.

Cuando encontramos el valor absoluto de un número complejo, tenemos que considerar el hecho de que la cuadrícula funciona en unidades normales. Si elegimos usar el círculo azul, nuestros cálculos estarían terriblemente mal y no tendrían sentido. Esto se deriva del teorema de Pitágoras. Consulte mis otras respuestas para obtener más información sobre ese tema.

Gracias

-Pierre

Answer 2

Esta es una pregunta que desconcierta a muchos estudiantes, desafortunadamente especialmente durante las pruebas cuando nunca antes habían pensado en hacerlo.

El número complejo z = a + ib dibujado en un diagrama Argand es así

donde ayb son las mismas unidades de medida (como centímetros).

Básicamente, comenzando desde el origen, vaya una distancia ” a ” centímetros a lo largo del eje real y luego suba una distancia ” b ” centímetros, ¡no una distancia de centímetros ” ib” !

El problema proviene de etiquetar los ejes como este a continuación:

Las distancias en el eje imaginario no se miden i, 2i, 3i, 4i …

Deben ser solo 1, 2, 3, 4 …

EDITAR:

Creo que un ejemplo con números sería muy informativo.

Sea z = 4 + 3i

Comenzamos desde O y nos movemos una distancia de 4 unidades en la dirección real

entonces nos movemos una distancia de 3 en la dirección imaginaria (no una distancia de 3i ).

Answer 3

Definimos el | z | para emular la comparación que podemos hacer en números reales (distancia entre x e y como | xy |). Esta comparación (en reales) conduce a muchas propiedades interesantes que nos permiten aplicar intuitivamente el concepto de números reales para comprender el mundo que nos rodea. Tener una comparación similar en números complejos tiene sentido. Como podemos comparar números reales, tiene sentido adjuntar un número real a un número complejo dado con relación directa al número complejo. Entonces definimos | a + ib | como la distancia desde el origen. Esto nos permite decir que la distancia entre los números complejos z y s es | zs |.

Answer 4

Una definición del módulo de un número complejo es [math] | z | = \ sqrt {z \ cdot \ bar {z}} [/ math] Aquí [math] \ bar {z} [/ math] es el conjugado complejo de [matemáticas] z [/ matemáticas]. Si [matemática] z = a + bi [/ matemática] entonces [matemática] \ bar {z} = a-bi [/ matemática].

Entonces [math] z \ cdot \ bar {z} = (a + bi) (a-bi) = a ^ 2- (bi) ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 [/ math]. Así [matemáticas] | z | = \ sqrt {a ^ 2- (bi) ^ 2} [/ matemáticas].

Esto difiere de su definición [math] \ sqrt {a ^ 2 + (bi) ^ 2} = \ sqrt {a ^ 2-b ^ 2} [/ math]. El problema es que el módulo debe ser una extensión del valor absoluto de un número real. Está destinado a medir una distancia desde 0 y debe tener valores reales no negativos. Según su definición, es posible tener un valor imaginario para el módulo. Por ejemplo, tendría [math] | 1 + 2i | = \ sqrt {1-4} = \ sqrt {3} i [/ math]. Además, el número [math] \ sqrt {3} [/ math] no tiene significado con respecto a la distancia de [math] z = 1 + 2i [/ math] desde 0.

Bajo la definición estándar [matemática] | 1 + 2i | = \ sqrt {1 + 4} = \ sqrt {5} [/ matemática] que es precisamente la distancia desde [matemática] (0,0) [/ matemática] a [ matemáticas] (1,2) [/ matemáticas] en el plano cartesiano.

Answer 5

Gracias por el A2A!

[matemática] | x | [/ matemática] a veces se usa para describir la distancia de [matemática] x [/ matemática] a [matemática] 0 [/ matemática] en la recta numérica, por lo que tiene sentido para [matemática] | x + iy | [/ math] es la distancia desde el origen, por lo tanto, desde la fórmula de distancia:

[matemáticas] | x + iy | = \ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} [/ matemáticas]

Answer 6

Ah Una pregunta sobre números complejos. [math] | f (z) | [/ math] es una expresión de tamaño (esto es más fácil de comprender si miramos [math] a + bi [/ math] como un conjunto de coordenadas con un ser en el eje x yb está en la Y. Ahora debe quedar claro por qué es [matemáticas] \ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2} [/ matemáticas] en lugar de [matemáticas] \ sqrt {a ^ 2 + (bi) ^ 2 }[/matemáticas].

Answer 7

El valor absoluto no significa hacer algo positivo, sino encontrar qué tan lejos está algo de cero.

Los números complejos generalmente se grafican de manera similar a un par ordenado. El eje x representa la porción real y el eje y representa la porción imaginaria. Por lo tanto, a + bi está representado por el par ordenado (a, b).

Usando el teorema de Pitágoras, puedes encontrar la distancia de (a, b). La razón por la que no utiliza ayb es, por ejemplo, porque podría recibir fácilmente un número imaginario como resultado, que no es una distancia representativa.

Answer 8

Porque por definición [math] | z | [/ math] debe ser un número real no negativo . Ahora si [matemáticas] 1 \ lt | a | \ lt | b | [/ math] que [math] a ^ 2 + (bi) ^ 2 = a ^ 2-b ^ 2 \ lt 0 [/ math]

por lo tanto [math] \ sqrt {a ^ 2 + (bi) ^ 2} \ notin \ mathbb R [/ math] y esto iría en contra de la definición.

Answer 9

Porque queremos | x | ser positivo siempre que x sea distinto de cero, y sqrt (a ^ 2 + (bi) ^ 2)) sería negativo siempre que | b |> | a |.