¿Por qué se nos ocurrió [math] \ frac {22} {7} [/ math] como una representación aproximada del número [math] \ pi [/ math]? ¿Por qué no usamos [math] \ frac {355} {113} [/ math]?

Answer 1

Es difícil, especialmente para las personas más jóvenes, comprender la idea de que “pi” no puede expresarse como una fracción o un decimal, pero para hacer cálculos DEBEMOS usar algún tipo de aproximación.

¡La gente ha estado buscando mejores aproximaciones por más de 4000 años! Las dos fracciones mencionadas anteriormente son solo dos de los muchos números racionales utilizados.

¡Debe darse cuenta de que no hace mucho tiempo no teníamos calculadoras! De hecho, los estudiantes solo comenzaron a tenerlos a fines de los años setenta y principios de los ochenta. Los cálculos tenían que hacerse en papel. ¡Es por eso que a menudo teníamos círculos de radio 7, 14, 21, etc. para que el 22/7 pudiera cancelarse! Debe haber gente por ahí que también tuvo que usar tablas de registro. ¡Esto fue principalmente cuando los números no se cancelaron bien!

Creo que es muy interesante ver qué aproximaciones fraccionarias / decimales se han utilizado en el pasado.

Answer 2

Es más fácil recordar 22/7. Pero ninguno de los dos es Pi. Y, sin embargo, supongo que ambas fracciones pueden compararse con partes importantes del andamiaje que rodea este concepto de Pi y números.

Ambas fracciones, 22/7 y 355/113 son elementos fijos del círculo final de la espiral de la vida, pero no miden la circunferencia dividida por el diámetro.

22/7 se refiere a la suma de los valores cruzados que son los ejes x e y de Fibonacci-esque de los intervalos de la espiral. Es igual a (la suma de los intervalos del eje x + dos veces la suma de los intervalos del eje y) / la suma de los intervalos del eje y. O (x + 2y) / y.

355/113 se refiere al desplazamiento del eje x en un intervalo en el círculo final de la espiral. Esta relación involucra solo 5 intervalos a lo largo del círculo final de 48 intervalos, cuatro de los cuales son el conjunto completo de finales equidistantes 77, 89, 101 y 113. El intervalo final, 88, se llama intervalo de “agarre” por dos razones: es el último de dos intervalos (77 y 88) que forman parte de los finales no desplazados de 77, 88, 99 y 112. La localización de Pitágoras implica que se produce un cambio de eje como resultado de una fusión de promedios utilizando un método aplicado uniformemente desde el núcleo hasta los remates.

La segunda razón por la que el 88 se llama intervalo de “agarre” es que si se superpusiera una imagen de un arco y una flecha en el círculo final, 77 emergería como la ranura inferior; 88 el agarre; 89 la flecha descansa; 101 el nock superior; y 113 la porción. 355/113 es igual a la suma de los cuatro intervalos de arco: 77, 88, 89 y 101 dividido por la porción, 113.

Entonces, aunque les he dado una idea de cómo se vería 355/113 al agregar aún más números a la mezcla, el resultado es que estas fracciones pueden estar muy relacionadas con Pi, muy cercanas a Pi e interesantes por derecho propio; sin embargo todavía lo son, no del todo Pi. Y la razón es simple. Al igual que Time, Pi puede dividirse. Pero nunca puede ser embotellado y empaquetado en su totalidad.

En cierto sentido, cuando me maravillo de la belleza del arte y la naturaleza, la gran arquitectura, así como las antiguas ruinas de civilizaciones pasadas, es como si estuviéramos mirando las reliquias de lo que este vínculo inseparable de tiempo y lugar llamado Pi dejó atrás. .

Answer 3

Tanto 22/7 como 355/113 son convergentes en la expansión de fracción continua de [math] \ pi [/ math]. Esto significa que ambas son las mejores aproximaciones de [math] \ pi [/ math] entre fracciones con denominadores comparables. Este último, específicamente, es una aproximación sorprendentemente buena debido a la existencia de un elemento sorprendentemente grande en la fracción continua (292).

Esto explica por qué elegimos 22/7 y no, digamos, 31/10: aunque este último tiene un denominador más grande y, por lo tanto, se espera que esté más cerca de [math] \ pi [/ math], el primero realmente lo supera en precisión .

La razón por la que las personas no trabajan con 355/113 es que involucra números más grandes y, por lo tanto, es más difícil de recordar. Como resultado, es menos conocido, por lo que los maestros no lo enseñan, por lo que los estudiantes no lo conocen en primer lugar, por lo que es menos conocido y así sucesivamente.

Answer 4

Sabemos experimentalmente que pi = 3.1415 …
Ahora, si comenzamos a representarlo en forma ap / q y comenzamos a adivinar los valores p y q a partir de 1, lo más cercano que podemos obtener es usar 22/7.

para q = 1:
3/1 = 3 y 4/1 = 4
para q = 2:
6/2 = 3 y 7/2 = 3.5
para q = 3:
9/3 = 3 y 10/3 = 3.333 …
para q = 4:
12/4 = 3 y 13/4 = 3.25
para q = 5:
15/5 = 3 y 16/5 = 3.2
para q = 6:
18/6 = 3 y 19/6 = 3.1666 … en este punto, tenemos una precisión de 1 dígito decimal.
para q = 7:
21/7 = 3 y 22/7 = 3.142857 … en este punto tenemos una precisión hasta 2 dígitos como pi = 3.14159 …
para q = 8:
24/8 = 3 y 25/8 = 3.125 y 26/8 = 3.25, donde la precisión es nuevamente 1 dígito después del decimal.

Haciéndolo más allá, podemos obtener precisión solo en algunas combinaciones seleccionadas de p y q.

Por lo tanto, el valor racional más simple Cerca de pi (con cierta precisión) que puede representarse con enteros fue 22/7.

Answer 5

Históricamente, la primera aproximación de [math] \ pi [/ math] fue realizada por Arquímedes, quien demostró que

[matemáticas] 223/71 <\ pi <220/70 [/ matemáticas]

(Por cierto, primero tuvo que dar una estimación de [math] \ sqrt {3} [/ math].) Creo que seguimos usando [math] 220/70 = 22/7 [/ math] como una aproximación de [math ] \ pi [/ math] desde entonces.

Por cierto, se ha demostrado que el número 355/113 es la mejor aproximación a [math] \ pi [/ math] utilizando como máximo tres dígitos para el numerador y el denominador de una fracción.

Answer 6

¿Por qué? Te diré por qué.

¿Recuerdas cuando estabas en la escuela aprendiendo sobre circunferencia y diámetro?

¡CUÁN FRESO, DIÁMETRO VECES TRES ES IGUAL A LA CIRCUNFERENCIA!

¿Qué es más genial que eso en la clase de matemáticas?

“¡Hola maestro, DIÁMETRO VECES SIETE ES DOS VECES LA CIRCUNFERENCIA MÁS RADIO!”

Y es más preciso.

Answer 7

Me imagino que el uso de una fracción como una aproximación de [math] \ pi [/ math] es útil cuando se trata de resolver un problema numérico a mano, sin calculadoras.

En tal escenario, es claro ver que 1) más números son perfectamente divisibles por 7 que por 113, para llegar a respuestas simples (aunque no perfectamente precisas) y 2) es más fácil / rápido dividir un algo por 7 que por 113 (o, para el caso, es más rápido multiplicar por 22 que por 355).

Raramente en matemáticas serias se usa 22/7 o 355/113 como una aproximación de [math] \ pi [/ math]; por lo general solo en matemáticas cortas / elementales.

Answer 8

Hasta que pueda encontrar algunas matemáticas elegantes, pi se aproxima por longitudes de cuerda.

3.1416666 = 3 8 ’30 “= 377/120 es común y fácil de usar. Es 3 1/8 1/60 en fracciones. Esta es la más fácil de usar.

Sqrt (800/81) era conocido por los egipcios: un círculo de circunferencia 40 contiene un cuadrado de borde 9.

Lo mejor que puedo hacer con poderes es 7 ^ 7/8 ^ 6.

El sistema mil utiliza 3.2, un círculo de 64 puntos representa unidades de décimas de radio.

Answer 9

Para hacerte la vida más fácil. Las calculadoras son un invento reciente (en comparación con cuánto tiempo ha estado pi). Y 355/113 haría que los cálculos fueran un verdadero dolor sin ser tan precisos (quizás un poco, pero no lo suficiente como para que importen demasiado).

Answer 10

Hoy en día, ¿por qué no? Pero en los viejos tiempos, antes de las calculadoras y las computadoras, era más fácil para los ingenieros multiplicar por 22 y dividir entre 7. La respuesta podría no haber sido perfecta, pero fue lo suficientemente buena para el trabajo del gobierno.

Answer 11

Porque 22/7 es peor que 355/113 por ~ 2 * 10 ^ -4, mientras que es más corto por un factor 2 (en número de dígitos para escribir o memorizar). Un trato bastante bueno.