Se eliminan tres números en AP de los primeros n números naturales. La media de los números restantes es (43/4). ¿Qué es n si uno de los números eliminados es un cuadrado perfecto?

Answer 1

Dado que la media de los números restantes es 43/4, que es 10.75

Ahora debe verificar aproximadamente cuántos primeros números naturales tienen un promedio de 10 u 11.

Caso 1: Si considera la secuencia de los primeros 19 números naturales, entonces su promedio es 10 porque la suma de los primeros 19 números naturales es 190 y el promedio será 190/19 = 10

Caso 2: para que un promedio sea 11, la serie de los primeros 21 números le dará eso como N (N + 1) / 2N = 11; N = 21.

Ahora se menciona que se eliminan 3 números. Así que tome nuestro caso 1, si eliminamos 3 números de ese número, los números restantes serán 16, que es un múltiplo de 4. Verificación de múltiplo de 4 porque en el denominador hay 4, que es posible solo si originalmente el denominador es un múltiplo entero de 4 .

Considerando el caso 2: eliminar 3 números naturales saldrá con una secuencia de 18 números que no es el múltiplo de 4. Por lo tanto, el caso 2 descarta.

Ahora resolviendo la pregunta basada en el Caso 1:

La media se da como 43/4, que es equivalente a 172/16. Esto implica que la suma de 16 números es 172 después de eliminar 3 números de la secuencia. La suma total de los primeros 19 números naturales es 190. Aquí tenemos que tomar tres números de tal manera que su suma sea 18, estén en AP y uno de ellos sea cuadrado de cualquier número natural.

Entonces, los posibles trillizos son (3,6,9) y (4,6,8) y (1,6,11) . Por lo tanto, todas nuestras condiciones están satisfechas.

Por lo tanto, N = 19.

Espero que esto ayude. ¡¡Salud!!

Answer 2

El número de términos es 19

Secuencia si los números eliminados del AP de los primeros n números naturales son

4, 6, 8

O

3, 6, 9

¡Estas son dos secuencias posibles ya que 4 y 9 son cuadrados perfectos!

Solución en las imágenes a continuación;

Lo siento por mi mala letra !!

Answer 3

Deje que los números sean [matemática] a, a + xd, a + 2xd [/ matemática]

[matemáticas] \ por lo tanto \ displaystyle \ frac {\ displaystyle \ frac {n (n + 1)} {2} – (a + a + xd + a + 2xd)} {n – 3} = \ displaystyle \ frac {43 } {4} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {n (n + 1)} {2} – (a + a + xd + a + 2xd) = \ displaystyle \ frac {43 (n – 3)} {4} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {n (n + 1)} {2} – \ displaystyle \ frac {43 (n – 3)} {4} = a + a + xd + a + 2xd [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {n ^ {2} + n} {2} – \ displaystyle \ frac {43n – 129} {4} = 3a + 3xd [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {2n ^ {2} + 2n} {4} – \ displaystyle \ frac {43n – 129} {4} = 3a + 3xd [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {2n ^ {2} + 2n – 43n + 129} {4} = 3a + 3xd [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {2n ^ {2} – 41n + 129} {4} = 3 (a + xd) [/ matemáticas]

[matemáticas] 2n ^ {2} – 41n + 129 = 12 (a + xd) [/ matemáticas]

Pongamos [matemáticas] a + xd = y [/ matemáticas]

[matemáticas] \ por lo tanto 2n ^ {2} – 41n + 129 = 12 (y) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ por lo tanto 2n ^ {2} – 41n + (129 – 12y) = 0 [/ matemáticas]

Esta es una ecuación cuadrática en [matemáticas] n [/ matemáticas].

Pero dado que [math] n [/ math] es siempre un número natural, el discriminante de la ecuación anterior debe ser un cuadrado perfecto o cero, ya que son las únicas condiciones para las cuales una ecuación cuadrática puede tener raíces integrales.

La fórmula para discriminante es [matemáticas] b ^ {2} – 4ac [/ matemáticas]

Para esta ecuación, [matemáticas] b ^ {2} – 4ac = 0 [/ matemáticas] o [matemáticas] b ^ {2} – 4ac = k ^ {2} [/ matemáticas]

Calculando el discriminante, obtenemos

[matemática] (- 41) ^ {2} – 4 (2) (129 – 12y) = 1681 – 1032 + 96y = 649 + 96y [/ matemática]

No podemos igualar el discriminante a cero porque entonces nos quedaremos con un valor negativo de [matemática] y [/ matemática] [matemática] (= a + xd) [/ matemática] que es absurdo ya que la progresión aritmética es que de números naturales.

Nos queda la única posibilidad de que [math] 649 + 96y [/ math] sea un cuadrado perfecto.

[matemáticas] \ por lo tanto 649 + 96y = k ^ 2 [/ matemáticas]

¿Un poco de ayuda?