¿Cómo derivar la regla para multiplicar fracciones (a / bxc / d = ac / bd) a partir de las propiedades de multiplicación y división? ¿Qué es una explicación paso a paso?

Answer 1

Repasemos algunas propiedades de números y sistemas para entender por qué las reglas estándar de multiplicación funcionan como lo hacen.

Primero, cuando miramos hacer aritmética como

a B C D

Ya hemos asumido bastante contexto. ¡Este contexto no es necesariamente cierto en todos los casos! Solo es cierto cuando trabajamos con números de la forma en que estás acostumbrado.

Suponemos que a, b, c, d son elementos de números reales y que los operadores binarios de * y / toman su significado convencional de multiplicación y división, respectivamente. Para leer más acerca de cómo podemos comenzar a desviarse del cómodo mundo de las matemáticas tal como lo conoce, consulte el álgebra lineal (http://simple.m.wikipedia.org/wi…) y sobre lo que estoy hablando en general , ver álgebra abstracta (http://simple.m.wikipedia.org/wi…).

En álgebra lineal, por ejemplo, no podemos suponer que A * B = B * A. En muchos casos, A * B no es igual a B * A, ¡y puede que ni siquiera sea posible comenzar con múltiples A y B! A y B no son cosas como 1, 2, 3 o 4. Son tan grabados más exóticos que a menudo usamos para ayudar a resolver ecuaciones muy complejas.

Entonces, antes de continuar, el punto si este pequeño trasfondo es para tranquilizarte: NO es una pregunta estúpida. La respuesta finalmente se reduce a “¡funciona de esa manera porque esa es la definición de estas cosas!” Sin embargo, siempre podemos aceptar manejar las cosas de manera diferente. La única razón por la que acordamos estas definiciones es el hecho de que funcionan para modelar nuestra comprensión de cómo funciona el mundo.

Si tienes un cubo y 6 más, obtienes 8 cubos. Si quieres 4 veces más cubos, obtienes 24 cubos. Si necesita compartir estos cubos con un amigo, divídalos por la mitad (divídalos entre dos) y obtenga 12 cubos cada uno. Todas estas operaciones están modeladas matemáticamente por la aritmética, que se basa en reglas o axiomas codificados por matemáticos.

Entonces, veamos algunos supuestos que generalmente ignoramos:

1. a, b, c, d son números reales.
2. Todos los números reales tienen un recíproco. Ese es un número, x, tal que y * x = 1. En nuestro sentido habitual, x = 1 / y (IMPORTANTE: esto significa que y * (1 / y) = 1. Por favor, no seas rastreado por x, es solo un marcador de posición para 1 / y).

Entonces, toma el número 2.

2 es recíproco 1/2. Entonces
2 * (1/2) = 1
Esto tiene sentido, ya que
1/2 = .5
y
.5 * 2 = 1
El recíproco de cualquier número es solo 1 dividido por ese número. También podemos representar esto como 2 ^ -1 (o y ^ -1, más generalmente).

Entonces, cuando miramos a / b * c / d, realmente estábamos mirando lo siguiente:

(a * (1 / b)) * (c * (1 / d))

Por asociatividad

(a * (1 / b)) * (c * (1 / d)) = a * (1 / b) * c * (1 / d)

no importa qué grupos de números multipliquemos primero, por lo que podemos eliminar el paréntesis alrededor de a * (1 / b) y c * (1 / d). Dado que 1 / dy 1 / c son una sola cantidad, no queremos eliminar el paréntesis.

Y ahora por conmutatividad, obtenemos:

a * (1 / b) * c * (1 / d) = a * c * (1 / b) * (1 / d) = ac * (1 / b) (1 / d)

Podemos reorganizar las cantidades para que los términos coincidan sin cambiar el valor. Y, podemos soltar el símbolo de multiplicación. Pero parece que ya lo sabes :).

Okay. El siguiente paso es un poco complicado, así que lo haré primero y luego lo explicaré un poco:

ac * (1 / b) (1 / d) = ac * (1 / (b * d))

Decir whaaaaat ??? Cómo lo sabemos

(1 / b) (1 / d) = 1 / (b * d)

????

Nuevamente, la respuesta radica en el hecho de que TODOS los números reales tienen un valor recíproco.

b tuvo un recíproco de 1 / b. d tuvo un recíproco de 1 / d. Pero b * d TAMBIÉN es un número. Y ese número TAMBIÉN tuvo un recíproco. El recíproco de d * b es 1 / (d * b).

Entonces, cuando fusionamos los números debajo del denominador, lo que realmente estamos haciendo es decir “¡hey, estos números son recíprocos de otros números! ¡Podemos descubrir cómo se multiplican trabajando hacia atrás! Para saber qué (1 / b) * (1 / d) igual, podemos tomar byd, luego multiplicar y luego juntos. ¡Luego tomar el recíproco de eso! ”

Piénsalo. Si b = 5 yd = 2, entonces podemos hacer lo siguiente para calcular (1/2) * (1/5):

2 * 5 = 10. Entonces (1/2) * (1/5) = 1/10

¿Pero es esto correcto?

1/2 = .5
1/5 = .2
0.5 * 0.2 = 0.1
1/10 = 0.1

¡Funciona! Ahora estaban. Volver sobre la pista. Recuerda, tenemos:

ac * (1 / (b * d)) = ac * (1 / bd)

Porque podemos eliminar el símbolo de multiplicación extra como lo hicimos antes.

Solo tenemos algunas cosas más que hacer. Al igual que aislamos 1 / d de c en c / d, ¡podemos fusionar ac con 1 / bd! Entonces:

ac * (1 / bd) = ac / bd

Y eso es exactamente lo que debías entender. Mira, es una consecuencia de cómo se definen nuestros números. Pero si no entiendes lo recíproco, entonces todo parece bastante misterioso.

Answer 2

Las propiedades de multiplicación que usaremos aquí son:

1. la multiplicación es conmutativa :
   es decir, [math] \ forall x, y \ text {tenemos} x \ times y = y \ times x [/ math]
2. la multiplicación es asociativa :
   es decir, [math] \ forall x, y, z \ text {tenemos} (x \ times y) \ times z = x \ times (y \ times z) [/ math]

Las propiedades de división que usaremos aquí son:

1. la división es la inversa de la multiplicación:
   es decir, [math] \ forall x, y \ ne 0 \ text {tenemos} (x \ div y) \ times y = x \ text {and} (x \ times y) \ div y = x [/ math ]

Si tiene alguna pregunta sobre estas propiedades, puede valer la pena hacerlas como preguntas separadas aquí. Por ahora, los tomaremos como dados.

Ahora, un factor de complicación es que la división, como la escribimos normalmente, no tiene las buenas propiedades que tiene la multiplicación: no es conmutativa y no es asociativa. Esto significa que debemos tener cuidado al reorganizar expresiones que contienen división, especialmente cuando se combinan con otras operaciones. Es por eso que es útil tener a mano reglas generales, como la regla de que cuando dos fracciones se multiplican juntas, el resultado es equivalente a hacer que una nueva fracción de los dos numeradores se multiplique y los dos denominadores se multipliquen. Veamos cómo podemos justificar esa regla.

Método 1

Queremos verificar que [matemáticas] \ forall a, b \ ne 0, c, d \ ne 0 \ text {tenemos} \ frac {a} {b} \ times \ frac {c} {d} = \ frac {ac} {bd} [/ math]. Veamos qué sucede si multiplicamos todo por [math] bd [/ math] y luego lo dividimos por [math] bd [/ math] nuevamente: sabemos que [math] bd \ ne 0 [/ math], entonces Por nuestra propiedad inversa sabemos que el resultado será el mismo con el que comenzamos.

[matemáticas] \ begin {align} \ text {So} \ frac {a} {b} \ times \ frac {c} {d} & = \ left (\ left (\ frac {a} {b} \ times \ frac {c} {d} \ right) \ times bd \ right) \ div bd && \ text {por inverso} \\ & = \ left (\ frac {a} {b} \ times \ left (\ frac {c } {d} \ times b \ right) \ times d \ right) \ div bd && \ text {by asociative} \\ & = \ left (\ frac {a} {b} \ times \ left (b \ times \ frac {c} {d} \ right) \ times d \ right) \ div bd && \ text {by commutative} \\ & = \ left (\ left (\ frac {a} {b} \ times b \ right) \ times \ left (\ frac {c} {d} \ times d \ right) \ right) \ div bd && \ text {by asociative} \\ & = \ left (\ left (a \ right) \ times \ left (c \ right) \ right) \ div bd && \ text {by inverse} \\ & = \ frac {ac} {bd} && \ text {QED} \ end {align} [/ math]

Método 2

El argumento anterior está muy bien si ya sospechamos la respuesta, pero no nos ayudaría mucho a encontrar la respuesta si aún no la supiéramos. Una forma en que podemos explorar las respuestas posibles mucho más fácilmente es eliminando estas molestas divisiones que no se asocian y no se desplazan.

Una consecuencia de nuestra propiedad inversa anterior es que cada valor, aparte de cero, tiene un inverso multiplicativo , es decir , hay un valor por el cual multiplicar cualquier cosa por él da el mismo resultado que dividir por el valor original. Si estamos tratando con números, entonces el inverso multiplicativo es el recíproco, es decir , uno dividido por el valor,

[matemáticas] \ begin {align} \ text {porque} x \ times \ frac {1} {y} & = \ left (\ left (x \ times \ frac {1} {y} \ right) \ times y \ derecha) \ div y && \ text {por inverso} \\ & = \ left (x \ times \ left (\ frac {1} {y} \ times y \ right) \ right) \ div y && \ text {by asociativo} \\ & = \ left (x \ times \ left (1 \ right) \ right) \ div y && \ text {by inversa} \\ & = \ frac {x} {y} \ end {align} [ /matemáticas]

Entonces podemos ver que multiplicar por [math] \ frac {1} {y} [/ math] siempre produce el mismo resultado que dividir entre [math] y [/ math] siempre que [math] y \ ne 0 [/ math ]

Otra observación útil es que el resultado de dos divisiones sucesivas es el mismo que el resultado de dividir entre los dos divisores multiplicados:
es decir [matemáticas] \ para todos x, y \ ne 0, z \ ne 0 \ text {tenemos} (x \ div y) \ div z = x \ div (y \ times z) [/ math]

\ begin {align}
\ text {Porque} (((x \ div y) \ div z) \ times z) \ times y & = x && \ text {(por inverso)} \\
\ text {And} (x \ div (y \ times z)) \ times (y \ times z) & = x && \ text {(por inverso)} \\
\ text {So} (((x \ div y) \ div z) \ times z) \ times y & = (x \ div (y \ times z)) \ times (y \ times z) \\
& = (x \ div (y \ times z)) \ times (z \ times y) && \ text {(por conmutativo)} \\
& = ((x \ div (y \ times z)) \ times z) \ times y && \ text {(por asociativo)} \\
\ por lo tanto (x \ div y) \ div z & = x \ div (y \ times z) && \ text {QED}
\ end {alinear}

Estas dos observaciones nos permiten reemplazar todas nuestras divisiones con multiplicaciones para obtener una expresión que podamos reorganizar mucho más fácilmente. Hacemos esto reemplazando cada división con una multiplicación por el inverso multiplicativo del divisor original.

[matemáticas] \ begin {align} \ text {So} \ frac {a} {b} \ times \ frac {c} {d} & = \ left (a \ times \ frac {1} {b} \ right) \ times \ left (c \ times \ frac {1} {d} \ right) && \ text {multiplicativos inversos} \\ & = a \ times \ left (\ frac {1} {b} \ times c \ right) \ times \ frac {1} {d} && \ text {por asociativo} \\ & = a \ times \ left (c \ times \ frac {1} {b} \ right) \ times \ frac {1} {d } && \ text {por conmutativo} \\ & = \ left (\ left (a \ times c \ right) \ times \ frac {1} {b} \ right) \ times \ frac {1} {d} && \ texto {por asociativo} \\ & = \ left (\ left (a \ times c \ right) \ div b \ right) \ div d && \ text {multiplicative inverses} \\ & = \ left (a \ times c \ right) \ div \ left (b \ times d \ right) && \ text {división sucesiva} \\ & = \ frac {ac} {bd} && \ text {QED} \ end {align} [/ math]

Este segundo método puede parecer más largo y complejo, pero en realidad nos lleva mucho más lejos, porque ahora podemos ver que cada vez que tenemos una cadena de multiplicaciones y divisiones podemos convertirlo en una cadena de solo multiplicaciones, agrupar esas multiplicaciones como sea. es conveniente y produce algunos resultados útiles. Practicar esto es de gran ayuda para reorganizar y evaluar expresiones que contienen fracciones.

Answer 3

No es del todo intuitivo, pero aquí hay una prueba:

a / bxc / d =
(a * 1 / b) * (c * 1 / d) =
(a * c) * (1 / b * 1 / d) =>
(1 / (a ​​* c)) * (1 / (1 / b * 1 / d)) =
(1 / (a ​​* c)) * ((b / 1) * (d / 1)) =
(1 / (a ​​* c)) * ((b) * (d)) =>
1 / ((1 / (a ​​* c)) * ((b) * (d))) =
ac / 1 * 1 / bd =
ac * 1 / bd =
ac / bd

Answer 4

a / b = ad / bd
c / d = bc / bd
a / b + c / d = ad / bd + bc / bd = (ad + bc) / bd