¿Qué significa [math] \ bigcap ^ \ infty_ {i = 1} (i-1, i) = \ emptyset [/ math]?

Los objetos [matemática] (i-1, i) [/ matemática] son intervalos abiertos de números reales para cada [matemática] i [/ matemática]. Por ejemplo, [matemática] (0,1) [/ matemática] es el conjunto de todos los números reales [matemática] x [/ matemática] que satisfacen [matemática] 0 <x <1. [/ Matemática]

La notación [math] cup [/ math] denota set-union. Toma una entrada de una colección de conjuntos y genera un nuevo conjunto cuyos miembros son las entradas que comparten todos los conjuntos de entrada.

La notación [math] cup_ {i = 1} ^ {\ infty} [/ math] significa que debemos ingresar todos los conjuntos [math] (i-1, i) [/ math] en la operación set-union .

Ese símbolo [math] \ emptyset [/ math] denota el conjunto vacío, que es el conjunto que no contiene nada.

La expresión que ha proporcionado nos dice que no hay un número compartido por cada uno de los intervalos [matemáticas] (i-1, 1) [/ matemáticas].

[matemáticas] \ bigcap_ {i = 1} ^ {\ infty} (i-1, i) = \ bigcap ((0,1), (1,2), (2,3)… \ infty) [/ math ]

Esto es obviamente [matemática] \ phi [/ matemática] porque no hay elementos comunes a todos los conjuntos en el lado derecho.

Significa que la intersección de todos los pares ordenados (i-1, i), donde tomo todos los valores entre 1 y el infinito, es un conjunto vacío. Se puede ver fácilmente como los pares ordenados. (0,1), (1,2), … no tienen nada en común para i infinito. Entonces su intersección es un conjunto vacío.

Significa que los conjuntos [matemática] (0,1), (1,2), (2,3), (3,4), \ ldots [/ matemática] no comparten un elemento común, excepto el conjunto vacío.