¿Cuál es la integral de [math] \ tan {3x} [/ math]?

Answer 1

Deje [math] {\ displaystyle I = \ int \ tan (3 x) \, dx} [/ math]

Sustituyendo:

[matemáticas] u = 3x; du = 3 dx [/ matemáticas]

[matemáticas] {\ displaystyle I = \ frac {1} {3} \ int \ tan (u) \, du = \ frac {1} {3} \ int \ frac {\ sin (u)} {\ cos ( u)} \, du} [/ matemáticas]

Sustituyendo nuevamente:

[matemáticas] z = \ cos (u); dz = (- \ sin (u)) du [/ math]

[matemáticas] {\ displaystyle I = – \ frac {1} {3} \ int \ frac {1} {z} \, dz = – \ frac {\ ln (z)} {3} + constante} [/ math ]

Sustituyendo de nuevo:

[matemática] {\ displaystyle I = – \ frac {\ ln (z)} {3} + constante = – \ frac {1} {3} \ ln (\ cos (u)) + constante} [/ matemática]

[matemáticas] \ boxed {{\ displaystyle I = \ int \ tan (3 x) \, dx = – \ frac {1} {3} \ ln (\ cos (3 x)) + constante}} [/ math]

A continuación se muestra una gráfica de la parte real (en azul) y de la parte imaginaria (en rojo) de la integral dada (de Wolfram Alpha):

En general, para una constante arbitraria [matemática] n [/ matemática], la integral es igual a:

[matemáticas] {\ displaystyle \ int \ tan (nx) \, dx = – \ frac {\ ln (\ cos (nx))} {n} + constante} [/ matemáticas]

Como resultado relacionado, la solución a la integral definida (con [matemáticas] a [/ matemáticas] y [matemáticas] b [/ matemáticas] como límites de integración) es:

[matemáticas] {\ displaystyle \ int_a ^ b \ tan (nx) \, dx = \ frac {\ ln {\ displaystyle \ left (\ frac {\ cos (an)} {\ cos (bn)} \ right)} } {n} = \ frac {\ ln (\ cos (an) \ sec (bn))} {n}}, [/ math]

donde [math] \ cos (bn) \ geq 0 \ land \ cos (an) \ geq 0. [/ math]

Answer 2

[matemáticas] \ displaystyle \ Rightarrow I = \ int \ tan (3x) \ mathrm {dx} [/ math]

Deje que [math] u = 3x \ rightarrow \ mathrm {du} = 3 \ mathrm {dx} \ rightarrow \ dfrac {\ mathrm {du}} {3} = \ mathrm {dx} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ dfrac {1} {3} \ int \ tan (u) \ mathrm {du} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ dfrac {1} {3} \ int \ dfrac {\ sin (u)} {\ cos (u)} \ mathrm {du} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = – \ dfrac {1} {3} \ int – \ sin (u) \ cdot {(\ cos (u))} ^ {- 1} \ mathrm {du} [/ math]

Aplicar la regla de la cadena inversa,

[matemáticas] \ displaystyle = – \ dfrac {1} {3} \ ln | \ cos (u) | [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ boxed {I = – \ dfrac {1} {3} \ ln | \ cos (3x) | + C} [/ matemáticas]

Answer 3

Deje que [math] T = \ displaystyle \ int \ tan {nx} \, \ mathrm dx [/ math], [math] n \ in \ mathbb {N} [/ math].

Recuerde que [math] \ tan {\ theta} \ equiv \ dfrac {\ sin {\ theta}} {\ cos {\ theta}} [/ math].

Deje [math] u = \ cos {nx} \ \ por lo tanto \ mathrm du = -n \ sin {nx} \, \ mathrm dx [/ math].

[matemáticas] \ begin {align} \ por lo tanto T & = – \ frac {1} {n} \ int \ frac {-n \ sin {nx}} {\ cos {nx}} \, \ mathrm dx \\ & = – \ frac {1} {n} \ int \ frac {1} {u} \, \ mathrm du \\ & = – {\ textstyle \ frac {1} {n}} \ log \ left \ lvert u \ right \ rvert \\ & = \ boxed {- {\ textstyle \ frac {1} {n}} \ log \ left \ lvert \ cos {nx} \ right \ rvert + C} \ end {align} [/ math]

Esto nos da un resultado general para la integral de [math] \ tan {nx} [/ math]. Configurando [math] n = 3 [/ math] obtenemos:

[matemáticas] \ displaystyle \ int \ tan {3x} \, \ mathrm dx = \ boxed {- {\ textstyle \ frac {1} {3}} \ log \ left \ lvert \ cos {3x} \ right \ rvert + C} [/ matemáticas]

---

Letra pequeña: • cuando uso [math] \ log [/ math] esto denota un logaritmo natural (base [math] e [/ math] ); si se pretende cualquier otra base, se mostrará como un subíndice • Generalmente omito las constantes de integración de integrales indefinidas hasta que muestre un resultado final •

Answer 4

No es tan difícil evaluar este.

[matemática] \ int \ tan 3x \ mathrm {d} x = \ int \ dfrac {\ sen 3x} {\ cos 3x} \ mathrm {d} x \ tag * {} [/ math]

U-sub

[matemática] u = \ cos 3x, \ mathrm {d} u = -3 \ sin 3x \ mathrm {d} x \ tag * {} [/ math]

[matemáticas] \ int \ dfrac {\ sin 3x} {\ cos 3x} \ mathrm {d} x = – \ dfrac {1} {3} \ int \ dfrac {\ mathrm {d} u} {u} \ tag *{}[/matemáticas]

[matemáticas] – \ dfrac {1} {3} \ int \ dfrac {\ mathrm {d} u} {u} = – \ ln u + c \ tag * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] – \ ln u + c = \ dfrac {1} {3} \ ln \ dfrac {1} {u} + c \ tag * {} [/ matemáticas]

[math] \ int \ tan 3x \ mathrm {d} x = \ dfrac {1} {3} \ ln \ frac {1} {\ cos 3x} + c \ tag * {} [/ math]

Answer 5

Podemos dejar

u = cos (3 * x),

entonces

du = (-3) * sin (3 * x) * dx

Además, reescribamos tan (3x) como seno sobre coseno.

tan (3 * x) = sin (3 * x) / cos (3 * x)

∫ tan (3 * x) * dx = ∫ [sin (3 * x) * dx] / cos (3 * x)

= ∫ (-1/3) * [(-3) * sin (3 * x) * dx] / cos (3 * x)

= -1/3 * ∫ [(-3) * sin (3 * x) * dx] / cos (3 * x)

Recuerde u = cos (3 * x) y du = (-3) * sin (3 * x) * dx. Entonces nuestra ecuación se convierte en –

-1/3 * ∫ 1 / u * du = -1/3 * ln (u) + c

-1/3 * ln (u) + c = -1/3 * ln [cos (3 * x)] + c

Answer 6

No hago tus posibles problemas de tarea, consulta (lee y problemas de trabajo en) tu libro de texto y le pido ayuda a tu maestro / profesor para resolver esos problemas.

No doy respuestas a preguntas que puedas resolver por ti mismo con un poco de estudio, descúbrelas por ti mismo en lugar de preguntar por Quora.

Answer 7

[matemáticas] \ displaystyle \ int \ tan 3x \, dx [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ displaystyle \ frac 13 \ int \ tan 3x \, d \, (3x) [/ math]

[matemáticas] =… [/ matemáticas]

[matemáticas] = – \ displaystyle \ frac 13 \ ln | \ cos 3x | + C [/ matemáticas]

¡Hecho! ✔

Aquí está la explicación: la respuesta de Dominic Shum a Tenemos una regla de cadena en la diferenciación. ¿Existe una regla similar en la integración?

Answer 8

Antes que nada debes saber que la integral de tan (x) es ln | secx |.

Cuando multiplicamos x por algún coeficiente, dividimos la respuesta por ese coeficiente.

Entonces, integración de tan (3x) = (ln | sec (3x) |) / 3.