¿Cuántos puntos se necesitan para definir de forma exclusiva una función cúbica?

Answer 1

Un eje [matemático] cúbico ^ 3 + bx ^ 2 + cx + d [/ matemático] tiene 4 parámetros [matemático] a, b, c, d [/ matemático].
Necesita 4 puntos, o 4 condiciones, por ejemplo, 2 puntos y sus tangentes.

En caso de que necesite el cúbico explícito, use la interpolación de Lagrange.

Llame [math] (x_i, y_i), i = 1,2,3,4 [/ math] los puntos conocidos en el cúbico y observe el polinomio [math] L (x) = (x-x_1) (x- x_2) (x-x_3) (x-x_4) [/ math] que es un cuarto nulo en los puntos base [math] x_1, x_2, x_3 [/ math] y [math] x_4 [/ math]. Luego, defina los 4 polinomios de Newton:

1. [matemáticas] L_1 (x) = (x-x_2) (x-x_3) (x-x_4) = \ frac {L (x)} {x-x_1} [/ matemáticas]
2. [matemática] L_2 (x) = (x-x_1) (x-x_3) (x-x_4) = \ frac {L (x)} {x-x_2} [/ matemática]
3. [matemática] L_3 (x) = (x-x_1) (x-x_2) (x-x_4) = \ frac {L (x)} {x-x_3} [/ matemática]
4. [matemática] L_3 (x) = (x-x_1) (x-x_2) (x-x_3) = \ frac {L (x)} {x-x_4} [/ matemática]

Son cúbicos que son nulos en tres de los cuatro puntos base [matemática] x_1, x_2, x_3 [/ matemática] y [matemática] x_4 [/ matemática]. Entonces, su combinación lineal [matemática] P (x) = aL_1 (x) + bL_2 (x) + cL_3 (x) + dL_4 (x) + [/ matemática] es un cúbico especialmente simple de calcular en estos puntos:

[matemáticas] P (x_1) = a L_1 (x_1) = a (x_1-x_2) (x_1-x_3) (x_1-x_4) [/ matemáticas], y de manera similar para [matemáticas] x_2, x_3 [/ matemáticas] y [ matemáticas] x_4 [/ matemáticas].

Entonces, si queremos el valor prescrito [matemática] P (x_1) = y_1 [/ matemática], debemos tomar [matemática] a = \ frac {y_1} {L_1 (x_1)} [/ matemática]. Las condiciones para b , cyd son simétricas: intercambie [matemática] x_1, y_1 [/ matemática] con [matemática] x_2, y_2 [/ matemática] por b , y así sucesivamente.

Finalmente, si tomas

• [matemáticas] a = \ frac {y_1} {L_1 (x_1)} = \ frac {y_1} {(x_1-x_2) (x_1-x_3) (x_1-x_4)} [/ math]
• [matemáticas] b = \ frac {y_2} {L_2 (x_2)} = \ frac {y_2} {(x_2-x_1) (x_2-x_3) (x_2-x_4)} [/ matemática]
• [matemáticas] c = \ frac {y_3} {L_3 (x_3)} = \ frac {y_3} {(x_3-x_1) (x_3-x_2) (x_3-x_4)} [/ matemáticas]
• [matemáticas] d = \ frac {y_4} {L_4 (x_4)} = \ frac {y_4} {(x_4-x_1) (x_4-x_2) (x_4-x_3)} [/ matemáticas]

Entonces [matemática] P (x_1) = aL_1 (x_1) = y_1 [/ matemática], [matemática] P (x_1) = bL_2 (x_2) = y_2 [/ matemática], [matemática] P (x_3) = cL_3 (x_3 ) = y_3 [/ matemática] y [matemática] P (x_4) = dL_4 (x_4) = y_4 [/ matemática], entonces [matemática] P (x) = aL_1 (x) + bL_2 (x) + cL_3 (x ) + dL_4 (x) + [/ math] es el paso cúbico a través de [math] (x_i, y_i), i = 1,2,3,4 [/ math].

Tenga en cuenta que el algoritmo anterior se puede generalizar. Necesita ( n +1) puntos para definir un polinomio de grado n .

Answer 2

Un polinomio cúbico tiene la forma [matemática] ax ^ 3 + bx ^ 2 + cx + d = 0. [/ Matemática]

Tenga en cuenta que para cada punto [matemática] (x_1, y_1) [/ matemática] que sabe que está en la función cúbica, obtiene una ecuación lineal en términos de [matemática] a, b, c [/ matemática] y [matemática] d [/ matemáticas]:

[matemáticas] ax_1 ^ 3 + bx_1 ^ 2 + cx_1 + d = 0. [/ matemáticas]

Si solo conoce 3 puntos, entonces tiene 4 variables y 3 ecuaciones, un sistema que no puede resolver de manera única.

Por lo tanto, sabe que necesita tener 4 puntos para determinar de forma única un polinomio cúbico.

Este argumento generaliza en grados superiores de la misma manera.

Answer 3

Para una función polinómica de grado n, necesita n + 1 puntos, por lo tanto, necesita cuatro para una función cúbica.

Ver interpolación polinómica.

Answer 4

Uno más que el máximo exponente, entonces 4.