¿Cuáles son algunos buenos temas matemáticos para exploración / investigación?

Answer 1

Aquí hay dos términos relacionados que podría considerar investigar más a fondo:

números hiperrealistas; y
Análisis no estándar.

Los números hiper-reales son un sistema de números que contienen los números reales que comparten muchas de las propiedades de los reales. Al igual que los números reales, los hiper-reales están ordenados linealmente, lo que significa que siempre se puede decir que [math] x \ geq y [/ math] o [math] y \ geq x [/ math] para dos números hiper-reales x e y .) Al igual que los reales, los hiper-reales forman un campo, lo que significa que puede sumar restar, multiplicar y dividir (excepto 0) cualquiera de los dos hiper-reales y obtener otro hiper-real.

Pero a diferencia de los números reales, los hiper-reales contienen números “ilimitados” e “infinitesimales”. Es decir, hay números hiper-reales x y z tales que x < y < z (con estricta desigualdad) para cada número real y . De hecho, hay muchos de esos números x y z .

Eso está todo bien y bien. Buen truco. ¿Pero a quién le importa?

Bueno, puedes reformular muchas matemáticas en hiperrealistas, incluido el cálculo. El cálculo hiperreal a veces se llama análisis no estándar. De hecho, el análisis no estándar es de alguna manera mucho más fácil que el cálculo con números reales simples. Después de todo, en el cálculo que aprendió, debe utilizar un proceso engorroso [matemático] \ delta – \ epsilon [/ matemático] para lidiar con los límites. En el análisis no estándar, puede expresar definiciones en términos de infinitesimales, sin tener que hacer las cosas [matemáticas] \ delta – \ epsilon [/ matemáticas].

Aquí hay un enlace a un libro de cálculo no estándar: Cálculo elemental. Hay otras referencias, por supuesto. Pero considere abrirse paso en este libro, debe haber mucho de lo que sacar provecho.

Answer 2

Creo que hay mucho interés en la historia de las matemáticas. Tome un área específica de su curso e investigue cómo adquirió el conocimiento que ahora tenemos. O vaya por el otro lado: lea uno o dos libros sobre historia de los temas de matemáticas y profundice en lo que le parezca interesante.

Dos recursos iniciales vienen a la mente.

(1) “e: historia de un número” (libro de Eli Maor, si la memoria sirve). Un hecho aleatorio muy interesante que aprendí de eso es que los matemáticos sabían que el área bajo la curva 1 / x era logarítmica incluso antes de que supieran mucho sobre los logaritmos, y ciertamente antes de que tuvieran cálculo. Hay muchas cosas como esta que pueden ser el comienzo de un viaje interesante.

(2) Artículos de revistas de Abraham Arcavi. Ha escrito mucho sobre cómo los temas de la historia de las matemáticas se pueden usar para animar el aula. El público objetivo son los profesores de matemáticas, pero eso no importa. Un ejemplo interesante es cómo los antiguos egipcios resolvieron un tipo particular de ecuación sin tener notación algebraica. Su método permaneció en uso durante mucho tiempo. El artículo comienza “Problemas verbales y ecuaciones”. Una búsqueda en JSTOR debería arrojar algunas buenas lecturas.

Answer 3

Muchos de los problemas abiertos en matemáticas requieren una comprensión profunda de los principios matemáticos y alguna orientación. Si ese es tu interés, ve a la universidad más cercana, encuentra un profesor interesante y convencelo de que te guíe.
Si desea hacer una exploración autoguiada, considere las combinaciones. Hay muchas preguntas que puede explorar, pero desde la experiencia con estudiantes desde la escuela secundaria hasta el nivel universitario, los Juegos Imparciales de dos personas son una gran fuente de exploraciones accesibles, que no solo involucran matemáticas, sino que pueden extenderse para usar computadoras e introducir algunos fundamentos de programación. , sin mencionar que es muy divertido. Hay una gran comunidad estudiando juegos y mucho se publica en Internet. Busque Nim en Wikipedia para empezar. O aquí hay una pregunta interesante y sin resolver. Se puede demostrar fácilmente que el juego de Chomp es una victoria para el primer jugador, pero nunca se ha encontrado una estrategia ganadora. Chomp no podría ser más simple, pero he pasado muchas horas trabajando en ello en vano.

Answer 4

Para ver resúmenes de algunos temas interesantes, mira los videos de Numberphile y Vi Hart en youtube. Otra buena fuente de temas matemáticos interesantes es el autor de matemáticas recreativas Martin Gardner. Mira sus libros o busca algunos de sus artículos en línea. Cualquiera de estas fuentes debe ofrecer una amplia variedad de temas para elegir. Elija uno que parezca divertido e interesante para explorar más a fondo.

Answer 5

¡Haz un poco de álgebra abstracta y topología! ¡Es realmente divertido aprender!

Es posible que desee ver la teoría del modelo, comenzando con los teoremas de incompletitud de Godel (realmente entendiéndolo), y luego mirando las formulaciones de la teoría de conjuntos (especialmente las cosas de Cantor y todo lo que comenzó) y los gustos. Esto será realmente útil para comprender realmente las matemáticas en lugar de simplemente hacerlo. La teoría de la computación también ayuda.

El álgebra abstracta básicamente generaliza todo lo que has hecho en la escuela. también es muy divertido 😀

Answer 6

Yo mismo soy estudiante del IBDP e hice mi exploración el año pasado sobre el problema del vendedor ambulante, que técnicamente es parte del programa de estudios (opción discreta).

En su lugar, iba a hacer criptografía, pero se me desaconsejó como si fuera a hacerlo “simplemente”, sería un trabajo de nivel SL, y si voy a profundizar, sería de nivel EE.

Un amigo mío que hace IB Later Maths HL hizo lo suyo en “Cómo la frecuencia del timbre de una campana varía según su forma”. Algunos de mis otros amigos de SL lo hicieron sobre la “tasa de propagación de enfermedades”.

La exploración de matemáticas HL es muy divertida, estoy seguro de que disfrutarás haciéndolo independientemente de tu tema.

Answer 7

Estoy bastante cerca de tu posición. Estoy en el último año de secundaria y también estoy trabajando en un estudio independiente. La teoría de grupos es algo increíblemente accesible si comienzas desde sus postulados y avanzas. Puede hacer algunas cosas divertidas y aplicarlas a la cristalografía si así lo desea. Si eso no te interesa, entonces creo que podrías divertirte con la teoría básica de conjuntos. Podrías pasar por la paradoja de Russell de la ingenua teoría de conjuntos y quizás pasar a algunos resultados con cardenales infinitos. Lo más destacado en mi libro es el hecho de que hay tantos números complejos como números reales y que casi todos los números reales no son definibles.

Mi proyecto se basa más en un punto de vista físico, estoy haciendo algunas cosas con grupos de mentiras y teoría cuántica, el resultado básico principal es la doble cobertura SU (2) de SO (3). Si este tipo de cosas le interesan o tiene alguna otra pregunta, hágamelo saber.

Answer 8

Los fractales son siempre divertidos.