Entonces, acabo de leer este libro llamado “Inside Interesting Integrals”, de Paul J. Nahin. Tenía sentimientos muy encontrados sobre este libro, que creo que se puede resumir mejor con el siguiente diagrama de Venn:
¡Sin embargo, aprendí algunas técnicas de integración realmente inteligentes que realmente te dan la respuesta 1! Aquí hay algunos de ellos y sus soluciones:
Problema # 1:
[matemáticas] \ displaystyle \ int_2 ^ 4 \ frac {\ sqrt {\ ln (9-x)}} {\ sqrt {\ ln (9-x)} + \ sqrt {\ ln (x + 3)}} dx = 1 [/ matemáticas]
Parece que mi perro literalmente se comió un libro de texto de Cálculo y arrojó este problema nuevamente. Este problema fue presentado como el Problema B1 en el examen Putnam de 1987 y tiene un pequeño truco. El problema es que se ve asqueroso. Raíces cuadradas en el denominador con logaritmos, y sin embargo, nada salta a la vista si desea probar la sustitución en U.
Sin embargo, con suficiente violín, encontrará el problema de tener esta extraña simetría con la inteligente sustitución de [math] u = 6-x \ implica du = -dx: [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle \ int_2 ^ 4 \ frac {\ sqrt {\ ln (9-x)}} {\ sqrt {\ ln (9-x)} + \ sqrt {\ ln (x + 3)}} dx = \ int_4 ^ 2 \ frac {\ sqrt {\ ln (u + 3)}} {\ sqrt {\ ln (u + 3)} + \ sqrt {\ ln (9-u)}} (-du) [ /matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle = \ int_2 ^ 4 \ frac {\ sqrt {\ ln (u + 3)}} {\ sqrt {\ ln (u + 3)} + \ sqrt {\ ln (9-u)}} du [/ math]
Se parece mucho a la primera integral, con el numerador cambiado al otro factor que estaba en el denominador. Ahora mira esto :
[matemáticas] \ displaystyle 2 \ int_2 ^ 4 \ frac {\ sqrt {\ ln (9-x)}} {\ sqrt {\ ln (9-x)} + \ sqrt {\ ln (x + 3)}} dx = \ int_2 ^ 4 \ frac {\ sqrt {\ ln (9-x)}} {\ sqrt {\ ln (9-x)} + \ sqrt {\ ln (x + 3)}} dx + \ int_2 ^ 4 \ frac {\ sqrt {\ ln (x + 3)}} {\ sqrt {\ ln (9-x)} + \ sqrt {\ ln (x + 3)}} dx [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle = \ int_2 ^ 4 \ frac {\ sqrt {\ ln (9-x)} + \ sqrt {\ ln (x + 3)}} {\ sqrt {\ ln (9-x)} + \ sqrt {\ ln (x + 3)}} dx = \ int_2 ^ 4 dx = 2 [/ math]
Recordando que esto es en realidad el doble de la integral que estamos buscando, podemos dividir ambos lados entre dos para obtener
[matemáticas] \ displaystyle \ int_2 ^ 4 \ frac {\ sqrt {\ ln (9-x)}} {\ sqrt {\ ln (9-x)} + \ sqrt {\ ln (x + 3)}} dx = 1 [/ matemáticas]
Problema # 2:
[matemáticas] \ displaystyle \ int _ {- \ frac {\ pi} {2}} ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ frac {\ cos (x)} {e ^ {1 / x} +1 } dx = 1 [/ matemáticas]
* aumento de la frecuencia cardíaca * Primero, vemos que los límites de la integral son simétricos. También sabemos que podemos escribir cualquier función [matemática] g (x) [/ matemática] como la suma de una función par [matemática] g_e (x) [/ matemática] y una función impar [matemática] g_o (x) [ / math] usando la siguiente descomposición:
[matemáticas] \ displaystyle g_e (x) = \ frac {g (x) + g (-x)} {2} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle g_o (x) = \ frac {g (x) – g (-x)} {2} [/ matemáticas]
Sobre límites simétricos, vemos que la función impar se anula.
[matemáticas] \ displaystyle \ int _ {- a} ^ ag (x) dx = \ int _ {- a} ^ a g_e (x) dx + \ int _ {- a} ^ a g_o (x) dx = \ int _ {- a} ^ a g_e (x) dx [/ math]
Por lo tanto, la integral original es igual al componente de función par de la integral . Aplicando esto a nuestra primera integral, vemos que se ve mucho mejor después de la reducción:
[matemáticas] \ displaystyle \ int _ {- \ frac {\ pi} {2}} ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ frac {\ cos (x)} {e ^ {1 / x} +1 } dx = \ int _ {- \ frac {\ pi} {2}} ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ left (\ frac {\ cos (x)} {2} \ right) \ left ( \ frac {1} {e ^ {1 / x} +1} + \ frac {1} {e ^ {- 1 / x} +1} \ right) dx [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle = \ int _ {- \ frac {\ pi} {2}} ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ frac {\ cos (x)} {2} \ left (\ frac { (e ^ {1 / x} +1) + (e ^ {- 1 / x} +1)} {(e ^ {1 / x} +1) (e ^ {- 1 / x} +1)} \ right) dx = \ int _ {- \ frac {\ pi} {2}} ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ frac {\ cos (x)} {2} \ left (\ frac {e ^ {1 / x} + e ^ {- 1 / x} +2} {e ^ {1 / x} + e ^ {- 1 / x} +2} \ right) dx [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle = \ int _ {- \ frac {\ pi} {2}} ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ frac {\ cos (x)} {2} dx = \ frac {\ sin (\ pi / 2) – \ sin (- \ pi / 2)} {2} = 1 [/ math]
Problema # 3:
[matemáticas] \ displaystyle \ int_0 ^ {\ left (\ sqrt {e} –1 \ right) ^ 2} \ frac {dx} {x + \ sqrt {x}} = 1 [/ math]
Es cierto que los límites se eligieron de modo que la integral sea 1, pero el truco sigue siendo muy útil. Primero, consideremos un caso más general:
[matemáticas] \ displaystyle \ int \ frac {dx} {x + x ^ m} = \ int \ frac {x ^ {- m}} {x ^ {1-m} +1} dx [/ math]
Algunas ilusiones hacen que esto se parezca a algo que se integra a un logaritmo (la parte superior se parece mucho a la derivada de la parte inferior). Podemos determinar cuál debería ser la derivada y, con suerte, trabajar hacia atrás:
[matemáticas] \ displaystyle \ frac {d} {dx} \ ln (x ^ {1-m} +1) = \ frac {(1-m) x ^ {1-m-1}} {x ^ {1 -m} +1} = \ frac {(1-m) x ^ {- m}} {x ^ {1-m} +1} [/ matemática]
Hasta una constante, esto se parece a nuestro integrando. Dividir por esta constante nos da la siguiente evaluación, que ahora hemos realizado ingeniería inversa:
[matemáticas] \ displaystyle \ int \ frac {dx} {x + x ^ m} = \ frac {1} {1-m} \ ln (x ^ {1-m} +1) + C [/ matemáticas]
Ahora podemos hacer la sustitución [math] m = \ frac {1} {2} [/ math] y evaluar:
[matemáticas] \ displaystyle \ int_0 ^ {(\ sqrt {e} –1) ^ 2} \ frac {dx} {x + \ sqrt {x}} = \ frac {1} {1-1 / 2} \ ln ( x ^ {1-1 / 2} +1) \ Big | _0 ^ {(\ sqrt {e} –1) ^ 2} = 2 (\ ln (\ sqrt {(\ sqrt {e} –1) ^ 2 } +1)) = 1 [/ matemáticas]
Las ilusiones y la ingeniosa ingeniería inversa pueden ser realmente útiles para este tipo de problemas.
Referencia :
Nahin, PJ Inside Integrales interesantes; Springer-Verlag New York Inc .: Nueva York, 2014.
