¿Se pueden definir todos los números de manera constructiva a partir del número 1?

Answer 1

Si bien no estoy seguro de que esta sea una pregunta bien definida, lo primero que me vino a la mente como algo “que no se puede construir” son los grandes cardenales.

Un cardenal grande es aproximadamente un cardenal que no se puede construir en ZFC. (ZFC es la axiomatización más común de la teoría de conjuntos, que le permite razonar sobre enteros, números reales, etc.). Puede pensar en un cardinal como “un número infinito” o “un conjunto infinito”.

De todos modos, un “cardenal grande” es básicamente un cardenal tan grande que ZFC no puede demostrar que existe; es decir, es lógicamente consistente con los axiomas de ZFC para que el cardenal no exista. Entonces, naturalmente, ZFC no puede construir un cardenal de este tipo mediante ningún tipo de proceso limitante o cualquier otra cosa.

Por supuesto, para que el gran cardenal sea interesante, también debería ser lógicamente coherente que exista.

Answer 2

Los números computables son aquellos que se pueden calcular con cualquier grado de precisión desde un algoritmo. Por ejemplo, puede encontrar algoritmos que le darán π o e con cualquier grado de precisión, por lo que esos son números computables.

Puede probar que el conjunto de números computables es “más pequeño” que el conjunto de números reales, por lo que existen algunos números reales que no importa qué fórmula o algoritmo se le ocurra, permanecerán inalcanzables.

¿Cómo puedes probar que el conjunto de números reales es más grande?
Si puede llegar a una correspondencia uno a uno entre dos conjuntos, son iguales, es relativamente fácil demostrar que esta correspondencia existe entre el conjunto de todos los algoritmos posibles (y, por lo tanto, el conjunto de números computables) y los números naturales y que no tal correspondencia se puede encontrar entre números naturales y números reales.