¿Qué es 0.5! ¿Y por qué no existen otras fracciones y factoriales decimales?

Answer 1

Los factoriales de medio entero (OK, los llamaré factoriales, aunque es un estiramiento, es un factorial generalizado que usa la función Gamma) son fácilmente expresables gracias al hecho de que la función gamma integral [matemáticas] \ Gamma (z) = \ int_0 ^ \ infty t ^ {z-1} e ^ {- t} \, \ mathrm {d} t [/ math] le da una buena forma cerrada, como ya dijo Gaurav Kumar.

Existen otros “factoriales de fracciones y decimales” como los llamó en esta generalización de la función gamma. Por ejemplo, cada medio entero puede tener su factorial generalizado dado como

[matemáticas] \ Gamma \ left (\ frac {1} {2} + n \ right) = \ left (- \ frac {1} {2} + n \ right)! = \ sqrt {\ pi} \ prod_ {k = 1} ^ n {2k – 1 \ over 2} = [/ math]
[matemáticas] = {(2n)! \ over 4 ^ nn!} \ sqrt {\ pi} = {(2n-1)! \ over 2 ^ {2n-1} (n-1)!} \ sqrt {\ pi}. [/ math]

¿Qué hay de los demás? Otros también lo tienen, es solo que la integral de la función gamma no se evalúa en un número “agradable” en general, sino en algo que generalmente se expresa numéricamente.

Editar: Como el usuario de Quora señaló en los comentarios, mi respuesta no dio un valor para [math] 0.5! [/ Math] que se obtiene al insertar [math] n = 1 [/ math] en la fórmula anterior. Es [matemáticas] \ frac {1} {2} \ sqrt {\ pi} \ aprox. 0.886227 [/ matemáticas].

Answer 2

Cabe señalar que para los enteros, [matemáticas] n! = \ Gamma (n + 1) [/ matemática].
Si aplica esta misma idea a las fracciones (como la mitad), entonces:
[matemáticas] \ left (\ frac 1 2 \ right)! = \ Gamma (1.5) = \ frac {\ sqrt {\ pi}} 2 [/ math].

La respuesta de Gaurav Kumar te dice que [math] \ Gamma (0.5) = \ sqrt {\ pi} [/ math] lo cual es cierto, ¡pero probablemente no es exactamente lo que estás buscando si preguntas sobre (0.5)! .

Answer 3

Bueno, la función Gamma describirá factorial en un mejor sentido, pero para la respuesta es [math] \ sqrt {\ pi} / 2 [/ math].
EDITAR: en realidad, como dijo Michael Lamar, primero le di la respuesta a [math] \ Gamma (1/2) = \ sqrt {\ pi} [/ math] ahora corregida.