Deje que la media aritmética de [math] x_1 [/ math] y [math] x_2 [/ math] sea [math] \ bar {x_a} [/ math] y la media geométrica [math] \ bar {x_g} [/ math ] ¿Hasta dónde puede determinar [matemáticas] x_1 [/ matemáticas] y [matemáticas] x_2 [/ matemáticas] con solo conocimiento de [matemáticas] \ Delta x = \ bar {x_a} – \ bar {x_g}> 0 [/ matemáticas] ?

Answer 1

Hay muchas pruebas de esta desigualdad (GM ≤AM OR (x1⋅x2) ^ (1/2) ≤ (x1 + x2) / 2)

DEJE una función f (x) = ln (x) donde x pertenece (0, infinito)

f ‘(x) = 1 / x

f ” (x) = – 1 / x ^ 2

ya que f ” (x) <0 cóncava hacia abajo

asumir un intervalo (x1, x2)

ya que la función es continua y diferenciable en (0, infinito)

utilizando el teorema del valor medio en (x1, (x1 + x2) / 2)

existe un c1 tal que f ‘(c1) = [f ((x1 + x2) / 2) -f (x1)] / [(x1 + x2) / 2-x1]

y nuevamente aplique MVT en ((x1 + x2) / 2, x2)

existe un c2 tal que f ‘(c2) = [f (x2) -f ((x1 + x2) / 2)] / [(x2) – (x1 + x2) / 2]

desde f ” (x) <0

por lo tanto f ‘(c2) <f' (c1)

[f (x2) -f ((x1 + x2) / 2)] / [(x2) – (x1 + x2) / 2] <[f ((x1 + x2) / 2) -f (x1)] / [(x1 + x2) / 2-x1]

ahora obtenemos f ((x1 + x2) / 2)> [f (x2) + f (x1)] / 2

ln ((x1 + x2) / 2)> [ln (x1) + ln (x2)] / 2

(x1 + x2) / 2> e ^ {[ln (x1) + ln (x2)] / 2}

(x1 + x2) / 2> e ^ {ln (x1.x2) ^ (1/2)}

(x1 + x2) / 2> (x1.x2) ^ (1/2)

AM> GM

Answer 2

Suponga que [matemáticas] x1> x2> 0 [/ matemáticas]. Cambiemos el nombre del delta-x dado por k, aunque solo sea para enfatizar que se da. Entonces, [matemáticas] (x1 + x2) / 2 – sqrt (x1x2) = k> 0 [/ matemáticas]. Duplique cada lado de manera correcta = 2k y reconozca el nuevo lado izquierdo como exactamente el cuadrado de [math] (sqrt (x1) – sqrt (x2)) [/ math]. Dado que x1> x2 tomar raíz cuadrada solo da un resultado (no dos): [math] sqrt (x1) – sqrt (x2) = sqrt (2k) [/ math].

Por lo tanto, si conocemos uno de x1, x2, tenemos el valor del otro.

Answer 3

No estoy seguro de lo que quieres decir con

“Hasta dónde puede determinar”

pero empecemos con lo que sabemos

x1 y x2 no son iguales

o delta x sería cero

Y lo que es más

el delta x no es un valor absoluto

entonces xa debe ser mayor que xg

para que esa diferencia sea positiva