Cómo resolver esta pregunta matemática sobre geometría circular

Answer 1

La ecuación de un círculo con el centro (a, b) y el radio R en un plano cartesiano bidimensional es:

[matemáticas] (xa) ^ 2 + (yb) ^ 2 = R ^ 2 [/ matemáticas]

(Si algo de esto no está claro para usted, es posible que desee leer esto: Ecuaciones circulares).

Tenemos un cierto círculo con dos puntos A y B en él. Necesitamos demostrar que su centro se encuentra en una línea determinada. Marquemos las coordenadas del centro como (a, b), y el radio del círculo como R. Entonces, la ecuación de nuestro círculo, como se mencionó anteriormente, es:

[matemáticas] (xa) ^ 2 + (yb) ^ 2 = R ^ 2 [/ matemáticas]

Sabemos que el punto (3,5) está en el círculo (Punto A). Pongamos sus coordenadas en la ecuación del círculo:

[matemáticas] (3-a) ^ 2 + (5-b) ^ 2 = R ^ 2 [/ matemáticas]

Sabemos que el punto (9, -3) también está en el círculo (Punto B). Pongamos sus coordenadas en la ecuación del círculo:

[matemáticas] (9-a) ^ 2 + (-3-b) ^ 2 = R ^ 2 [/ matemáticas]

Construimos 2 ecuaciones con nuestros parámetros a y b. Como ambas ecuaciones son iguales a [matemáticas] R ^ 2 [/ matemáticas], podemos equipararlas:

[matemáticas] (3-a) ^ 2 + (5-b) ^ 2 = (9-a) ^ 2 + (-3-b) ^ 2 [/ matemáticas]

Ahora podemos expresar un parámetro con el otro. Intentemos expresar b con a.

[matemáticas] 9-6a + a ^ 2 + 25-10b + b ^ 2 = 81-18a + a ^ 2 + 9 + 6b + b ^ 2 [/ matemáticas] ->

[matemáticas] -6a + 25-10b = 81-18a + 6b -> [/ matemáticas]

[matemáticas] -16b = 56-12a [/ matemáticas]

[matemáticas] -16b = 4 (14-3a) [/ matemáticas]

[matemáticas] 4b = – (14-3a) [/ matemáticas]

[matemáticas] b = \ frac {- (14-3a)} {4} [/ matemáticas]

Ahora podemos expresar el centro del círculo usando el parámetro a.

Centro: [matemáticas] (a, \ frac {- (14-3a)} {4}) [/ matemáticas]

Para verificar si un punto se encuentra en un gráfico de una determinada función, debe conectar las coordenadas del punto a la ecuación de la función. Si consigues que ambos lados de la ecuación son iguales (0 = 0), entonces el punto está en la gráfica.

Necesitamos demostrar que el centro del círculo se encuentra en la línea [matemáticas] 4y-3x + 14 = 0 [/ matemáticas]. Pongamos las coordenadas del centro en la ecuación:

[matemáticas] 4 * \ frac {- (14-3a)} {4} -3a + 14 = 0 [/ matemáticas] ->

[matemáticas] – (14-3a) -3a + 14 = 0 [/ matemáticas] ->

[matemáticas] -14 + 3a-3a + 14 = 0 [/ matemáticas] ->

[matemáticas] 0 = 0 [/ matemáticas]

QED

Answer 2

Deje que el centro del círculo sea (x, y) y que el radio sea r .

La distancia de (x, y) a (3, 5) debe ser r

Un diagrama puede ayudar:

Del mismo modo, la distancia de (x, y) a (9, – 3) también debe ser r, de modo que tenemos otra ecuación que conecta x, y y r.

entonces nos quedamos con: – 18x + 81 + 6y = – 6x – 10y + 25

simplificando: 16y – 12x – 56 = 0

dividir por 4: 4y – 3x – 14 = 0

Esto significa que el centro (x, y) debe satisfacer esta condición, es decir, debe estar en la línea representada por esta ecuación.

Answer 3

llamemos a C (x, y) el centro del círculo.

Por definición, significa CA = CB, lo que significa que C está en el bissector ortogonal de [AB]

si llamamos a I el punto medio de [AB], se obtiene una ecuación fácil usando un producto escalar:

[matemáticas] \ vec {CI}. \ vec {AB} = 0 [/ matemáticas]

Answer 4

El centro del círculo debe estar a la misma distancia de cada uno de esos dos puntos. Una línea recta contiene todos esos puntos, y es lo suficientemente fácil como para descubrir su ecuación.

Answer 5

Te daré una pista. El centro del círculo debe estar en la línea perpendicular a esa a través de los dos puntos dados. Además, debe cortar eso por la mitad. Tomar desde allí.

Answer 6

Haz que la línea pase por esos dos puntos. Verifica la pendiente de la línea.

Puedes calcularlo como -4/3.

Haga que la línea dada tenga el formato Y = MX + C

Verifica la pendiente.

es 4/3.

Lo que significa que estas dos líneas son perpendiculares.

Verifique el punto de cruce de estas dos líneas.

Es el punto de bisección de la línea que conecta dos puntos.

“La bisección perpendicular de una línea que conecta dos puntos en un círculo pasa por el centro del mismo círculo”. Ese es un teorema

Answer 7

Hecho