Sí, hay una relación, de hecho más de una, pero no estoy seguro de que sea lo que crees que es. No se trata de estar “cerca de ser el mejor”. Para ser claros, el pasaje que citan (y mi respuesta) se trata de sumas de dos cuadrados. Ser una suma de (cualquier número de) cuadrados no es interesante porque cada entero positivo lo es.
Los números primos (naturales) 2, 3, 5, 7, 11, etc. a menudo se clasifican en tres tipos: los que dejan un resto de 1 cuando se dividen entre 4 (” los elfos” ), los que dejan un resto de 3 cuando se divide por 4 (” los orcos” ), y el primo 2, que es el único número primo par (” Tom Bombadil” ).
Los orcos a menudo son malos y se portan mal. Por ejemplo, la reciprocidad cuadrática es agradable y simétrica siempre que haya algún elfo, pero cuando se trata de orcos (o cuando Bombadil está presente) se complica. A su pregunta sobre sumas de dos cuadrados, vale la pena señalar lo siguiente.
1. Un primo es una suma de dos cuadrados precisamente cuando no es un orco.
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Verificar que un orco nunca es una suma de dos cuadrados es bastante sencillo (ver esta respuesta, por ejemplo). No es del todo obvio que todos los elfos son tales sumas, pero lo son. Este fue uno de los primeros descubrimientos de la teoría de números moderna, debido a Pierre de Fermat en 1640.
2. Para determinar si un entero positivo es la suma de dos cuadrados , factorízalo en números primos y asegúrate de que todos los orcos aparezcan un número par de veces .
Por ejemplo, [math] 2210 = 2 \ times 5 \ times 13 \ times 17 [/ math]. Ninguno de estos es un orco, así que estamos bien, y de hecho, [matemáticas] 2210 = 19 ^ 2 + 43 ^ 2 [/ matemáticas]. Además, [math] 245 = 5 \ times 7 \ times 7 [/ math] está bien porque el orco 7 aparece dos veces. De hecho, [matemáticas] 245 = 7 ^ 2 + 14 ^ 2 [/ matemáticas].
Sin embargo, [math] 286 = 2 \ times 11 \ times 13 [/ math] tiene el orco 11 solo una vez, por lo que no puede ser una suma de cuadrados.
Otra relación entre números primos y sumas de dos cuadrados tiene que ver con la cantidad de formas en que puedes escribir un número entero como tal suma. Las mejores fórmulas están disponibles cuando distingue signos y orden, por ejemplo
[matemáticas] 245 = (\ pm 7) ^ 2 + (\ pm 14) ^ 2 = (\ pm 14) ^ 2 + (\ pm 7) ^ 2 [/ matemáticas]
se puede representar como una suma de dos cuadrados de ocho maneras: dos posibles ordenamientos y cuatro opciones de signos.
3. La cantidad de formas de escribir un número entero positivo como la suma de dos cuadrados se puede calcular de esta manera: encuentre la descomposición primaria y confirme que todos los orcos aparecen un número par de veces. Luego cuente la cantidad de veces que aparece cada elfo, agregue uno a cada conteo, multiplique todo esto y multiplique por cuatro .
En el caso de 245 solo hay un elfo (5), por lo que el conteo es 1, más uno que es 2, y multiplica por cuatro para obtener 8, como confirmamos antes.
Esas son las formas principales en que las sumas de dos cuadrados están relacionadas con los números primos.