David Joyce dio una respuesta buena y simple. Si quieres algo que sea muy fácil de entender, deberías ir a leerlo en lugar del desastre que estoy a punto de escribir. Sin embargo, como teórico de los números, me siento obligado a hablar sobre el “panorama general”.
En la teoría de números, existe una noción particular de lo que es un conjugado, que abarca conjugados complejos e irracionales, e implica extensiones de campo. Primero, ¿qué es un campo? Un campo es una estructura algebraica donde hay una noción de suma y multiplicación que son “agradables”: son asociativas, conmutativas, distributivas, y hay inversas aditivas y multiplicativas. Los ejemplos incluyen los números racionales [math] \ mathbb {Q} [/ math], los números reales [math] \ mathbb {R} [/ math] y los números complejos [math] \ mathbb {C} [/ math] , pero hay muchos, muchos otros que son menos familiares.
Por ejemplo, está el campo [math] \ mathbb {Q} [i] [/ math], que consiste en todo de la forma [math] q_1 + q_2 i [/ math], donde [math] q_1, q_2 [ / matemáticas] son números racionales. Intuitivamente, tomamos los racionales, y luego agregamos el número imaginario [math] i [/ math] para crear un nuevo campo. Este campo se llama una extensión de [math] \ mathbb {Q} [/ math] (es un campo que contiene [math] \ mathbb {Q} [/ math]).
Este campo viene equipado con un automorfismo especial: una función [matemática] f [/ matemática] desde [matemática] \ mathbb {Q} [i] [/ matemática] a [matemática] \ mathbb {Q} [i] [/ matemática ] que tiene la propiedad de que [matemáticas] f (a + b) = f (a) + f (b) [/ matemáticas] y [matemáticas] f (ab) = f (a) f (b) [/ matemáticas] . Es decir, es una función que preserva la suma y la multiplicación. Este automorfismo es especial porque envía todos los números racionales al mismo número racional; decimos que arregla [math] \ mathbb {Q} [/ math].
¿Qué es este automorfismo mágico? Por qué, no es más que conjugación compleja: [matemática] f (q_1 + q_2 i) = \ overline {q_1 + q_2 i} = q_1 – q_2 i [/ math].
Resulta que este es el único automorfismo de [math] \ mathbb {Q} [i] [/ math] que corrige [math] \ mathbb {Q} [/ math] (bueno, aparte del automorfismo de identidad [math] f (x) = x [/ matemáticas]).
Un caso similar ocurre si está mirando un campo como [math] \ mathbb {Q} [\ sqrt {2}] [/ math], que es solo el conjunto de cosas como [math] q_1 + q_2 \ sqrt {2 } [/matemáticas]. Este también es un campo, y también tiene un automorfismo especial que corrige [math] \ mathbb {Q} [/ math], que también se conoce como conjugación: [math] f (q_1 + q_2 \ sqrt {2}) = q_1 – q_2 \ sqrt {2} [/ math].
Como puede estar adivinando en este momento, esto es parte de algo mucho, mucho más grande. En general, tiene alguna extensión de [math] \ mathbb {Q} [/ math], que podría llamar [math] \ mathbb {K} [/ math], y tendrá un conjunto finito de automorfismos que arreglan [math] ] \ mathbb {Q} [/ math]. Cuando aplica estos automorfismos a algún número en [math] \ mathbb {K} [/ math], nos referimos a los resultados como los conjugados de ese número. ¡Puede haber más de un conjugado en general!
Aquí hay un ejemplo relativamente simple de esto. Deje [math] \ mathbb {K} = \ mathbb {Q} [\ sqrt {2}, \ sqrt {3}] [/ math], es decir, el conjunto de todo de la forma [math] q_1 + q_2 \ sqrt { 2} + q_3 \ sqrt {3} + q_4 \ sqrt {6} [/ matemáticas]. Entonces [math] \ sqrt {2} + \ sqrt {3} [/ math] tendrá 3 conjugados: [math] \ sqrt {2} – \ sqrt {3} [/ math], [math] – \ sqrt { 2} + \ sqrt {3} [/ math] y [math] – \ sqrt {2} – \ sqrt {3} [/ math].
Aquí hay un ejemplo más complicado. Considere el polinomio [matemáticas] X ^ 3 + X + 1 [/ matemáticas]. Esto tiene tres raíces: una de ellas es real (que llamaremos [matemáticas] \ alpha [/ matemáticas]), y dos de ellas son complejas (las llamaremos [matemáticas] \ beta [/ matemáticas] y [matemáticas] \ overline {\ beta} [/ math]). Consideramos el campo [math] \ mathbb {Q} [\ alpha, \ beta] [/ math]. Este es un poco de monstruo, que consiste en todo lo que tiene la forma [matemáticas] q_1 + q_2 \ alpha + q_3 \ alpha ^ 2 + q_4 \ beta + q_5 \ beta ^ 2 + q_6 \ alpha \ beta [/ matemáticas].
Si ha recogido el patrón, no debería ser una sorpresa que los conjugados en este conjunto en general vengan en conjuntos de 6, aunque podría haber menos conjugados únicos . Por ejemplo, [math] \ alpha [/ math] tiene conjugados [math] \ beta [/ math] y [math] \ overline {\ beta} [/ math]. Esto proporciona un buen ejemplo de cuándo algunos conjugados son reales, pero otros son complejos. Por otro lado, [math] \ alpha – \ beta [/ math] realmente tiene 5 conjugados únicos: [math] \ alpha – \ overline {\ beta} [/ math], [math] \ beta – \ overline { \ beta} [/ math], [math] \ overline {\ beta} – \ beta [/ math], [math] \ beta – \ alpha [/ math], [math] \ overline {\ beta} – \ alpha [/matemáticas].