Cómo explicar el número de Euler a un laico

Answer 1

Asumiré que esta persona conoce las matemáticas suficientes para comprender el interés compuesto. (Alguien más tendrá que descubrir cómo explicarlo a alguien con menos antecedentes).

Supongamos que deposita $ 100 en su cuenta bancaria, a una tasa de interés anual del 100%, compuesta anualmente. Al final de un año, tendrás
[matemáticas] 100 * (1 + 1) = $ 200 [/ matemáticas].
¡Sencillo!

Ahora suponga que su dinero se capitaliza mensualmente, por lo que crece en 1/12 cada mes. Multiplicamos por esto después de cada mes, así que lo haremos 12 veces. A ese ritmo, dentro de un año, tendrás
[matemáticas] 100 * (1 + 1/12) ^ {12} = $ 258.90 [/ matemáticas]

Luego suponga que su dinero se capitaliza diariamente. Esto se pone realmente feo para calcular. Pero con una calculadora rápida, encontrarás que tendrás
[matemáticas] 100 * (1 + 1/365) ^ {365} = $ 271.46 [/ matemáticas]

¿Qué sucede cuando nuestro intervalo de tiempo se vuelve más pequeño? Cada número en nuestra multiplicación se vuelve más pequeño, pero los multiplicamos juntos más veces. Nuestro resultado aumenta lentamente hasta que estos dos efectos se equilibran entre sí, y nuestro resultado final es un valor fijo.

Debería encontrar que este valor es de aproximadamente $ 271.83. Nos hemos multiplicado por la constante
[matemáticas] \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} (1 + 1 / n) ^ n, [/ matemáticas]
que es aproximadamente 2.71828. (Desafortunadamente, no hay forma de representarlo exactamente). Las constantes útiles como estas generalmente reciben nombres especiales, y este valor se llama e.

¿Por qué es útil esto? Tenga en cuenta que en el segundo caso solo necesitamos hacer una sola multiplicación, en lugar de hacer una por cada paso de tiempo. El primer ejemplo se llama un problema discreto, porque hay un número finito de pasos. El segundo caso se llama continuo, porque nuestro valor cambia gradualmente con el tiempo.

Los problemas continuos son con frecuencia mucho más fáciles de resolver. Entonces, incluso si un problema subyacente es discreto, a menudo asumiremos que es aproximadamente continuo. Y cada vez que lo hagamos, la constante e seguramente aparecerá en nuestras ecuaciones.

Answer 2

Suponga que tiene un conjunto de tarjetas etiquetadas de 1 a n. Baraja las cartas y colócalas en algún orden. ¿Cuál es la probabilidad de que ningún número esté en su lugar correcto?

Es decir, la primera carta no es un 1, la segunda carta no es un 2, …, la enésima carta no es n.

Cuanto mayor sea n, más cercana será la respuesta a 1 en e. Si quieres hacerlo divertido y práctico, puedes probar este experimento con alguien para calcular e, y no decirles el valor de e hasta después.

Aquí hay uno que trata más sobre para qué usan los matemáticos e:

Suponga que un automóvil comienza a ir a 1 milla por hora. Luego se acelera, y su tasa de aceleración aumenta. Cualquiera que sea la velocidad que vaya, también es la aceleración que va. Entonces, al principio, cuando va una milla por hora, está acelerando a una milla por hora por hora (después de cada hora, su velocidad aumenta en una milla por hora). (¡oh, y queremos mantener las unidades iguales, así que hora y hora!) Pero cuando alcanzas dos millas por hora, tu aceleración es de dos millas por hora por hora. Cuando alcanza tres millas por hora, está acelerando a tres millas por hora por hora. Y así. Por lo tanto, parece que comenzaría a acelerar muy lentamente, y luego aceleraría y la velocidad que acelera también se acelera.

¡En efecto! Después de una hora, estarías yendo e millas por hora. Además, habría viajado e – 1 millas. Después de dos horas estaría yendo e ^ 2 o aproximadamente 7.3 millas por hora, y habría viajado un total de 6.3 o e ^ 2 – 1 millas. Después de tres horas estarías yendo e ^ 3 millas por hora. Y así.

Answer 3

Hay muchas formas de mirar e. Otro es:

Suponga que toma la secuencia: [matemáticas] 1, \ frac {1} {1}, \ frac {1} {1 * 2}, \ frac {1} {1 * 2 * 3}, \ frac {1} { 1 * 2 * 3 * 4} … [/ matemáticas] y así sucesivamente.

Súmelos todos, para siempre. Eso es e.

(Observe que los números en la secuencia se vuelven muy pequeños muy rápidamente, por lo que sumar algunos de ellos lo acerca bastante).

Answer 4

Deje que [math] exp (x) [/ math] se defina como la solución única a la ecuación
[matemáticas] \ frac {df (x)} {dx} = f (x); f ‘(0) = 1 [/ matemáticas]. Entonces [matemáticas] e = exp (1) [/ matemáticas].

En mi opinión, la función exponencial es en realidad mucho más interesante que [math] e [/ math] debido al hecho de que es su propia derivada, lo que la hace fantásticamente importante.

Answer 5

No.

Debido a que el valor del número está inherentemente vinculado a los límites, que es un concepto que el niño promedio de 5 años no comprende. A diferencia de pi, tampoco está vinculado a una forma básica de la que un niño de 5 años podría tener un concepto.

Answer 6

Es el único número tal que la derivada de e ^ x es en sí misma. (Y por derivada me refiero a la función que para cada x da la pendiente de la línea tangente a su función original). Además, es aproximadamente 2 puntos algo.

Answer 7

Como crecimiento natural.

Toma algo, digamos un árbol. Ahora agregue la pieza más pequeña posible. Ahora hazlo de nuevo. Y otra vez. Hazlo tantas veces como puedas imaginar.

Para decirlo matemáticamente, construyendo (una de) las definiciones de e a medida que avanza:

Toma algo:

[matemáticas] 1 [/ matemáticas]

Ahora agregue la pieza más pequeña posible:

[matemáticas] \ lim_ {n \ to \ infty} (1 + \ frac {1} {n}) [/ matemáticas]

Ahora hazlo tantas veces como puedas imaginar:

[matemáticas] \ lim_ {n \ to \ infty} (1 + \ frac {1} {n}) ^ n [/ matemáticas]

Que es e.

Answer 8

El verano y la vida es fácil,
Tu papi es rico y tu mamá tiene buen aspecto
Y todo es porque papá
Sabe esto: el interés es [matemáticas] {e} ^ {z} [/ matemáticas].

Answer 9

e es la identidad del cambio .

Answer 10

El libro “e La historia de un número” de Eli Maor es una muy buena descripción popular del tema.