Cómo obtener las partes real e imaginaria por separado de [math] \ frac {1} {1-ke ^ {i \ pi z}} [/ math] para real [math] k [/ math] y [math] z [ /matemáticas]

Answer 1

La expansión por multiplicación por el denominador-conjugado debería revelar partes reales e imaginarias, por lo general. Mi elección para el factor de expansión, aquí, es [matemática] 1-ke ^ {- i \ pi z} [/ matemática], por lo tanto.

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {1} {1-ke ^ {i \ pi z}} = \ displaystyle \ frac {1-ke ^ {- i \ pi z}} {1- 2 k cos (\ pi z ) + k ^ 2} [/ matemáticas]

Ahora la explicación obvia que se convierte en cos y pecado se dejaría al lector.

La advertencia, con esto, era [matemáticas] e ^ {i \ pi z} + e ^ {- i \ pi z} = 2 cos (\ pi z) [/ matemáticas], por cierto. El coseno es la parte real de la exponencial compleja, fácil de confundir esto, en realidad, lo siento.

Tenemos [math] \ displaystyle \ frac {1} {z} = \ frac {z ^ *} {zz ^ *} [/ math] con los números complejos, de los cuales [math] e ^ {i \ phi} [ / math] resulta ser uno, por cierto, por si acaso importa, de todos modos. Ahora, [matemáticas] \ displaystyle \ frac {1} {e ^ {i \ phi}} = \ frac {e ^ {- i \ phi}} {e ^ {i \ phi} e ^ {- i \ phi} } = e ^ {- i \ phi} [/ math], por ejemplo. El inverso de un número complejo de unidades es igual a su conjugado.

Answer 2

Escribamos [math] x [/ math] para [math] z [/ math] para recordarnos que es real. Como de costumbre, multiplicamos numerador y denominador por el conjugado del denominador.

[matemáticas] \ dfrac {1} {1 – ke ^ {i \ pi x}} \ cdot \ dfrac {1 – ke ^ {- i \ pi x}} {1 – ke ^ {- i \ pi x}} [/matemáticas]

[matemáticas] = \ dfrac {1 – ke ^ {- i \ pi x}} {1 – k (e ^ {i \ pi x} + e ^ {- i \ pi x}) + k ^ 2 e ^ 0 }[/matemáticas]

[matemáticas] = \ dfrac {1 – k \ cos (\ pi x) + ik \ sin (\ pi x)} {1 + k ^ 2 – k (\ cos \ pi x + i \ sin \ pi x + \ cos \ pi x – i \ sin \ pi x)} [/ math]

[matemáticas] = \ dfrac {(1-k \ cos \ pi x) + ik \ sin \ pi x} {1 + k ^ 2 – 2k \ cos \ pi x} [/ matemáticas]

La parte real es [math] \ dfrac {1-k \ cos \ pi x} {1 + k ^ 2 – 2k \ cos \ pi x} [/ math] y la parte imaginaria es [math] \ dfrac {k \ sen \ pi x} {1+ k ^ 2 – 2k \ cos \ pi x} [/ math]

Answer 3

Multiplica el numerador y el denominador por el complejo conjugado del denominador. Luego usa la relación de Euler

[matemáticas] e ^ {ix} = cos (x) + isin (x) [/ matemáticas] y su complejo conjugado [matemáticas] e ^ {- ix} = cos (x) -isina (x) [/ matemáticas] a Eliminar los exponenciales. Luego compare con [math] w = a + ib [/ math] para leer las partes real e imaginaria.