Un triple pitagórico es un triple de enteros A, B y C, de modo que [matemática] A ^ 2 + B ^ 2 = C ^ 2 [/ matemática]. (Será conveniente por ahora permitir que estos sean negativos; podemos eliminarlos más adelante). Se llama primitivo si A, B y C no tienen un factor primo común, lo que equivale a pedir que A y B sean relativamente primos. Por lo tanto, estamos buscando determinar de cuántas maneras podemos escribir [matemáticas] C ^ 2 [/ matemáticas] como una suma de dos cuadrados relativamente primos. De hecho, incluso para valores [matemáticos] K [/ matemáticos] que no son números cuadrados, podríamos preguntar de cuántas maneras se pueden escribir como una suma de cuadrados relativamente primos.
Resulta que hay otra manera conveniente de pensar en todo esto: por un “entero gaussiano”, me refiero a un número complejo de la forma [matemáticas] A + iB [/ matemáticas] con [matemáticas] A [/ matemáticas] y [matemáticas ] B [/ math] ambos enteros.
Un triple pitagórico de hipotenusa [matemática] C [/ matemática] es un entero gaussiano de magnitud [matemática] C [/ matemática]; también podríamos pedir que su magnitud al cuadrado sea [math] K [/ math], ya sea que [math] K [/ math] sea o no el cuadrado de un número entero. Podemos considerar que un entero gaussiano es primitivo si no es un múltiplo (por un entero gaussiano) de cualquier primo ordinario.
El beneficio de mirar las cosas de esta manera es que los enteros gaussianos tienen una estructura muy similar a los enteros ordinarios. En particular, vienen con una noción de factorización prima muy similar a la de los enteros ordinarios.
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Para ver esto, repasemos cómo funciona la factorización prima:
Llamemos “enteros” a dos enteros si cada uno es múltiplo del otro (por ejemplo, [math] x [/ math] y [math] -x [/ math] son similares; tenga en cuenta que valores similares tienen el mismo tamaño) . De ahora en adelante, excepto donde se especifique lo contrario, no distinguiré entre valores similares; son tan buenos como iguales para mi.
Decimos que un entero distinto de cero [math] p [/ math] es “primo” si alguna forma de expresarlo como un producto de enteros involucra un factor de [math] p [/ math]. (Tenga en cuenta que 1 (o cualquier valor similar a 1; también conocido como cualquier “unidad”) no se considera primo debido al producto vacío).
Al dividir repetidamente cualquier número entero distinto de cero en un producto de números enteros más pequeños, si es posible, y detenerse al alcanzar números primos, encontramos que cada número entero distinto de cero tiene alguna representación como producto de números primos. (Tenga en cuenta que este proceso de factorización no puede continuar para siempre, considerando cómo los tamaños se hacen más pequeños en cada etapa)
No solo eso, sino que esta representación es única. (Esto se deduce del hecho de que si un primo divide un producto, divide uno de los factores del producto. Esto a su vez se deduce del hecho de que el módulo aritmético un primo forma un campo (es decir, si prim [math] p [/ math ] no divide [matemática] x [/ matemática], hay un múltiplo de [matemática] x [/ matemática] que es 1 más un múltiplo de [matemática] p [/ matemática]). Esto se deduce del hecho de que dos (o, de hecho, muchos) tienen un divisor común máximo que es una suma de múltiplos de esos valores (en particular, el MCD de un primo y cualquier valor que no divida será 1). algoritmo euclidiano extendido, que hace uso de un operador de “división y resto (más pequeño que el divisor)”, cuya existencia solo depende del hecho de que cualquier relación de enteros tiene una distancia menor que 1 de algún entero. Nuevamente, este algoritmo no puede continuar siempre teniendo en cuenta cómo los tamaños se hacen más pequeños en cada etapa)
¡Todo lo anterior fue redactado en términos de enteros, pero, de hecho, funciona igual de bien reemplazando “entero” por “entero gaussiano” en todas partes! Entonces, tenemos que cada entero gaussiano distinto de cero se factoriza de manera única en un producto de primos gaussianos.
En particular, cada entero ordinario también tiene una factorización como producto de los primos gaussianos, que podemos obtener factorizándolo primero en primos ordinarios y luego factorizando más esos primos ordinarios en primos gaussianos. Así que tratemos de entender cómo los primos ordinarios se convierten en primos gaussianos.
Sea [math] p [/ math] un primo ordinario y [math] q [/ math] sea un factor primo gaussiano de [math] p [/ math]. Por simetría, el conjugado de [math] q [/ math] también debe ser un factor primo de [math] p [/ math]. Puede ser que [math] q [/ math] sea similar a su conjugado o no.
- Si [math] q [/ math] y su conjugado no son similares, entonces su producto es un factor entero no unitario de [math] p [/ math], y por lo tanto debe ser [math] p [/ math] . En este caso, digamos que [math] p [/ math] es un primo “bifurcante”; es primo dentro de los enteros, pero se divide en dos primos conjugados diferentes dentro de los enteros gaussianos.
- Por otro lado, si [math] q [/ math] y su conjugado son similares, entonces [math] q [/ math] es similar a un número entero o similar a un múltiplo entero de [math] 1 + i [/ matemáticas]. En el primer caso, como [math] p [/ math] es primo dentro de los enteros, debemos tener que [math] q [/ math] es similar a [math] p [/ math] y, por lo tanto, [math] p [/ math] ya es un primo gaussiano (llamemos a [math] p [/ math] “atomic”). En el último caso (con [matemática] q [/ matemática] similar a un múltiplo de [matemática] 1 + i [/ matemática]), tenemos que [matemática] p [/ matemática] es divisible por [matemática] 1 + i [/ math], y por lo tanto [math] p ^ 2 = | p | ^ 2 [/ math] es divisible por [math] | 1 + i | ^ 2 = 2 [/ math]; esto solo puede ocurrir cuando [math] p [/ math] en sí es par, es decir, cuando [math] p [/ math] es [math] 2 [/ math]. Y, de hecho, [math] 2 [/ math] tiene la factorización prima gaussiana [math] (1 + i) \ times (1 – i) [/ math], un producto de dos conjugados similares.
En resumen, cada primo ordinario impar es en sí mismo un primo gaussiano (en cuyo caso lo llamaremos “atómico”), o el producto de dos primos gaussianos conjugados diferentes (en cuyo caso lo llamaremos “bifurcante”). El otro primo ordinario es [math] 2 [/ math], que tiene la factorización prima gaussiana [math] (1 + i) \ times (1 – i) [/ math], que consta de dos conjugados similares.
Ahora podemos abordar la cuestión de cuántas formas (hasta la similitud) hay para escribir [matemáticas] K [/ matemáticas] como [matemáticas] A ^ 2 + B ^ 2 = | A + iB | ^ 2 = (A + iB) \ times (A – iB) [/ math], con estos dos factores primitivos. Este es el número de formas de dividir los factores primos gaussianos de [matemáticas] K [/ matemáticas] en dos grupos, cada grupo consiste en los conjugados del otro, de modo que ninguno de los grupos contenga un primo ordinario o dos primos gaussianos similares a cada uno conjugado de otros. Para que esto sea posible, la factorización prima ordinaria de [math] K [/ math] no debe contener primos “atómicos”, y como máximo un factor de [math] 2 [/ math]. Luego, la cantidad de formas de elegir [matemática] A + iB [/ matemática] se reduce a la elección, para cada factor primo bifurcante distinto de [matemática] K [/ matemática], de cuál de sus factores primos gaussianos conjugados utilizar exclusivamente en [matemáticas] A + iB [/ matemáticas] (el otro se usa exclusivamente en [matemáticas] A – iB [/ matemáticas]). Es decir, la cantidad de formas será [matemática] 2 [/ matemática] elevada al número de factores primos bifurcantes distintos de [matemática] K [/ matemática]. En el caso que le interesara, [matemática] K = C ^ 2 [/ matemática], y por lo tanto necesitaremos [matemática] C [/ matemática] para tener solo factores primos bifurcantes impares (cualquier factor de [matemática] 2 [ / math] se duplicaría en [math] C ^ 2 [/ math], que es demasiado), con el número de triples pitagóricos primitivos correspondientes nuevamente [math] 2 [/ math] elevado al número de primos distintos factores
[Esto cuenta hasta la similitud, pero afortunadamente, cada entero gaussiano es similar a exactamente un entero gaussiano de la forma [matemáticas] A + iB [/ matemáticas] “en el primer cuadrante” (es decir, sin [matemáticas] A [ / math] ni [math] B [/ math] negativo, y también con [math] A [/ math] positivo si [math] B [/ math] es). Entonces, esto es básicamente lo mismo que contar el número de formas de elegir [matemática] A ^ 2 [/ matemática] y [matemática] B ^ 2 [/ matemática], excepto que no permitirá [matemática] B ^ 2 [/ matemáticas] para ser positivo con [matemáticas] A ^ 2 = 0 [/ matemáticas]; Afortunadamente, [matemática] A = 0, B = C> 0 [/ matemática] no sería una solución primitiva de todos modos, a menos que [matemática] C = 1 [/ matemática]. Esto también cuenta [matemática] A ^ 2 + B ^ 2 [/ matemática] claramente de [matemática] B ^ 2 + A ^ 2 [/ matemática]; puede dividir el conteo por la mitad para deshacerse de eso si lo desea (de nuevo, por suerte, nunca tendrá [matemáticas] A ^ 2 = B ^ 2 [/ matemáticas] ya que [matemáticas] C ^ 2 [/ matemáticas] no puede se justo).]
¡Uf! Eso ya es bastante, pero casi hemos terminado. Ahora solo tenemos que descubrir qué números primos impares son atómicos / bifurcantes.
Si ordinario primo [matemáticas] p [/ matemáticas] es igual a [matemáticas] (A + iB) \ veces (A – iB) = A ^ 2 + B ^ 2 [/ matemáticas], entonces [matemáticas] B [/ matemáticas] ganó ‘t será divisible por [math] p [/ math], por lo que [math] A / B [/ math] será una raíz cuadrada bien definida de [math] -1 [/ math] en el campo de mod de enteros [matemáticas] p [/ matemáticas]. Por el contrario, si hay una raíz cuadrada [matemática] r [/ matemática] de [matemática] -1 [/ matemática] en el campo de enteros mod [matemática] p [/ matemática], entonces tenemos que [matemática] 1 + r ^ 2 = (1 + ir) \ times (1 – ir) [/ math] es un múltiplo de [math] p [/ math], a pesar de que [math] p [/ math] no divide ninguno de los factores y, por lo tanto, [matemáticas] p [/ matemáticas] no puede ser un primo gaussiano en sí mismo. Por lo tanto, [math] p [/ math] es atómico en caso de que no haya una raíz cuadrada de [math] -1 [/ math] modulo [math] p [/ math].
¿Cómo sabemos si [math] -1 [/ math] tiene un módulo de raíz cuadrada [math] p [/ math]? En términos más generales, ¿cómo sabemos si un valor tiene un módulo de raíz cuadrada [math] p [/ math]? Bueno, tenga en cuenta que dos valores tienen el mismo cuadrado en caso de que sean negaciones de cada uno; restringir la atención al caso en el que [math] p [/ math] es impar, ningún valor distinto de cero es su propia negación, por lo que los valores [math] p – 1 [/ math] no cero se ajustan exactamente a [math] (p – 1) / 2 [/ math] valores distintos de cero. Además, el pequeño teorema de Fermat nos dice [matemática] r ^ {p – 1} = (r ^ 2) ^ {(p – 1) / 2} [/ matemática] es [matemática] 1 [/ matemática] módulo [matemática] p [/ math] para cualquier [math] r [/ math] distinto de cero; en consecuencia, los valores distintos de cero con módulo de raíces cuadradas [matemáticas] p [/ matemáticas] son precisamente las [matemáticas] (p – 1) / 2 [/ matemáticas] muchas soluciones para [matemáticas] x ^ {(p – 1) / 2 } = 1 [/ matemáticas].
¿[Matemáticas] (- 1) ^ {(p – 1) / 2} = 1 [/ matemáticas]? Bueno, por la naturaleza de [matemáticas] -1 [/ matemáticas], esto es cierto en caso de que [matemáticas] (p – 1) / 2 [/ matemáticas] sea par, es decir, en caso de que [matemáticas] p [/ math] tiene la forma [math] 4k + 1 [/ math]. Por lo tanto, vemos que los primos bifurcantes son precisamente los de la forma [matemática] 4k + 1 [/ matemática] (siendo los de la forma [matemática] 4k – 1 [/ matemática] atómicos, y [matemática] 2 [/ matemáticas] siendo su propio hombre extraño), completando nuestra investigación.