Suponga que tiene un campo [matemática] K [/ matemática] dentro de un campo más grande [matemática] K ‘[/ matemática] (si no se siente cómodo con esta terminología, simplemente reemplace [matemática] K = \ mathbb {Q} [/ math], [math] K ‘= \ mathbb {R} [/ math], y todo lo que diré no cambiará de manera significativa).
Suponga que tiene algún elemento [math] \ alpha \ en K ‘[/ math] que es trascendental sobre [math] K [/ math]. Todo eso significa que no existe un polinomio con coeficientes en [matemática] K [/ matemática] tal que [matemática] \ alfa [/ matemática] sea un cero de ese polinomio (donde la evaluación ocurre en [matemática] K ‘[/ matemáticas], por supuesto). Recuerde también que [math] K (\ alpha) [/ math] denota el subcampo más pequeño de [math] K ‘[/ math] que contiene [math] K [/ math] y [math] \ alpha [/ math] . Hasta aquí todo bien.
Finalmente, recuerde que [matemática] K (X) [/ matemática] denota el campo que consiste en fracciones de polinomios en [matemática] X [/ matemática], con coeficientes en [matemática] K [/ matemática]. En otras palabras, todo lo que parece:
[matemáticas] \ frac {a_0 + a_1 X + \ ldots + a_n X ^ n} {b_0 + b_1 X + \ ldots + b_m X ^ m} [/ math]
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Como señaló correctamente, hay un mapa de evaluación [matemática] \ phi: K (X) \ rightarrow K (\ alpha) [/ math]: todo lo que hace es simplemente reemplazar cada [matemática] X [/ matemática] con un instancia de [math] \ alpha [/ math]. Claramente, esta es una función bien definida, y está en. Con un poco de reflexión, también debería poder ver que [math] \ phi [/ math] es también un campo homomorfismo, es decir: [math] \ phi (xy) = \ phi (x) \ phi (y ) [/ math], [math] \ phi (x + y) = \ phi (x) + \ phi (y) [/ math].
Todo lo que queda para demostrar que esto es un isomorfismo es verificar que el mapa de evaluación sea inyectivo. Ah, pero para un homomorfismo de campo, esto solo equivale a mostrar que ningún elemento distinto de cero en [math] K (X) [/ math] se asigna al elemento cero en [math] K (\ alpha) [/ math]. Supongamos que hay, entonces:
[matemáticas] \ frac {a_0 + a_1 \ alpha + \ ldots + a_n \ alpha ^ n} {b_0 + b_1 \ alpha + \ ldots + b_m \ alpha ^ m} = 0 [/ math]
Por lo tanto:
[matemáticas] a_0 + a_1 \ alpha + \ ldots + a_n \ alpha ^ n = 0 [/ matemáticas]
¡Pero esto no tiene sentido! Ya sabemos que esto no puede ser cierto, ya que comenzamos suponiendo que [math] \ alpha [/ math] era trascendental.
Por lo tanto, el mapa de evaluación [math] \ phi [/ math] es un isomorfismo.