¿Es cierto que no todos los medidores tienen conexiones calibre-covariantes?

Answer 1

Sea [math] M [/ math] una variedad y [math] \ gamma [/ math] sea una curva en [math] M [/ math] que comienza en un punto [math] x [/ math] y termina en un punto [matemáticas] y [/ matemáticas]. Sea [math] E [/ math] un paquete vectorial sobre [math] M [/ math] con una conexión [math] \ Gamma [/ math]. Con la ayuda de esta conexión, para cualquier punto dado [matemática] p \ en E_x [/ matemática] (la fibra sobre el punto [matemática] x [/ matemática]), se puede definir una elevación única de la curva [matemática] \ gamma [/ math] a una curva [math] \ gamma ‘[/ math] en E que comienza en [math] p [/ math] y termina en algún punto [math] q \ en E_y [/ math] (el fibra por encima del punto [matemática] y [/ matemática]). Esto define un mapa (lineal) [matemático] \ hat {\ Gamma} (\ gamma) [/ matemático] de [matemático] E_x [/ matemático] a [matemático] E_y [/ matemático] llamado transporte paralelo a lo largo de [matemático] \ gamma [/ matemáticas]. Por lo tanto, en esta configuración, la definición de transporte en paralelo no depende de ninguna elección de calibre.

Sin embargo, hay una configuración diferente en la que la definición de transporte paralelo depende de la elección del medidor. Suponga que [math] V [/ math] es la fibra típica de [math] E [/ math]. Entonces, uno puede representar una sección de [math] E [/ math] como una función [math] V [/ math] -valored en el paquete principal correspondiente [math] P [/ math] o (después de tirarlo hacia abajo wrt a elección local de una sección de [matemática] P [/ matemática]) como una función de evaluación [matemática] V [/ matemática] en la base [matemática] M [/ matemática]. Si el paquete [math] E [/ math] no es trivial, la representación de una sección de [math] E [/ math] como una función [math] V [/ math] -valued en [math] M [/ matemática] es válida solo localmente y también depende de la elección del indicador. Supongamos que [math] U [/ math] sea un subconjunto abierto de [math] M [/ math] y [math] s [/ math] sea una sección de [math] E [/ math] dada como [math] V [/ math] -valued function en [math] U [/ math]. Si cambiamos el indicador por una transformación de indicador [matemática] g (x) [/ matemática] (una función de valor de grupo en [matemática] U [/ matemática]) entonces en el nuevo indicador la función le dará la misma sección [ matemáticas] g (x) ^ {- 1} s (x) [/ matemáticas]. Entonces, en esta configuración, dado que la representación de secciones de [math] E [/ math] depende del calibre, la definición de transporte paralelo también dependería del calibre. Entonces, si inicialmente llamamos a nuestro transporte paralelo a lo largo de la curva [math] \ gamma [/ math] como [math] \ Gamma (\ gamma) [/ math], luego de la transformación del indicador, el transporte paralelo correspondiente debe ser denotado por un símbolo diferente (por ejemplo) [matemáticas] \ Gamma ^ {g} (\ gamma) [/ matemáticas]. La relación que debe satisfacerse entre los dos es que si [math] \ Gamma (\ gamma) [/ math] envía [math] s (x) [/ math] a [math] \ tilde {s} (y) [/ math], luego [math] \ Gamma ^ {g} (\ gamma) [/ math] debe enviar [math] g (x) ^ {- 1} s (x) [/ math] a [math] g (y) ^ {- 1} \ tilde {s} (y) [/ math]. Esta condición también se puede escribir como

[matemáticas] g (y) \ Gamma ^ {g} (\ gamma) g (x) ^ {- 1} = \ Gamma (\ gamma) [/ math]

Entonces, en su ecuación, [math] \ Gamma [\ gamma] [/ math] en los dos lados no son el mismo objeto sino transportes paralelos que corresponden a dos opciones de calibre diferentes.