¿Por qué es incorrecto definir la multiplicación como suma repetida?

Answer 1

La multiplicación es una suma repetida cuando uno de los factores es un número entero.

3 * 5 = 5 + 5 + 5
3 * -5 = -5 + -5 + -5
3 * 1.5 = 1.5 + 1.5 + 1.5

Cuando generaliza la operación a enteros, racionales, números reales y números complejos, ya no se puede expresar de esta manera.

Considere (pi – 3i) (e – 7.2i)

¿Qué significaría agregar pi a sí mismo e veces, o agregar -3i a sí mismo -7.2i veces?

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El OP, Steven, ya entiende esto, y su pregunta es realmente sobre pedagogía. Creo que es común en el desarrollo de las matemáticas y, por lo tanto, apropiado en la enseñanza de las matemáticas, que los conceptos comiencen con un significado más específico y limitado y luego se abstraigan, amplíen y generalicen gradualmente. Es realmente difícil aprender la versión más general primero. Necesitas algo mucho más concreto para tener una idea. No se puede enseñar análisis real a alumnos de tercer grado.

El artículo de Devlin hace referencia a la exponenciación. Esto comenzó como la idea de multiplicación repetida, y luego se extendió a enteros negativos con la idea de que x ^ -1 = 1 / x , y racionales con la idea de que x ^ ( m / n ) = la enésima raíz de x ^ m . Luego se extendió a reales redefiniendo un exponente como entrada a una versión de e ^ x , la función con la propiedad f ( x ) * f ( y ) = f ( x + y ). Pero los seres mortales no pueden entender esta definición a menos que ya estén muy cómodos con la idea más primitiva de exponenciación.

Otro ejemplo sería el concepto de una función. La primera vez que aprende sobre funciones, se le enseña a pensar en una función como una especie de máquina; pones un número y sales otro. Esto es algo que la mayoría de la gente puede entender. La definición “real” de una función, como un mapeo entre conjuntos, es un refinamiento que no necesitará hasta mucho más tarde en su educación matemática.

Así que estoy de acuerdo con el OP, contra Devlin (quien admite que no es un maestro). No está mal enseñar la multiplicación como una suma repetida, es simplemente limitada. Y hay formas intuitivas y significativas de extender la idea a diferentes tipos de números, en lugar de simplemente decir “Te mentimos antes; esto es lo que realmente significa”.

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EDITAR: Me pidieron que elaborara, que diera un ejemplo de cómo se podría hacer esto. Probablemente hay muchas formas. Aquí hay una posibilidad.

Si desea encontrar el área de un rectángulo, es decir, el número de cuadrados unitarios que cabría dentro de un rectángulo, multiplique el número de cuadrados a lo largo de la base por el número de cuadrados a lo largo de la altura. Si ambos números son números naturales, digamos 5 y 3, entonces es fácil ver que 5 * 3 = 5 + 5 + 5, y la multiplicación es una forma rápida de hacer sumas repetidas. También es fácil ver que el orden no importa en la multiplicación, porque cuando giras el rectángulo sigue siendo del mismo tamaño. Entonces 3 * 5 = 5 * 3.

Pero, ¿qué pasa si la altura es 1/2 en lugar de 3? Aquí estamos comenzando a pasar del pensamiento discreto al continuo. Es de esperar que, dado que 1/2 es más de 0 y menos de 1, deberíamos obtener más de 0 * 5 y menos de 1 * 5. Puedes mostrar con un dibujo que obtienes cinco medios cuadrados; 1/2 veces 5 es la mitad de cinco, o 2 y 1/2. Todavía estás haciendo sumas repetidas, pero lo que estás agregando repetidamente es una pieza de un cuadrado, no un cuadrado completo. Puede hacer lo mismo con tercios, cuartos, etc. para reforzar la idea.

Cuando los estudiantes se sientan cómodos con la fracción de números enteros, deberían comenzar a ver que multiplicar por 1/2 siempre da la mitad del número. Incluso pueden notar que multiplicar por 1/2 es realmente lo mismo que dividir por 2. Eso les permite pensar en el significado de 1/2 * 1/2. Obtienes la mitad de la mitad, o 1/4. Estás agregando 1/2 “medio tiempo”. Te estás moviendo hacia la idea de la multiplicación como escala y los números como continuos en lugar de discretos.

Las técnicas para manipular decimales son diferentes para las de manipular fracciones, pero el concepto, la justificación, son los mismos. Los decimales son solo otra forma de escribir fracciones; cada decimal es una fracción con un denominador de 10 a alguna potencia. La división es la multiplicación por una fracción. Puede multiplicar y dividir en cualquier orden sin cambiar la respuesta. Entonces, por ejemplo, .25 * .25 = .0625 porque 25/100 * 25/100 = 25 * 25/100/100 = 625/10000 = .0625.

(Una falla en la forma en que enseñamos matemáticas, en mi opinión, es que enseñamos algoritmos complicados para la computación, como la división larga, en un momento en que los estudiantes son demasiado jóvenes para comprenderlos conceptualmente. Entonces se les ocurre la idea de que las matemáticas se trata de memorizar técnicas y reglas siguientes que no tienen sentido intuitivo).

Esta descripción probablemente podría elaborarse con más detalle y mejorarse, pero la idea general es que, a medida que introduce un nuevo tipo de números, lo explica en términos de los tipos conocidos y la extensión de las operaciones a estos nuevos tipos debería tener sentido, y no debería sentirse como una redefinición total.

Answer 2

El problema de definir la suma como multiplicación repetida es que da lugar a preguntas misteriosas y profundas como ¿por qué es (-1) (- 1) = 1? Obviamente, resolvemos esto mágicamente (o simplemente forzando a los niños a memorizar este hecho) mediante un argumento numérico complejo oculto o algún truco inteligente sobre el mantenimiento de la ley distributiva para los enteros. La multiplicación de matrices y la multiplicación compleja es otro tema misterioso.

La solución de Devlin para abordar estos misterios es hacer que toda la idea de la multiplicación de números naturales sea misteriosa al no definirla (como suma repetida). Con este estilo de enseñanza, el negocio -1 es solo otro comportamiento loco de los enteros y no necesita consideraciones especiales. Todos los hilos sobre las “intuiciones” sobre la multiplicación de números complejos aún permanecerán, pero ahora pueden no ser tan misteriosos. Después de todo, ciertos números vienen con un paquete de suma y multiplicación. Y los números complejos serán solo uno de esos números. La actitud es que la multiplicación es un concepto general y allana el camino para que los maestros de secundaria introduzcan más multiplicación.

Esto reforma la actitud hacia las matemáticas como una asignatura que estudia objetos interesantes y sus relaciones en lugar de una asignatura lógicamente precisa que construye todo a mano a partir de axiomas.

Answer 3

Escribió esto como un comentario; aunque lo subiría a una respuesta. (No hay créditos para comentarios)

Hay un poco de condescendencia “OMG K-12 Math teechurz R so dum, lol” en el artículo que no me gusta.

Claro, es importante pensar en la multiplicación como una operación separada, escalar o hacer que un número o cantidad sea un número de veces mayor. Tiene razón en que es importante mantener esa definición al frente y al centro, y no hacer que parezca que la multiplicación se define como una suma repetida. Y eso puede ser fácilmente entendido por una variedad de estudiantes en todos los niveles. Un montón de ejemplos concretos para dibujar.

Pero en términos de multiplicación, en términos de enseñarlo, esa idea de suma repetida es bastante esencial desde el principio al principio. Debido a que para multiplicar dos fracciones o dos decimales, debe poder multiplicar dos números naturales de un solo dígito. Para hacer eso, el estudiante necesita aprender la tabla de multiplicar clásica. Y aprender eso de una manera que no es solo algo mágico para memorizar que cae del cielo, para ayudarlos a experimentar de dónde provienen los resultados en la tabla, en algún lugar a lo largo de la línea tienes que invocar algo como:

“Está bien. Mira 6 × 5. Tienes un grupo de 5 y estás haciendo que el grupo sea 6 veces más grande. ¿Cuántos hay ahora? Bueno, eso será como tomar 6 de esos grupos de 5, copia- pegar casi y unirlos. Y eso es como agregar 6 grupos de 5, como 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5. Intenta hacer eso, mira lo que obtienes. Tómate un minuto o dos. ¿Qué obtienes? 30. Bueno, mira la tabla de multiplicar aquí. Eso es lo mismo que ves aquí, cuando cruzas 6 con 5. Podrías reconstruir toda la tabla así si quisieras “.

Luego puede dibujar una imagen, o una animación flash o lo que sea, mostrando que 6 grupos de 5 están dispuestos como 6 filas de 5 en un rectángulo. Lo que da un buen paso a la multiplicación también le permite encontrar el área de un rectángulo. También da un buen paso al notar, bueno, es el mismo número si estás hablando de 6 filas de 5 cada una, o girándola hacia un lado para tener 5 filas de 6. Oh. Es lo mismo que la adición donde el orden no importa. 6 × 5 = 5 × 6 = 30.
Eso siempre funciona también.

Creo que sería una experiencia instructiva para este profesor ir a un aula de tercer grado de niños estadounidenses promedio e intentar enseñar los conceptos básicos de la multiplicación. Creo que reconocería bastante rápido: “Oh, tal vez esa no sea la definición de multiplicación, pero es bastante clave pedagógicamente para enseñarla”. Del mismo modo, me gustaría ver cómo en el mundo comenzaría a enseñar exponentes distintos a los exponentes de números naturales como un atajo para la multiplicación repetida.

Diré que estoy de acuerdo con su llamado a que los expertos universitarios en matemáticas y los maestros de K-12 tengan un diálogo más bidireccional. Aplica en muchas otras materias también.

Answer 4

Puede definir la multiplicación de enteros positivos como suma repetida y, por supuesto, hay dos formas de hacerlo. Sin embargo, es un error insistir en que hay un orden correcto y el otro es incorrecto.

Hecho formalmente, sin embargo, como lo hizo Grassman en 1860, y otros como Dedekind y Peano lo hicieron más tarde, no se hace explícitamente como una adición repetida, sino recursivamente, es decir, se define en términos de sí mismo, y finalmente termina en un caso base que no lo hace. t implican multiplicación.

Hay muchas formas de definir la multiplicación e insistir en que una sea correcta y que todas las demás como incorrectas estén equivocadas.

En matemáticas, cuando hay varias condiciones equivalentes diferentes que podría usar para una definición, es suficiente elegir cualquiera de ellas como su definición. De hecho, a veces verá primero el teorema que demuestra que las condiciones son equivalentes, luego una definición que comienza con “si alguna de las condiciones equivalentes es válida …” para que nadie en particular sea señalado como el correcto.

Answer 5

Ciertamente no estaría de acuerdo con la afirmación de que “es incorrecto definir la multiplicación como suma repetida”.

Esa es una definición perfectamente válida para una multiplicación donde al menos uno de los factores es un entero positivo. Además, la forma más directa de definir la multiplicación de números arbitrarios es comenzar de esa manera y luego construir los casos más complicados – multiplicación de números racionales, y luego de números reales – a partir de eso. (A veces no lo haces precisamente de esa manera porque quieres que la teoría funcione un poco más limpiamente, pero esa es claramente la idea detrás de las otras formas de definirla).

Por lo tanto, sería mucho más claro y menos innecesariamente provocativo decir “no es suficiente definir la multiplicación como ‘suma repetida’, al menos si quieres cubrir todos los casos en los que la multiplicación es útil”

Answer 6

La respuesta a su pregunta se encuentra en el artículo del profesor Devlin, aunque está convenientemente ubicado al final. Él no es un maestro de matemáticas de k-12, ni tiene experiencia en la enseñanza en todos esos niveles. En mi opinión, no recuerda que ciertos componentes del cerebro no se han formado completamente cuando los niños ingresan a la escuela, y para muchos estudiantes aún no han desarrollado completamente la capacidad de pensamiento abstracto cuando se les enseña matemáticas. .

Parece lamentarse de que los conceptos necesiten ser retomados o ampliados en su argumento en contra de esta descripción de la multiplicación, pero señala que las matemáticas están llenas de veces cuando la comprensión se desafía hasta que las nociones se redefinen. Insistir en que los estudiantes aprendan las definiciones más abstractas primero no reconoce lo que la investigación educativa revela regularmente, que la comprensión y el recuerdo son más fuertes cuando los estudiantes conectan los conceptos que entienden con los nuevos conceptos que se les presentan.

Cuando los estudiantes no pueden visualizar la multiplicación, las tablas de multiplicar se convierten en algo para memorizar, y la aplicación posterior de estos hechos se vuelve más difícil. Me encuentro trabajando con muchos de estos estudiantes durante todo el día en una escuela secundaria alternativa. Cuando se les da una ecuación lineal simple, los problemas extraños, como conducir a una velocidad constante durante un tiempo determinado, dan como resultado una distancia recorrida de … Estos estudiantes no saben qué operación usar, y, por lo tanto, cosas como dividir, cuadrar y peor aún, renunciar en matemáticas Ver que los problemas de suma repetidos se pueden resolver usando la multiplicación es revelador para estos estudiantes. Les da la esperanza de que puedan razonar a través de las soluciones a los problemas de palabras.

El profesor Devlin es sin duda un matemático talentoso. Él está enseñando en el entorno correcto, estoy seguro. Las matemáticas en la universidad de Stanford son un entorno diferente al de las aulas donde ningún niño se queda atrás. Por eso se opone a tales técnicas.

Answer 7

No es incorrecto; la multiplicación es suma repetida. En el caso de los números positivos (enteros o no) es muy obvio que está agregando repetidamente x número y veces, por ejemplo: 4 x 6 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 o 6 + 6 + 6 + 6 . Sin embargo, cuando usa números negativos, parece que está restando repetidamente, pero está agregando un valor negativo tantas veces. Ejemplo: 4 x -6 es -6 + -6 + -6 + -6 o -4 + -4 + -4 + -4 + -4 + -4 + -4. Cuando tiene dos números negativos, debe ajustarlos restando una cantidad negativa, que se convierte en suma de nuevo: -4x-6 = – (- 4) – (- 4) – (- 4) – (- 4) – (- 4) – (- 4), etc. Cada uno de esos tiene un negativo aplicado a otro negativo que los hace todos positivos.
Sin embargo, estoy de acuerdo con cualquier otra respuesta. En un contexto más profundo, no se puede simplemente llamar la suma repetida de multiplicación, y lo que los artículos no se dan cuenta es que esta estructura de suma repetida está diseñada para ayudar a los niños a dominar las tablas de multiplicación en primer lugar (¡maestro aquí!) Y que no acostumbrarse fuera de ese propósito, o al menos, no debería. Esa estructura tiene sentido para mí cuando enseño a comenzar la multiplicación, pero no la usaría en un curso de cálculo, porque el contexto es completamente diferente y puede no ser el enfoque más eficiente para ayudar a alguien a multiplicar dos cosas.

Answer 8

Su siguiente artículo, Multiplication and These Pesky British Spellings, en particular, aborda su argumento directamente y con un poco de investigación educativa para respaldarlo.

En mi opinión, el mejor argumento que Devlin hace en esta serie (ver también Aún no se repite la adición, la multiplicación y esas ortografías británicas molestas, y ¿qué es exactamente la multiplicación?) Es que hay evidencia empírica de que su método simplemente no funciona .

Es decir, ¿por qué deberíamos pensar que su enfoque propuesto es engañoso? Porque muchas personas están claramente engañadas por eso. Él dice: “Estoy viendo los resultados finales de la educación matemática K-12 y es evidente que no está enseñando a suficientes personas el concepto de multiplicación con precisión”.

Si los estudiantes salen del proceso educativo sin una comprensión precisa de la multiplicación, debe haber algo mal con ese proceso. ¿Podríamos comenzar con la definición de “adición repetida” y encontrar formas más efectivas de extender el concepto? Espero que sí, pero creo que el artículo hace un punto valioso de que la extensión parece ser difícil de hacer con éxito.

Answer 9

Es importante distinguir entre hacer cálculos que involucran la multiplicación en un conjunto dado de números con una definición particular de la operación etiquetada como “multiplicación” y una definición universal de multiplicación que se supone que es válida para cada caso conocido o concebible. Es probable que este último no solo sea un mandado de tontos, sino que hará que los estudiantes se extravíen cuando encuentren ejemplos que se comporten de manera diferente a lo mundano.

Si desea calcular 4 x 6, en su mayor parte no hay diferencia en el resumen si: 1) realiza sumas repetidas; y 2) interpretar la pregunta como sumando cuatro 6s sumando o seis 4s. Tampoco, independientemente del orden, no obtendrá la respuesta correcta a la pregunta original, salvo los errores computacionales.

¿Pero su cálculo y los medios para hacerlo reflejarán con precisión una situación específica aplicada en el mundo real? ¿Son 400 bolsas de arena de seis libras lo mismo que seis bolsas de 400 libras? Sí, si lo único que le importa es el total de libras de arena que tiene; no, si tienes que llevar las maletas a un camión a mano.

¿Qué tal, digamos, horas de trabajo? Si bien 4 trabajadores cada uno haciendo un trabajo durante 6 horas y 6 trabajadores cada uno haciendo ese trabajo durante 4 horas es la misma cantidad de horas de trabajo, eso apenas importa si solo tiene 4 trabajadores disponibles o necesita un trabajo completado en no más de 4 horas .

¿Y qué pasa si estás en un “mundo” donde la multiplicación no es conmutativa, como la multiplicación matricial? En general , multiplicar dos matrices nxn, A y B, no dará el mismo resultado cuando calcules A * B versus B * A.

Para concluir, no veo nada de malo en afirmar que, digamos, la multiplicación entera puede resolverse mediante la suma repetida, etc. Veo algunos problemas serios al afirmar en términos generales que “la multiplicación ES una suma repetida.

Answer 10

la multiplicación es suma repetida si te limitas a los números naturales. está bien definirlo así, y probablemente sea su definición original (en cierto sentido, alguien debe haberlo inventado, y probablemente estaba contando cosas “¿cuántos higos en diez bolsas si cada bolsa tiene 450 higos?” o algo así) así.) cuando aparecieron los racionales, una generalización trivial le dio una extensión. se necesitaba uno más complejo para los números reales (me refiero a la generalización en el sentido de que los naturales son reales, y que si usas la multiplicación real para enteros aún obtienes el mismo resultado).
Está bien enseñar que la multiplicación es una suma repetida para los niños, es la forma natural de hacerlo.

Answer 11

Por lo que sé, la idea de que la multiplicación es una suma repetida es menos una definición y más una “coincidencia”. Enseñarles adiciones repetidas a los escolares les ayudará a resolver un problema de multiplicación, en lugar de decirles una definición real (que tiene sus pros y sus contras).

Lo que Meir mencionó acerca de estar en las unidades equivocadas tiene mucho sentido y la respuesta que proporcionó habla sobre la multiplicación con números enteros no positivos, lo que también es cierto (¿cómo se agrega un número pi veces?).

También encuentro que cuando pienso en configuraciones más abstractas (es decir, grupos o campos) también debería existir una operación inversa. Quiero decir, la división es el inverso de la multiplicación, así que si multiplicar es sumar un cierto número de veces, ¿es la división solo resta un cierto número de veces? No lo creo.

Afirmar que las definiciones incorrectas son una definición real a veces puede generar confusión, incluso si parecen correctas por coincidencia. El mejor ejemplo que se me ocurre es la definición de números primos.

Cuando éramos niños (cuando solo estábamos trabajando con números enteros positivos) nos enseñaron que un número primo es “un número que es divisible por 1 y en sí mismo”, luego se preguntó a la clase cuál era el primer número primo y todos gritaron:
“1!”
La maestra tuvo que decir rápidamente: “¡Oh, 1 no es un número primo!”
“¿Por qué no?”
“Uhh … porque simplemente no lo es”.
¡No entendí por qué era así hasta que me dieron una definición real en la universidad, 10 años después!

Usar definiciones como estas puede parecer correcto al principio, pero comienzan a dividirse en otras partes de las matemáticas, y las matemáticas tienen que ver con la coherencia.

Answer 12

Cualquier “definición” de multiplicación que tenga sentido para los niños que la están aprendiendo por primera vez, probablemente no se aplique a todos los números reales.

¿Cómo se define la suma? Será mejor que no defina [matemáticas] 3 + 4 [/ matemáticas] como “Si tengo 3 manzanas aquí y 4 manzanas aquí …” ¡Eso estaría mal , porque no puede tener -5 manzanas! ¿Cómo lo manejarían esos pobres niños, cuando comienzan a aprender sobre los números negativos y descubren que básicamente les mentiste todo este tiempo? Y definitivamente no puede tener manzanas [matemáticas] i [/ matemáticas], o manzanas [matemáticas] (1, -3, 2) [/ matemáticas], así que espere crisis existenciales totales cuando intenten aprender la adición compleja o la adición de vectores . (Y no me hagas hablar de lo que sucede si intentan imaginarse que tienen manzanas [math] \ omega [/ math] …)

Una de las mejores cosas de las matemáticas es que siempre hay más. Mejor aún es cuando comenzamos a aprender sobre un superesistema de algo con lo que hemos trabajado antes, y descubrimos que muchas de nuestras operaciones básicas se pueden extender a las operaciones en ese nuevo sistema de una manera que sea consistente con lo que ya habíamos sido. trabajando con. Dudo seriamente que alguna vez tengamos una noción de suma o multiplicación que sea totalmente integral y que nunca pueda extenderse a algo más grande. Incluso si lo hiciéramos, ¿es realmente algo que podríamos enseñar a los niños pequeños y esperar que comprendan tan bien que aún puedan obtener un dominio práctico de la aritmética de números reales? Tal vez, y si es así, sería bastante interesante de ver, pero personalmente me sorprendería mucho.

Aprendemos la suma para un sistema simple de números de una manera que tenga sentido para ese sistema, y ​​cuando nos enteramos de un sistema más grande, aprendemos a adaptar nuestra noción de suma en consecuencia. Lo mismo ocurre con la multiplicación.

Lo que acabo de dar entraría en la categoría 4 de los “argumentos del blogger” citados en Multiplication and Those Pesky British Spellings. La enseñanza de la multiplicación como suma repetida puede ser una mala idea, pero no por la razón de que esté “mal” matemáticamente. Si crees que eso es lo que Devlin estaba diciendo, lee el artículo nuevamente y con más cuidado. La cuestión es si esta forma de enseñar es errónea pedagógicamente , en otras palabras, si dañará el futuro aprendizaje matemático de los estudiantes, y los méritos de esa afirmación deben determinarse por la evidencia de las aulas reales. La forma en que aprendemos no es tan sencilla como nos gustaría que fuera.

Answer 13

No creo que sea una mala idea comenzar a los niños con la multiplicación mostrándoles sumas repetidas. Todos comenzamos en matemáticas usando enteros positivos, después de todo. Como alternativa, aquí hay una idea adaptada de Whitehead: ¿Cuántos conjuntos puedes armar de cuatro camisas y seis pares de pantalones? Esto tiene la ventaja de que no depende de que la multiplicación sea una operación binaria.

Solo tengo un problema con enseñar a los estudiantes que hay una manera correcta de entender la multiplicación y que todas las otras formas están mal.

Answer 14

La suma repetida tiene un significado cero cuando se trata de generalizar la multiplicación a otra cosa que no sean números naturales.

¿Qué es 1.3 * 1.2 en términos de suma repetida?
¿Qué pasa con -3 * -2?
¿O 6/7 * 2/9?

Incluso con números naturales, pensar en términos de suma repetida a menudo no es práctico. 100000 * 1234567

Answer 15

De todos modos, en los números naturales, no hay nada “incorrecto” en definir la multiplicación como suma repetida:

[matemáticas] n \ veces 2 = n + n [/ matemáticas]
[matemáticas] n \ veces 3 = n + n + n [/ matemáticas]
[matemáticas] n \ veces 4 = n + n + n + n [/ matemáticas]
[matemáticas] \ vdots [/ matemáticas]

Trabajando el patrón hacia atrás restando n , podemos obtener:

[matemáticas] n \ veces 1 = n [/ matemáticas]
[matemáticas] n \ veces 0 = 0 [/ matemáticas]

Para un enfoque más algebraico para estudiantes avanzados, podemos definir la multiplicación en los números naturales de la siguiente manera:

(1) Para todos los números naturales n tenemos [math] n \ times 0 = 0 [/ math] o, según su preferencia, [math] n \ times 1 = n [/ math]

(2) Para todos los números naturales n y m , tenemos [matemática] n \ veces (m + 1) = n \ veces m + n [/ matemática]

Answer 16

Un problema que se me ocurre es con las unidades. Si tengo dos longitudes, x e y, y quiero encontrar el área que encierran, no puedo simplemente agregar x y-veces. Llegaría al escalar correcto pero a las unidades equivocadas. Estoy buscando metros cuadrados y el método de suma me dio metros.

Answer 17

Resumiendo lo que otras personas dijeron:

4 × 6 = 4x (5 + 1) … porque 6 es el número que viene después de 5
= 4 × 5 + 4 … ley distributiva
= 4x ​​(4 + 1) + 4 … porque 5 es el número que viene después de 4
= 4 × 4 + 4 + 4 … ley distributiva
…
= 4 × 0 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4
= 0 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 … porque cualquier cosa multiplicada por cero es cero
= 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4

Para los números racionales, la multiplicación se define tomando el campo del cociente de los enteros.

Para números reales, tomas el cierre analítico de los racionales.

Answer 18

No se generaliza a factores no enteros.