¿Cuándo usas el foro de permutación y cuándo usas la fórmula combinada?

Answer 1

Imagine un conjunto de n objetos: estos objetos podrían ser cualquier cosa: automóviles, libros, frutas, lo que sea. El único requisito es que puede nombrar cada uno de estos objetos discretos como algo distinto; para simplificar nuestra vida usaremos las etiquetas 1,2,3,4, …, n. Ahora considere seleccionar r objetos de este conjunto y anotarlos en orden. Por ejemplo, si n = 4 yr = 3 una de esas posibilidades es la secuencia 423. ¿De cuántas maneras podemos enumerar una cadena de 3 objetos? Bueno, hay 4 opciones para la primera, luego 3 opciones para la segunda (excluyendo la primera anotada), luego 2 opciones para la tercera (excluyendo las dos primeras anotadas). Entonces el número total es 4 * 3 * 2. Si piensa en esto por un segundo, verá que este número generalmente se puede escribir como:
En otras palabras, la fórmula de permutación que ha citado. Para resumir, la fórmula de permutación se aplica cuando importa el orden de los elementos r.

Ahora suponga que no está interesado en los distintos ordenamientos de r objetos que puede escribir, sino en el número total de combinaciones de r objetos que puede seleccionar. Entonces, como en el ejemplo anterior, las permutaciones 423, 432, 234,243,324,342 producen la misma combinación de tres objetos: “4”, “3” y “2”. ¿Cómo podemos enumerar el número total de combinaciones? Bueno, para cada permutación (que ya sabemos cómo enumerar) hay precisamente r! reordenamientos de estos objetos r que producen la misma combinación de objetos r. (Si no está claro por qué, considere volver a aplicar la fórmula de permutación donde hay r objetos totales y le gustaría determinar cuántas permutaciones de longitud r se pueden elegir de estos objetos). Por lo tanto, para obtener la fórmula de combinaciones, simplemente necesitamos dividir la fórmula de permutaciones de r! flexible:

Answer 2

Comencemos con definiciones

Permutación: cada una de varias formas posibles en que se puede ordenar u organizar un conjunto o un número de cosas.

Combinación : cada una de varias formas posibles de elegir un conjunto o una cantidad de cosas.

Por definición, podemos observar que en el orden de permutación es importante y para la combinación ignoramos el orden en absoluto. veamos un ejemplo para permutación y combinación.

De los 3 números dados, digamos 1, 2 y 3, encuentre todos los números únicos únicos de dos dígitos usando los dígitos dados solo una vez. En este caso, el conjunto de números de dos dígitos es (12,21,13,31,23,32). ordenar es importante aquí ya que 13 no es lo mismo que 31. Entonces usaremos permutación. Entonces, el número de tales números posibles será 3p2 = 6.

Ahora, si cambiamos la pregunta para encontrar el número de exclusivos a + b donde a y b son diferentes y a y b se seleccionan de (1,2,3). Ahora aquí podemos ver que 1 + 2 = 2 + 1. Entonces ordenar es irrelevante. Entonces el número de tales sumas será 3c2 = 3.

Answer 3

Si tiene que preguntar si se aplica una fórmula, entonces probablemente no la comprenda muy bien. Derive la fórmula y comprenderá cuándo se aplica.

Comience con el principio de contar. Supongamos que está ordenando una comida de tres platos. Hay 2 opciones para el aperitivo, 3 opciones para el plato principal y 4 opciones para el postre. ¿De cuántas maneras podrías pedir tu comida? El principio de conteo dice que debes multiplicar tus opciones: 2 * 3 * 4 = 24. Hay 24 formas de pedir tu comida. En el caso general, el principio de conteo dice que si tiene varios conjuntos A, B, C de elementos y desea elegir uno de cada uno, hay | A | * | B | * | C | formas de hacerlo. Si sabe cuántas opciones tiene en cada paso, puede multiplicar sus opciones para contar el número total de formas en que las opciones podrían haberse realizado.

Una permutación es un ordenamiento de elementos. Puedes contar permutaciones. Supongamos que tiene 4 figuras y desea contar la cantidad de formas en que puede ordenarlas en una fila. Aplica el principio de conteo. Hay 4 opciones para qué figura poner primero. Como quedan 3 figuras, hay 3 opciones para colocar en segundo lugar, 2 opciones para el tercero, 1 opción para el cuarto. Si multiplicamos las opciones, obtenemos 4 * 3 * 2 * 1 = 24 formas de organizar las figuras. En general, hay n! formas de permutar n elementos.

Una permutación k de n elementos es la cantidad de formas en que puede seleccionar k elementos de n elementos en orden. Nuevamente, use el principio de conteo. Hay n opciones para el primero de k elementos, (n-1) opciones para el segundo de k elementos, y así sucesivamente. Si los multiplicamos, encontramos

[matemáticas] \ underbrace {n \ cdot (n-1) \ cdot (n-2) \ cdots (n-k + 1)} _ \ textrm {factores k} [/ math]

Podemos escribir eso en términos de factoriales. Lo que tenemos es n !, pero queremos deshacernos de los últimos términos (nk), por lo que podemos cancelar esos términos con otro factorial.

[matemáticas] \ frac {n!} {(nk)!} [/ matemáticas]

La combinación “n elegir k” es el número de formas en que se pueden elegir k elementos de n. Tenga en cuenta que no dije nada sobre el pedido. El orden en que se eligen no importa. Supongamos que tiene 4 amigos pero solo 2 entradas adicionales para un concierto. ¿De cuántas maneras podrías elegir a dos de tus amigos? Bueno, tienes 4 opciones para el primer amigo que pidas, y 3 opciones restantes para el segundo. Pero espera, el orden en el que preguntas no importa. Si simplemente multiplicamos 4 * 3 = 12, estaremos contando la cantidad de formas en que podríamos preguntarles en orden. Dado que para cualquier elección de los dos amigos, hay dos órdenes en las que puede preguntarles, tenemos que dividir por 2. 4 * 3/2 = 6, por lo que hay 6 formas de elegir 2 amigos de 4. En general, Para calcular la cantidad de formas de elegir k de n, podemos tomar la cantidad de k permutaciones de los n elementos y dividirla por la cantidad de permutaciones de los k elementos que elegimos para eliminar el efecto del orden. Obtenemos

[matemáticas] \ frac {n!} {(nk)!} \ cdot \ frac {1} {k!} = \ frac {n!} {k! (nk)!} = \ binom {n} {k} [/ math]

En caso de duda, regrese al principio de conteo.