Cómo demostrar que ‘e’ es un número irracional, afirmó que se puede representar como la suma de infinitas fracciones

Answer 1

La prueba de la irracionalidad de [math] e [/ math] es muy corta y generalmente se presenta en 2-3 líneas. No es difícil de seguir y no es difícil de entender, pero es un poco más difícil motivarlo de tal manera que se vuelva bastante transparente y memorable.

Lo intentaré.

En primer lugar, ¿qué necesitamos mostrar? Existe este número [math] e [/ math], y debemos demostrar que no es igual a [math] a / b [/ math] para cualquier [math] a [/ math] y cualquier [math] b [/ math ], ambos enteros. Esa es una tarea difícil: ¡tenemos que demostrar infinitas cosas! [matemática] e [/ matemática] no es [matemática] \ frac {87} {32} [/ matemática], ni es [matemática] \ frac {1264} {465} [/ matemática], etc. etc. Entonces, como con muchas pruebas, en lugar de abordar todo a la vez, abordemos algunos casos especiales simples.

¿Por qué no puede [math] e [/ math] ser [math] \ frac {87} {32} [/ math]?

Bueno, ¿qué es [matemáticas] e [/ matemáticas]? Hay varias formas de definir ese número, pero para nuestro propósito, el hecho más útil es este:

[matemáticas] e = 1+ \ frac {1} {1!} + \ frac {1} {2!} + \ frac {1} {3!} + \ ldots [/ matemáticas]

Esta es una serie infinita que converge a [matemáticas] e [/ matemáticas]. Vamos a pretender entonces que

[matemáticas] \ frac {87} {32} = 1+ \ frac {1} {1!} + \ frac {1} {2!} + \ ldots + \ frac {1} {32!} + T [/ matemáticas ]

A la izquierda tenemos nuestro número racional candidato, y a la derecha escribimos la serie de [matemáticas] e [/ matemáticas] en dos partes: todo hasta 32 factorial (la “cabeza”) y la “cola” [matemáticas ] T [/ math] que es solo la suma de todo lo demás:

[matemáticas] T = \ frac {1} {33!} + \ frac {1} {34!} + \ ldots [/ matemáticas]

¿Por qué separamos la serie en el lugar 32? Bueno, obviamente porque nuestra fracción candidata tiene 32 como denominador. Verá, las cabezas siempre son números racionales (son solo sumas finitas de fracciones), y su denominador es fácil de entender: ¡puede usar 32! como un múltiplo común de todos los denominadores en la suma. ¡Entonces la cabeza es algo dividido por 32 !, y por lo tanto la diferencia entre nuestra fracción candidata y la cabeza también es algo dividido por 32 !.

[matemáticas] T = \ frac {M} {32!} [/ matemáticas].

Ves lo que hicimos allí? Acabamos de restar la cabeza de nuestro número racional candidato y observamos que el denominador puede tomarse como solo 32 factorial.

Entonces ahora tenemos estas dos expresiones para la cola [math] T [/ math]. Por un lado, es un número racional que tiene un denominador no mayor que 32 factorial. Por otro lado, es esta suma infinita de números muy, muy pequeños .

¿Qué podría salir mal?

Bueno, antes que nada, ¿puede [matemáticas] T [/ matemáticas] ser [matemáticas] 0 [/ matemáticas]? Por supuesto que no, es una suma de cosas positivas. Por lo tanto, es al menos [math] \ frac {1} {32!} [/ Math]. Cualquier fracción positiva con denominador [matemática] D [/ matemática] es al menos [matemática] 1 / D [/ matemática].

[matemáticas] T \ geq \ frac {1} {32!} [/ matemáticas].

Pero la otra expresión para [math] T [/ math], la serie infinita, es demasiado pequeña para llegar a [math] \ frac {1} {32!} [/ Math]. Los números son demasiado pequeños. Este es el corazón de la prueba, y es una instancia de un enfoque común de “estimación de colas”.

Entonces,

[matemáticas] T = \ frac {1} {33!} + \ frac {1} {34!} + \ ldots [/ matemáticas]

¿Cómo se “estima” tal cosa? Queremos demostrar que es pequeño, pero es una suma de infinitas cosas. Bueno, hay sumas de infinitas cosas que entendemos, y una de las más comunes e importantes es una serie geométrica:

[matemáticas] 1+ \ frac {1} {33} + \ frac {1} {33 ^ 2} + \ frac {1} {33 ^ 3} + \ ldots = \ frac {33} {32} [/ matemáticas ]

Así que tratamos de combinar la serie para [math] T [/ math] en una serie geométrica:

[matemática] T = \ frac {1} {33!} \ left (1+ \ frac {1} {34} + \ frac {1} {34 \ cdot 35} + \ ldots \ right) <[/ math]
[matemáticas] <\ frac {1} {33!} \ left (1+ \ frac {1} {33} + \ frac {1} {33 ^ 2} + \ ldots \ right) [/ math]

Eso es solo porque [math] 34 \ cdot 35 \ cdot 36 [/ math] es más que [math] 33 \ cdot 33 \ cdot 33 [/ math], y así sucesivamente.

Por lo tanto,

[matemáticas] T <\ frac {1} {33!} \ cdot \ frac {33} {32} = \ frac {1} {32 \ cdot 32!} [/ matemáticas]

Pero esto claramente contradice lo que dijimos antes, que [matemáticas] T [/ matemáticas] debe ser al menos [matemáticas] \ frac {1} {32!} [/ Matemáticas]. QED

Hemos completado la prueba de que [matemáticas] e [/ matemáticas] no es el número específico [matemáticas] \ frac {87} {32} [/ matemáticas], pero puede ver cómo esto obviamente se generaliza a cualquier otro número racional. No nos metimos con el numerador en absoluto, y simplemente recortamos la serie en el factorial denominador y controlamos el tamaño de la cola.

¡Eso es!

Answer 2

También hay una prueba geométrica realmente interesante de la irracionalidad de e. Comienza definiendo un intervalo [matemático] I_1 [/ matemático] de longitud 1. El intervalo [matemático] I_n [/ matemático] se obtiene dividiendo el intervalo anterior [matemático] I_ {n-1} [/ matemático] en [ matemática] n [/ matemática] intervalos de la misma longitud, de modo que la longitud de [matemática] I_n [/ matemática] será [matemática] \ frac {1} {n!} [/ matemática]. Mirando la Fig. 1 podemos ver que el tamaño de [math] I_1 [/ math] es 1 y el tamaño del intervalo debajo de [math] I_2 [/ math] es [math] \ frac {1} {2!} = 0.5 [/ matemática].

Ahora comience con [math] I_1 = [2,3] [/ math] y construya inductivamente [math] I_n [/ math] dividiendo [math] I_ {n-1} [/ math] en [math] n [/ matemáticas] intervalos de la misma longitud.

[matemáticas] I_1 = [1+ \ frac {1} {1!}, 1+ \ frac {2} {1!}] = [2,3] [/ matemáticas]

[matemáticas] I_2 = [1+ \ frac {1} {1!} + \ frac {1} {2!}, 1+ \ frac {1} {1!} + \ frac {2} {2!}] = [\ frac {5} {2!}, \ frac {6} {2!}] [/ matemáticas]

[matemáticas] I_3 = [1+ \ frac {1} {1!} + \ frac {1} {2!} + \ frac {1} {3!}, 1+ \ frac {1} {1!} + \ frac {1} {2!} + \ frac {2} {3!}] = [\ frac {16} {3!}, \ frac {17} {3!}] [/ matemáticas]

Lo que significa que [matemáticas] I_n [/ matemáticas] comienza en [matemáticas] 1+ \ frac {1} {1!} + \ Frac {1} {2!} +… + \ Frac {1} {n!} = \ frac {a_n} {n!} [/ math] y, dado que la longitud es [math] \ frac {1} {n!} [/ math], termina en [math] \ frac {a_n + 1} {n !}[/matemáticas]. [math] I_n = [\ frac {a_n} {n!}, \ frac {a_n + 1} {n!}] [/ math] donde [math] a_n [/ math] es un número entero.

El número de Euler es solo la intersección de todos los intervalos [matemática] I_n [/ matemática]. Como se puede ver en la Fig. 1, cuanto mayor sea [matemática] n [/ matemática], más cercanos serán los extremos del intervalo a [matemática] e [/ matemática].

La intersección de todos los intervalos es el equivalente geométrico de [math] \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {1} {n!} [/ Math]

Si lo desea, puede consultar el documento original de Jonathan Sondow donde describe la prueba completa.

Answer 3

Otra posible forma de entender esto sería introducir el sistema de números factoriales, un sistema de numeración en el que el dígito [matemático] i [/ matemático] de la derecha es menor que [matemático] i [/ matemático], y se evalúa multiplicando [matemáticas] (i-1)! [/ matemáticas].

Se puede demostrar fácilmente (por inducción) que la base factorial puede representar de manera única cualquier número entero. Una idea clave es demostrar la siguiente identidad: [matemáticas] \ begin {align} \ sum \ limits_ {k = 0} ^ {n} k \ times k! = (k + 1)! – 1 \ tag {1} \ end {align} [/ math] Ahora, intentemos extender la llamada base factorial.

Un posible problema que podría enfrentar con esto es el hecho de que los números [matemática] (- 1) !, (-2) !, \ puntos [/ matemática] no están definidos. Esto es bastante desafortunado.

Sin embargo, tenga en cuenta que hay una alternativa. Al igual que extendemos los decimales (antes de aprender más sobre exponentes), podemos usar la extensión [matemáticas] \ frac {1} {1!}, \ Frac {1} {2!}, \ Frac {1} {3 !}, \ dots [/ math], donde el dígito [math] n ^ {\ text {th}} [/ math] desde el punto decimal es menor que [math] n [/ math]. Por ejemplo, [matemáticas] \ begin {align} \ frac {1} {2} = 1 \ times 0! +0 \ times 0! +1 \ times \ frac {1} {1!} \ Times 1 \ times \ frac {1} {2!} = 0.01 _ {!} \ tag {*} \ end {align} [/ math] (donde la minúscula [math]! [/ math] denota base factorial). Con esta extensión, se puede ver que ahora también podemos representar de manera única cualquier real. Como pista sobre cómo probar esto, debe intentar generalizar la identidad provista en [math] (1) [/ math].

Ahora, una consecuencia interesante es que los números racionales siempre tendrán una representación finita. De hecho, esto es bastante intuitivo ya que existe un factorial para cada número entero, por lo tanto, el denominador del número racional siempre debe dividir su factorial, incluso si no divide ningún factorial más pequeño.

Pero veamos [matemáticas] e [/ matemáticas]. Su valor en base factorial es [math] 10.0111111111 _ {!} \ Dots [/ math]. Por desgracia, no tiene una representación fina en base factorial. Ergo, debe ser un número irracional.

Esta es solo otra forma de entender la respuesta dada por Alon Amit . Sin embargo, creo que esta respuesta podría ser más fácil de entender si ya sabe factoradic. Por lo tanto, agregué esta respuesta.

Answer 4

Deje [math] f (x) = e ^ x [/ math], [math] x \ in \ mathbb {R} [/ math]

Entonces [math] f [/ math] satisface todas las condiciones del teorema de Taylor en [math] \ mathbb {R} [/ math].

Según el teorema de Taylor con la forma de resto de Lagrange, para cualquier real [matemática] x \ neq 0 [/ matemática] [matemática] \ existe [/ matemática] un número real [matemático] \ theta [/ matemático] satisfactorio [matemático] 0 < \ theta <1 [/ math] tal que

[matemáticas] f (x) = f (0) + xf ‘(0) + \ frac {x ^ 2} {2!} f’ ‘(0) +… + \ frac {x ^ n} {n!} f ^ {n} (\ theta x) [/ math]

es decir, [matemáticas] \ large e ^ x = 1 + x + \ frac {x ^ 2} {2!} +… + \ frac {x ^ n} {n!} e ^ {\ theta x} \ large [/ matemáticas]

y, por lo tanto, [matemática] \ large e = 1 + 1 + \ frac {1} {2!} +… + \ frac {1} {(n-1)!} + \ frac {e ^ {\ theta}} { n!} \ grande [/ matemáticas]

Si es posible, deje que [math] e [/ math] sea racional y [math] e = \ frac {p} {q} [/ math] donde [math] p, q \ in \ mathbb {N} [/ math] (pero [math] q \ neq 1 [/ math] como [math] e \ notin [/ math] [math] \ mathbb {Z}) [/ math] y [math] mcd (p, q) = 1 [ /matemáticas]. Sea [math] n> q [/ math] y [math] n> 2 [/ math].

Entonces [matemáticas] \ large \ frac {p} {q} = 1 + 1 + \ frac {1} {2!} +… + \ Frac {1} {(n-1)!} + \ Frac {e ^ {\ theta}} {n!} \ large [/ math]

[matemáticas] \ implica \ large \ frac {p (n-1)!} {q} – (n-1)! \ left [1 + 1 + \ frac {1} {2!} +… + \ frac { 1} {(n-1)!} \ Right] = \ frac {e ^ {\ theta}} {n} \ large [/ math]

Como [math] n> q [/ math], [math] \ large \ frac {p (n-1)!} {Q} \ in \ mathbb {Z} \ large [/ math] y [math] \ large (n-1)! \ left [1 + 1 + \ frac {1} {2!} +… + \ frac {1} {(n-1)!} \ right] \ in \ mathbb {Z} \ large [/matemáticas]

Por lo tanto, [math] \ large \ frac {e ^ {\ theta}} {n} \ large [/ math] también se convierte en un número entero.

Como [math] \ large 0 <\ theta <1 \ large [/ math], obtenemos [math] \ large 0 2 [/ matemática]. Esto muestra que [math] \ large \ frac {e ^ {\ theta}} {n} \ large [/ math] es una fracción propia.

Así llegamos a una contradicción. Nuestra suposición inicial era incorrecta y, por lo tanto, [math] \ large e \ large [/ math] debe ser irracional . QED

Answer 5

Aquí hay una prueba en imágenes de que e es irracional. Tienes que pensarlo.
Sugerencia: recuerde cómo e puede escribirse como una serie inifinita donde cada término es recíproco de un factorial. Imagine que se presenta en una recta numérica que se ejecuta horizontalmente. Luego divida la recta numérica en fracciones decrecientes donde cada vez que la fracción se divide por el siguiente entero. Si e fuera racional, en algún momento sería un múltiplo exacto de esas fracciones, pero puede usar la lógica observada en la imagen para ver que esto no puede suceder.

Answer 6

Ser la suma de una serie infinita de racionales no hace que un número sea racional. Cualquier número puede escribirse como la suma de una serie INFINITA de racionales, incluidos los trascendentales como e y pi. Un número racional puede ser la suma de una serie FINAL de racionales. También es el cociente de dos enteros.

Es la diferencia entre finito e infinito lo que hace la diferencia. En el caso de e, es trascendental, lo que significa que no puede ser la raíz de ningún polinomio de grado finito con coeficientes racionales.

La prueba de que un número es trascendental es difícil, pero hay más números trascendentales que algebraicos. Si está interesado en ver una de esas pruebas, pruebe el blog de David Richardson, The Division by Zero. El artículo es La trascendencia de e

Answer 7

Una búsqueda rápida en Google me trajo aquí http://en.m.wikipedia.org/wiki/P… .

Answer 8

Al usar la propiedad that (e ^ p)! = A no racional. excepto para p = 0. también donde p en sí es un no racional.