La secuencia de Fibonacci es una secuencia infinita . Para dos números consecutivos en esta secuencia, el siguiente número es su suma. Entonces hay infinitos números de Fibonacci .
Una prueba un poco más rigurosa: suponga que la secuencia de Fibonacci [matemáticas] {F_0, F_1, F_2, \ ldots} [/ matemáticas] es finita. Cualquier subconjunto finito de los números naturales tiene un elemento más grande. Por lo tanto, existe un elemento [math] F_n [/ math], para algunos [math] n [/ math], que es el número más grande en la secuencia.
Entonces, de acuerdo con la definición de la secuencia de Fibonacci, la suma [matemática] F_ {n-1} + F_n [/ matemática] es el siguiente número en la secuencia, [matemática] F_ {n + 1} [/ matemática]. Es trivial ver que [matemática] F_ {n + 1}> F_n [/ matemática] para cualquier [matemática] n> 2 [/ matemática], por lo que no hay posibilidad de que la [matemática] F_ {n + 1} [/ matemática] que encontramos aquí es en realidad [matemática] F_k [/ matemática] para algunos [matemática] k \ le n [/ matemática]. La serie está aumentando estrictamente y, por lo tanto, no se repite.
Más importante aún para nuestra prueba, [math] F_ {n + 1}> F_n [/ math] contradice nuestra suposición de que [math] F_n [/ math] es el número más grande en la secuencia. Por lo tanto, la secuencia de Fibonacci no es finita. Es una secuencia estrictamente creciente de números naturales sin elemento más grande y, por lo tanto, debe ser infinita.
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Por cierto, dado que los números de Fibonacci son un subconjunto del entero, su cardinalidad es [math] \ aleph_0 [/ math], o en otras palabras, forman un conjunto infinitamente contable.