¿Existe alguna teoría especial para resolver este problema? Encuentre los dos últimos dígitos de [matemática] S [/ matemática] si [matemática] S = 1 ^ N + 2 ^ N + 3 ^ N + \ ldots + K ^ N [/ matemática ] y dado que [matemáticas] 2 \ le K \ le 10 ^ {16}, \; 2 \ le N \ le 10 ^ {16}? [/ Matemáticas]

Answer 1

Sí hay. Se llama teoría de números o, en este caso, simplemente aritmética modular.

Sea f (k, n) los dos últimos dígitos de [math] k ^ n [/ math]. Entonces [matemáticas] k ^ n \ equiv f (k, n) \ mod 100 [/ matemáticas].
Así que realmente solo estamos haciendo todas nuestras matemáticas mod 100. [matemáticas] f (k + 100, n) = [/ matemáticas] [matemáticas] (k + 100) ^ n \ equiv (k + 0) ^ n \ mod 100 [/ math] [math] = f (k, n) [/ math], entonces f es periódico y su período es 100.

Los dos últimos dígitos de S se pueden volver a escribir de: [matemáticas] \ sum_ {k = 1} ^ K f (k, N) [/ matemáticas] a: [matemáticas] \ lfloor \ frac {K} {100} \ rfloor \ sum_ {k = 1} ^ {99} f (k, N) + \ sum_ {k = 1} ^ {K-100 \ lfloor \ frac {K} {100} \ rfloor} f (k, N) [/matemáticas]
O si dejas que K ‘sea los dos últimos dígitos de K:
[matemáticas] \ lfloor \ frac {K} {100} \ rfloor \ sum_ {k = 1} ^ {99} f (k, N) + \ sum_ {k = 1} ^ {K ‘} f (k, N )[/matemáticas]

Answer 2

Para cada número en la suma, mire los dos últimos dígitos del número.
por ejemplo, 31, 131, 231, 331, etc., todos tienen 31 como los dos últimos dígitos. Ahora eleva estos números a cualquier potencia y vuelve a ver los últimos dígitos. Si aún no lo ha adivinado, sí, siguen siendo los mismos. es decir 31 ^ n, 131 ^ ny todos tienen los mismos dos últimos dígitos. Descanse todo lo que necesita es una aritmética modular sencilla. Creo que eso debería darle suficiente pista para resolver el problema.

Answer 3

El Teorema del resto chino nos dice que es suficiente determinar el valor de [math] S [/ math] modulo los factores de potencia primos de [math] 10 ^ 2 [/ math]. En particular, en este contexto modular, los sumandos se repetirán con un período igual a este módulo.

Además, el teorema de Euler-Fermat nos dice que, módulo a potencia primordial [matemática] p ^ e [/ matemática], si [matemática] x [/ matemática] es indivisible por [matemática] p [/ matemática], entonces [matemática ] x ^ N [/ math] solo depende del valor de [math] N [/ math] módulo [math] (p – 1) p ^ {e – 1} [/ math], mientras que, si [math] x [/ math] es divisible por [math] p [/ math], luego [math] x ^ N [/ math] es cero una vez [math] N> = e [/ math]. Esto, con un mínimo de atención, también nos permite reducir [matemáticas] N [/ matemáticas] a niveles manejables.

Finalmente, como una nota de interés, aunque no es realmente necesaria para hacer que este problema sea manejable, los polinomios de Bernoulli nos permiten determinar el valor de [math] \ sum_ {i = 1} ^ {K} i ^ N [/ math] como el de una función polinómica de [math] N [/ math] th grado de [math] K [/ math].

Entonces, sí, hay muchas teorías que podemos aplicar sobre la situación, lo que al final hace que el problema sea muy fácil de calcular.

Answer 4

Perdón por la escritura torpe, aquí hay una instantánea:

Answer 5

Básicamente creo que puede reducir a K leq 100, N leq 100 y el resto depende de esto mediante algún formulario.