Si infinito significa no tener un final, ¿cómo pueden algunos infinitos ser más grandes que otros?

Answer 1

Gran pregunta! Debes aplicar la regla del infinito de Bustany :

La intuición y el infinito no se mezclan

Reemplazar la intuición con definiciones claras no es fácil, pero es necesario si quieres entender el infinito.

Infinito no significa “no tener un final”. Hay conjuntos infinitos perfectamente respetables, como los números racionales entre cero y uno, [math] \ {x \ in \ mathbb {Q} \ colon0 \ leq x \ leq1 \} [/ math], que tienen límites claros o ” termina “.

Es el caso de que un conjunto infinito “no tiene un final” en el sentido de que cualquier intento de contar sus elementos no terminará. El conteo recibe una definición formal mediante la elaboración de una correspondencia uno a uno (o biyección ) entre el conjunto objetivo y el conjunto que utilizamos para contar: un subconjunto inicial de los números naturales, [math] \ mathbb {N} ^ + = \ {1,2, \ dotsc, N \} [/ math] para algunos [math] N [/ math].

Si no está familiarizado con esta definición para contar, debe probarla con algunos ejemplos. La definición no requiere que usted “cuente” en orden, pero generalmente es más fácil a menos que tenga un conjunto físico de números para usar, tal vez del juguete “aprendiendo a contar” de un niño.

Los matemáticos, y cualquiera que quiera tratar rigurosamente con el infinito, extienden esta noción de usar una biyección para “contar” a conjuntos no finitos. Esto es lo que lleva a que algunos conjuntos infinitos sean estrictamente más grandes que otros conjuntos infinitos.

Resulta que podemos encontrar una biyección entre ese conjunto infinito de números racionales y todos los números naturales, por lo que estos dos conjuntos tienen el mismo “número” de elementos. Este “número” se conoce como la cardinalidad del conjunto. La cardinalidad de un conjunto finito es precisamente igual al número de elementos en el conjunto. La cardinalidad de los números naturales se denota [math] | \ mathbb {N} | = \ aleph_0 [/ math] y se pronuncia “aleph null”.

A finales del siglo XIX, Georg Cantor estableció con su famoso “argumento diagonal” que no existe biyección entre los números reales, [math] \ mathbb {R} [/ math] y los números naturales. ¡Incluso en una lista infinita de números reales, siempre faltan números! Como resultado, la cardinalidad de los reales es estrictamente mayor que [math] \ aleph_0 <| \ mathbb {R} | [/ math], y "algunos infinitos son más grandes que otros infinitos".

El argumento de Cantor puede extenderse para mostrar que la cardinalidad del conjunto de potencia de un conjunto (el conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto) siempre es estrictamente mayor que la cardinalidad del conjunto inicial. Por lo tanto, demostró que había una secuencia infinita de números transfinitos con, por ejemplo, [math] \ beth_1 = 2 ^ {\ aleph_0} [/ math].

[math] \ aleph_1 [/ math] es el siguiente cardenal transfinito más pequeño después de [math] \ aleph_0 [/ math]. Si realmente desea entrar en la aritmética transfinita, puede echar un vistazo a la Hipótesis Continua, es decir, si [math] \ aleph_1 = \ beth_1 [/ math].

Con respecto a la intuición, ciertamente no es intuitivo poder tener una correspondencia uno a uno entre un conjunto y un subconjunto adecuado de sí mismo, ¡y sin embargo, esta es una característica de cualquier conjunto infinito!

[matemáticas] [\ alpha_ \ beta] [/ matemáticas]

Answer 2

Una de las mejores definiciones de genio es la capacidad de llevar a la raza humana a un nuevo lugar, para permitir que las personas vean algo que nunca antes habían visto.

Georg Cantor fue un genio. Antes de que él apareciera, incluso los mejores matemáticos te habrían dicho que todos los casos de infinito son esencialmente lo mismo.

Sin embargo, Cantor se dio cuenta de que si dos conjuntos eran del mismo tamaño, incluso conjuntos infinitos, podría establecer una correspondencia uno a uno entre ellos. Luego usó un argumento lógico persuasivo para demostrar que no había correspondencia uno a uno entre los números naturales y los números irracionales; que había infinitamente “más” irracionales que racionales o números naturales.

Es cierto que la idea de más de un tipo de infinito es algo contra-intuitiva. Aquí está la forma más sencilla de pensarlo:

1. Puedo crear una lista de todos los números naturales (o todos los números racionales o todos los enteros).
2. Luego, dame un número N que elijas .
3. Podré decirle cuánto tiempo llevará encontrar N en este listado, si cuenta un elemento de la lista por segundo. Y esto será un tiempo limitado, garantizado. Finalmente, N aparecerá en la lista.

Suena razonable, ¿verdad? Sin embargo, lo interesante es esto: es imposible hacer una lista de los números irracionales … o incluso un intervalo, como todos los números irracionales entre 0 y 1 …

¡La mayoría de los irracionales (de hecho, prácticamente TODOS) no aparecerán en una lista, es decir, en una lista fija, en cuestión de tiempo finito!

Puede ser alucinante, pero es la forma más simple y práctica de explicar las diferencias en los diferentes tipos de infinito.

Answer 3

El infinito no es un concepto único definido en matemáticas. Significa cosas diferentes en diferentes áreas.
Dicho esto, cuando hablamos de cardinalidad (el tamaño de los conjuntos), infinito no significa “no tener un final” sino ser más grande que cualquier número natural (más precisamente, no poder asociar cada elemento de su conjunto a un solo natural número cada uno). Pero lo que descubrieron los matemáticos es que hay varias formas de ser infinito.
El ejemplo más famoso es la cardinalidad de los números reales.
Podemos demostrar que hay precisamente tantos números racionales (números de la forma a / b) que números naturales. Eso significa que si toma un número racional, puede asociarlo con un número natural único. Entonces tenemos nuestro primer infinito.
Donde se pone interesante es cuando comienzas a pensar en los números reales. Un número real es algo que se puede escribir como una secuencia de números como 112.1557777 … o 1.414 o 3.1415926535 … Esta secuencia puede ser infinita o no. (Notarás que aquí, infinito aquí significa “tan grande como los números naturales”, que es el Infinito que acabamos de describir).
Bueno, hay una prueba muy famosa (argumento diagonal de Cantor) del hecho de que no puede asociar cada uno de los números reales con un número natural. Entonces, este conjunto que generalmente observamos [math] \ R [/ math] es “más grande” que el conjunto de números naturales [math] \ N [/ math].
Entonces, para concluir y resumir, tanto [matemáticas] \ N [/ matemáticas] como [matemáticas] \ R [/ matemáticas] “no tienen un final”, pero si intentas hacer pares tomando un elemento de [matemáticas] \ N [/ math] y un elemento de [math] \ R [/ math] terminarás sin tener suficientes cosas en [math] \ N [/ math] para tener éxito.
A eso nos referimos con que algunos infinitos son más grandes que otros.
¿Cuánto más grande pueden hacer los infinitos? Yo diría infinitamente …

EDITAR: veo algunas respuestas muy incorrectas aquí.
Rafael Olmeda : Precisamente hay tantas fracciones entre 1 y 2 como entre 1 y 3.
Andrei Manu : Hay exactamente tantos números en el avión como hay en una línea.
Ambos resultados no son muy instintivos pero verdaderos, sin embargo, y son ejemplos erróneos de diferentes tipos de infinito.

Answer 4

Una vez que comience a tratar con conjuntos de tamaño infinito, la noción de comparar tamaños basados ​​en el número de elementos en conjuntos ya no funciona. Una mejor manera de comparar tamaños es la noción de correspondencia uno a uno . Lo que significa que un conjunto esté en correspondencia uno a uno con otro conjunto es que para cada elemento único en el primer conjunto, puede crear un mapa que asigne ese elemento a un elemento único en el segundo conjunto (y viceversa ) Con conjuntos finitos, puede comparar esto con el método de comparación de tamaños de conjuntos: si dos conjuntos son del mismo tamaño, entonces, para cada elemento único que extraiga del primer conjunto, puedo extraer un elemento único del segundo conjunto y por cada elemento único que extraigo del segundo conjunto, puedo extraer un elemento único del primer conjunto.

La razón por la que este método se puede usar en conjuntos infinitos es porque puede determinar si existe tal correspondencia sin tener que contar cada elemento en cada conjunto (lo cual es imposible). Como ejemplo, considere el conjunto de todos los números naturales y el conjunto de todos los números naturales pares. Aunque uno es un subconjunto del otro, en realidad ambos tienen el mismo tamaño porque puedes encontrar una correspondencia uno a uno entre ellos.
Otros ejemplos de conjuntos infinitos que son del mismo tamaño son: los enteros, los números naturales y los números racionales (más generalmente, los números racionales y cualquier subconjunto infinito de los números racionales); los números reales, cualquier intervalo finito de los números reales y el conjunto de todos los pares ordenados de números reales; y los números reales y el conjunto de todos los conjuntos de números naturales (también conocido como el conjunto de potencia).

Ahora, para responder finalmente a su pregunta, un conjunto infinito puede ser más grande que otro conjunto infinito si no se puede establecer una correspondencia uno a uno entre los dos conjuntos. El ejemplo más común de dos conjuntos infinitos de diferente tamaño (más comúnmente conocido como cardinalidad diferente) son los números reales y los números racionales (o enteros o números naturales si lo prefiere). Sin prueba (aunque dicha prueba ciertamente existe, siendo el más famoso el argumento diagonal de Cantor), afirmaré que no existe un mapeo uno a uno de los números reales a los números racionales y, como tal, el conjunto de números reales puede considerarse más grande que el conjunto de números naturales (y la razón más obvia por la que no es al revés es que los números racionales son un subconjunto de los números reales y un subconjunto no va a ser más grande que su conjunto principal).

Answer 5

Sí, hay infinitos que son más grandes que otros. Sin embargo, no exactamente en la forma en que fue su pensamiento original. Ambos

0.1111111….

y

0.222222….

Son solo números únicos. Continúan para siempre seguro, pero son números finitos independientemente. Después de todo 0.11111 … es solo una representación que es infinita, cuando digo [matemáticas] \ frac {1} {9} [/ matemáticas] quiero decir exactamente el mismo número. La longitud de un número no es una característica muy interesante porque esencialmente es solo una representación del número.

Cuando los matemáticos hablan de infinitos, generalmente hablan de conjuntos (es decir, colecciones de cosas) de tamaño infinito. Por ejemplo, podría mirar el conjunto de todos los enteros positivos:

[matemáticas] S = \ {n | n \ in \ mathbb {N} \} = \ {1,2,3,4,5,6,7,… \} [/ math]

Y podría intentar determinar su tamaño. Por supuesto, hay una cantidad infinita de números, por lo que esencialmente todo lo que podemos hacer es darle un nombre: [math] \ aleph_0 [/ math]

También podríamos mirar el conjunto de todos los enteros incluso positivos:

[matemáticas] S_2 = \ {2 n | n \ in \ mathbb {N} \} = \ {2, 4, 6, 8, 10, 12 \} [/ matemáticas]

Ahora, este es el lugar donde, desafortunadamente, el sentido común tiene que quedar en segundo plano. El sentido común nos dice que este conjunto [math] S_2 [/ math] tiene menos elementos que [math] S [/ math], después de todo para crear [math] S_2 [/ math] simplemente tomas el set [math] S [ / math] y tira todos los enteros impares: ¡la mitad de los elementos!

Pero el sentido común está mal aquí. Para ver esto, necesitamos desarrollar una forma ligeramente diferente de comparar conjuntos. Obviamente, tanto [math] S_2 [/ math] como [math] S [/ math] son ​​infinitamente grandes, por lo que no podemos contar los elementos y verificar cuál es más grande. Pero tenemos más opciones para contar. Considere el ejemplo:

Digamos que necesita saber qué ciudad tiene más ciudadanos, Amsterdam o Nueva York. Y digamos que puedes hacer cualquier cosa, excepto contar. Una forma de hacerlo es intentar vincular a cada ciudadano en Amsterdam con un ciudadano en Nueva York. Ya sea por intercambio de número de teléfono celular, dirección de correo electrónico. O simplemente dando a todos un boleto de avión.

Entonces comienzas a emparejar personas. Uno por uno, ¡pero sin contar! Hay dos opciones O te quedas sin gente en una ciudad (en cuyo caso la otra ciudad tiene obviamente más gente) o puedes emparejar a todos (en cuyo caso las poblaciones totales son iguales).

La descripción anterior de emparejar diferentes números se puede construir matemáticamente y con eso ahora tenemos una manera de comparar conjuntos de tamaños infinitos: si se emparejan perfectamente, son de igual tamaño, si no se emparejan perfectamente, tienen diferentes tamaños.

Con dicho mecanismo, puede mostrar que los conjuntos S_2 y S tienen el mismo tamaño. O más bien, dado que estamos hablando de infinitos y la idea de un tamaño infinito es un poco extraña, se llama Cardinalidad.

Conduce a muchas cosas que son bastante intuitivas al principio. Por ejemplo, el conjunto:

[matemáticas] S ‘= \ {0,1,2,3,4,5,6,7,… \} [/ matemáticas]

Es igual de grande (tiene la misma cardinalidad) que el conjunto S. A pesar de que S ‘tiene todos los elementos de S, y también el número 0.

Esto lleva a que la gente diga cosas como [matemáticas] \ infty + 1 = \ infty [/ matemáticas]. Si bien eso es cierto hasta cierto punto, es mucho mejor evitar esa notación ya que [math] \ infty [/ math] generalmente no es un símbolo que pueda usarse con el operador ordinario +.

De todos modos, para volver a su pregunta original, resulta que ciertos conjuntos pueden tener diferentes cardinalidades. Tomemos, por ejemplo, el conjunto de todos los números reales. Con el argumento diagonal de Cantor puede demostrar que este conjunto debe ser más grande que S. No solo es más grande, es infinitamente más grande.

Y así, el conjunto de números reales (generalmente denotado por [math] \ mathbb {R} [/ math]) tiene cardinalidad [math] \ aleph_1 [/ math]. Es una pregunta abierta si hay un conjunto de tamaño infinito que tiene una cardinalidad entre [math] \ aleph_0 [/ math] y [math] \ aleph_1 [/ math].

Entonces, sí, hay infinitos diferentes, los clasificamos con la notación [math] \ aleph_ {i} [/ math] donde cada i progresivo significa una cardinalidad incluso (infinitamente) más grande. En general, esta idea no debe confundirse con la notación [math] \ infty [/ math]. Es decir, cuando intentas calcular un límite de algo con un argumento que va al infinito:

[matemáticas] \ lim_ {x \ to \ infty} f (x) [/ matemáticas]

Entonces estas [matemáticas] \ aleph_ {i} [/ matemáticas] no juegan un papel.

Answer 6

La noción es correcta y es una hermosa ilustración de una paradoja lógica. (¡Causó una gran controversia entre lógicos, matemáticos, filósofos y teístas en el siglo XIX hasta que fue generalmente aceptado, incluso con el Papa al lado de “más de uno”!) Es una premisa fundamental de la teoría matemática moderna y tiene implicaciones filosóficas también.

La idea original de Georg Cantor, quien desarrolló los fundamentos lógicos de la teoría de conjuntos, es que los números naturales (los números de conteo) y sus “representaciones” cardinales son infinitas; sin embargo, también son un subconjunto del conjunto infinito de números reales ( que también comprenden fracciones, números racionales e irracionales, entre otros). Entonces tenemos un caso claro en el que un infinito es mayor y encierra completamente otro infinito.

Filosóficamente, esta es también una explicación creíble de muchas cosas, incluida la naturaleza de la creación, para teístas y no teístas, en el sentido de que siempre hay una dimensión más grande que cualquier “tú” puede definir. Es decir, siempre hay un conjunto mayor que cualquier conjunto conocido que abarque “su” universo, uno o muchos o un número infinito de ellos, sean cuales sean esos universos o no, y todas las representaciones y simbologías de ellos.

(¿Pensador visual? Busque el Infinite Hotel Paradox en Youtube).

Answer 7

Aquí hay un par de respuestas completamente incorrectas, así que lo explicaré. Editar: ignorar esta declaración; Mi respuesta ha sido movida.

Los orígenes de esta pregunta tienen un contexto preciso en matemáticas: cardinalidad o tamaño de los conjuntos. Demostrar:
[matemáticas] | \ {1,2 \} | <| \ {1,2,3 \} | [/ matemáticas]
En este caso, es fácil deducir que el segundo conjunto tiene un tamaño mayor que el primero. Sin embargo, las cosas se ponen difíciles cuando presentamos conjuntos de cardinalidad infinita (tamaño):
[matemáticas] \ mathbb {N} = \ {1, 2, 3,… \} [/ matemáticas]
Al principio, puede no parecer significativo asignar un tamaño a este conjunto además de “infinito”. Sin embargo, hay una manera de comparar conjuntos de tamaños infinitos.

Se dice que dos conjuntos tienen la misma cardinalidad si existe una biyección de ellos, en otras palabras, si puedo emparejar cada elemento de un conjunto con cada elemento del otro conjunto, de modo que cada elemento tenga solo un elemento correspondiente en el otro conjunto . Inmediatamente vemos que los dos conjuntos finitos [matemática] \ {1,2 \} [/ matemática] y [matemática] \ {1,2,3 \} [/ matemática] son ​​de diferente tamaño, ya que no hay forma de emparejar dos números con tres números.

Si nos atenemos a esta definición, obtenemos algunos resultados contraintuitivos. En particular, los números racionales tienen la misma cardinalidad que los números naturales:

De la manera descrita anteriormente, podemos asignar a cada número natural un número racional correspondiente, con especial atención a omitir los duplicados.
Un ejemplo con los números reales en lugar de los números racionales es la función [math] \ tanh: \ mathbb {R} \ rightarrow (-1,1) [/ math]. Esta función asigna los números reales al intervalo (-1, 1) y es biyectiva; por lo tanto, el conjunto de números reales y el intervalo (-1, 1) tienen la misma cardinalidad.

Comparar los números reales y los números naturales es un poco más complicado. La cardinalidad de los números naturales se denota [math] \ aleph_0 [/ math] y representa el tamaño más pequeño de infinito – infinito contable . La cardinalidad de los números reales se denota [math] \ mathfrak {c} [/ math]; Del mismo modo, nos referimos a ella como la cardinalidad del continuo .
Es un resultado importante en matemáticas que [math] \ aleph_0 <\ mathfrak {c} [/ math], como lo demostró George Cantor a fines del siglo XIX. La prueba más simple es quizás el argumento diagonal de Cantor, que muestra que es imposible enumerar los números reales, como se puede hacer con los números naturales.

Answer 8

El término “infinito” tiene un significado en el lenguaje cotidiano y otro en las matemáticas. Técnicamente hablando, un conjunto es infinito si y solo si contiene un subconjunto adecuado con el mismo número de elementos.
Por supuesto, esto parece imposible. ¿Cómo podría un conjunto contener adecuadamente un subconjunto del mismo tamaño? Una vez más, en matemáticas “del mismo tamaño” tiene un significado preciso: que existe una función biyectiva (uno a uno) entre los dos conjuntos. (Si quieres tener una idea intuitiva sobre eso, imagina dos tribus primitivas que no han adquirido el concepto de número, y quieren cambiar caballos por ovejas, y estar de acuerdo en que una oveja vale un caballo. Como no pueden contar, no hay manera para saber si el número de ovejas y caballos que se intercambiará es el mismo. Entonces, ponen todos los caballos en un corral, todas las ovejas en otro corral, y proceden a obtener uno de cada uno e intercambiarlos. Puede continuar haciendo que hasta que uno de los corrales esté vacío, y asegúrese de que se haya intercambiado el mismo número de animales. Si ambos corrales están vacíos, entonces el número original de caballos y ovejas fue el mismo: tenemos o uno a uno las funciones coincidentes cada caballo a una oveja y viceversa. Pero si hay ovejas adicionales en el corral de ovejas, tenemos que concluir que había más ovejas que caballos para empezar).

Por ejemplo, si N es el conjunto de enteros positivos, también conocidos como números naturales, y E el subconjunto de naturales pares, la función f: N -> E f (x) = 2x transforma cada entero en un número par, y es muy fácil verificar que es una función uno a uno (simplemente divida el resultado entre 2 y obtendrá el número original). Esto significa que N es infinito (por definición) pero al mismo tiempo, que E también es infinito y tiene el mismo número de elementos. Puede ampliar fácilmente este argumento para demostrar, por ejemplo, que el conjunto de números primos tiene el mismo número de elementos que N. Puede escribir una función f: Z-> N

f (x) = if (x <0) -2x + 1 más 2x

que asignan todos los enteros negativos a números impares positivos, y todos los enteros positivos a números pares positivos, lo que demuestra que los enteros (positivos y negativos) tienen el mismo número de elementos que N.

Se requiere un poco de trabajo adicional para mostrar el sorprendente resultado de que el conjunto de números racionales (aquellos que se pueden expresar como cociente de enteros) tiene el mismo número de elementos que N (sin embargo, no es muy difícil: tome pares de naturales , mapearlos a algo así como 2 ** x * 3 ** y y ver qué pasa)

Ahora puede preguntar razonablemente: “OK, usted ha demostrado que hay un conjunto infinito y que existen muchos otros conjuntos infinitos, todos del mismo tamaño. ¿Y qué?”.

Y la respuesta a eso, que le debemos al genio de Georg Cantor, es que hay infinitos más grandes (¡al menos tantos infinitos como números naturales!). Por ejemplo, el conjunto de números reales (todos los racionales más todos los irracionales). Y la prueba de que R es estrictamente mayor que N no es tan complicada.

Primero, es muy fácil demostrar (no lo haré aquí) que hay tantos números en R como en el intervalo (0,1). Luego imagine por un momento que hay una biyección entre N y (0.1), es decir, una función que asigna de forma única un natural a cada número entre 0 y 1. Puede poner esa función en una tabla de la forma

0 -> 0.x00 x01 x02 x03 ……… ..
1 -> 0.x10 x11 x12 x13 ……….
……
n -> 0.xn0 xn1 xn2 xn3 ………
…… ..

donde xij es el dígito (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) en la posición j correspondiente a i.
Ahora, puede construir un nuevo número y = 0. (9-x00) (9-x11) (9-x22) (9-x33) …
que tiene en su posición j 9 menos el dígito j del número correspondiente a j. Es fácil ver que y no corresponde a ningún número de la tabla (es diferente del primero en el primer dígito, del segundo en el segundo, y así sucesivamente). ¡Así, encontramos una oveja extra! Hay más números reales que números naturales, y tenemos al menos dos infinitos, uno más grande que el otro, aumentando su tamaño.

Answer 9

Sí, es verdad. Es fácil para nosotros los tipos no matemáticos confundirse, pero sabemos que los expertos dicen que es cierto.

Creo, en la ignorancia de mi no matemático, que el ejemplo del usuario no es bueno. Creo que todos los números reales entre uno y diez son del mismo tamaño que (no mayores que) todos los números reales entre uno y cincuenta.

Puede parecer que el segundo ejemplo (todos los números reales entre uno y cincuenta) sería cinco veces (aproximadamente) tan grande como el primer ejemplo. Pero las matemáticas transfinitas no parecen funcionar de esa manera. Infinito más uno es igual a infinito. Infinito multiplicado por cinco es igual a infinito.

Cuando llegas al infinito multiplicado por el infinito, tu resultado es más grande de lo que comenzaste. En ese punto, necesita nombres para las diferentes magnitudes del infinito. Por lo tanto, tenemos el nombre aleph-null para el infinito más pequeño, aleph-one para el siguiente tamaño neto, y así sucesivamente.

Un ejemplo de aleph-null, un “infinito contable” es el conjunto de todos los enteros. Un ejemplo de un infinito más grande es el conjunto de todos los números reales. El conjunto de todos los números reales es de mayor magnitud porque hay un número infinito de números reales entre cada par de enteros, por lo que el número total de números reales es el número de enteros (aleph-null) multiplicado por el número de números reales entre cada par de enteros (al menos aleph-null, pero por lo que sé, podría ser mayor). Entonces el resultado, el número de números reales, es al menos aleph-one.

¿No es esto contrario a la intuición?

Sí lo es.

Entonces, ¿por qué deberíamos creerlo?

Aquí está mi teoría: a alguien se le ocurrió un sistema para tratar con números transfinitos. Y el sistema funcionó. Es decir, resultó ser bueno para algo, útil de alguna manera. No tengo que saber para qué sirve, no más de lo que tengo que saber para qué sirve S5 en lógica modal, o por qué Hawking piensa que el “tiempo imaginario” es un concepto útil.

Todo lo que tengo que hacer es seguir estas convenciones (por ejemplo, usando S5, puedo parodiar la lógica de Plantinga para “probar” que Dios no existe) o abstenerme de tener una opinión. Lo que estaría mal es ignorar las convenciones que no entiendo, o hacer el tonto (como hace William Lane Craig cuando hace el argumento del Hotel Hilbert) y pretender que las reglas para un conjunto de convenciones deben aplicarse a otro conjunto de convenciones.

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Publico aquí muy poco en estos días, porque el terrorista QAASB (Quoras Arbitrary Anti-Succintness Bot) me incomoda. Pero esta pregunta parecía que requeriría una respuesta de tal longitud para quedar fuera del ámbito arbitrario del QAASB.

Si me equivoco, si esta publicación se colapsa cuando la envío, probablemente hayas visto lo último de mí por completo.

Answer 10

Si. La respuesta simple es que algunos infinitos son “más densos” que otros infinitos.
De hecho, hay un conjunto infinitamente infinito de infinitos cada vez más densos.

El conjunto de números ordinales es infinito pero “numerable” (o “contable”) porque los números pueden organizarse en una secuencia ordenada (1, 2, 3, 4, …) Este es el infinito más pequeño o menos “denso”, y se puede demostrar que, los enteros pares o impares, las fracciones racionales se pueden convertir en un conjunto “numerable”, de modo que cada uno de estos conjuntos diferentes tiene el mismo tipo de tamaño infinito.

Georg Cantor mostró (en 1874) que hay algunos conjuntos en los que los miembros no se pueden organizar en orden, como el conjunto de todos los valores posibles (racionales e irracionales) entre 1 y 2 (ya que siempre hay otro valor entre dos valores usted elige!) Este conjunto se conoce como el “continuo” y su tamaño es un infinito “más denso” que el “numerable”.

El conjunto de curvas geométricas es incluso “más denso” que el continuo.

Cantor etiquetó el conjunto contable de números ordinales con la letra griega omega, y usó la letra hebrea aleph con un subíndice para indicar el conjunto de infinitos. El tamaño de omega también se conoce como aleph-zero, seguido de aleph-1, aleph -2, aleph-3, etc. para describir un conjunto infinitamente contable de infinitos cada vez más densos.

Durante muchos años, Cantor y muchos otros matemáticos intentaron demostrar que el tamaño del continuo es en realidad aleph-one, es decir, que no hay otro infinito entre el continuo y el omega. ¡Esto se conocía como “La hipótesis del continuo” pero, en 1963, se demostró que esto no se puede probar ni refutar (es decir, “¡La hipótesis del continuo” es “indecidible”)!

Answer 11

Otras respuestas cubrieron las definiciones de conjunto contable e incontable y lo que significa que un conjunto sea mayor que el otro, por lo que no lo explicaré nuevamente, solo quiero decir algo más para ayudarlo a comprender que realmente necesitamos esa teoría .

Necesitamos diferentes infinitos para resolver problemas.

Por ejemplo, déjame preguntarte.
Si defino algún conjunto [math] A \ subseteq \ mathbb {N} [/ math],
¿siempre podría escribir un programa de computadora (un algoritmo) que determine si el número de entrada está contenido en A?
Parece que lo harías.
Por ejemplo, es fácil verificar si un número es par, o si es primo, o si es sexy (Sexy prime), etc.
Pero demostraré que no lo harías.

Cada algoritmo funciona para un máximo de 1 juego.
El programa de computadora o algoritmo es una secuencia finita de caracteres (o instrucciones si lo desea). ¿Cuántas secuencias finitas de personajes hay? ¿Puedes detectar una similitud con los números naturales, también son (en representación decimal) secuencias finitas de caracteres. Así que hay innumerables programas que puedes escribir.
Cuántos subconjuntos de [math] \ mathbb {N} [/ math] hay, innumerables.
Los conjuntos incontables son más grandes que los contables por definición, por lo que existe un conjunto para el que es imposible escribir un algoritmo que verifique si hay una entrada en ese conjunto.

No importa si no entendió la prueba, acabo de dar un ejemplo de un problema resuelto utilizando el hecho de que algunos infinitos son mayores que otros. Espero que esto ayude y buena suerte con la comprensión del concepto de infinito. Es realmente interesante una vez que entiendes lo básico.

Answer 12

gracias por A2A

primero te corregiré y luego responderé la pregunta en el título.

ninguno de esos dos números es infinito (quiero decir infinitamente grande). son números finitos con solo una expansión decimal infinita. Para ser claros, estos simplemente pueden ser representados por dos fracciones: 1/9 y 2/9. si tiene dudas, verifíquelo con una calculadora y si está buscando una forma de convertir este tipo de números en fracciones, ¡hágamelo saber!

pero respondiendo a tu pregunta principal:

depende de lo que quieras decir con infinito y más grande, pero en el término de Cardinalidad de conjuntos, la respuesta es un claro ¡SÍ!

como he leído: el primero que abordó este concepto fue el inventor de la ingenua teoría de conjuntos (probablemente la primera teoría explícita de conjuntos) George Cantor.

La cardinalidad es algo así como el tamaño de un conjunto. en realidad para conjuntos finitos es igual al número de miembros del conjunto.

por ejemplo {1,2,3} tiene una cardinalidad de 3.

pero ¿qué pasa con los conjuntos infinitos? Aquí es donde empieza el problema .

Cantor dijo: dos conjuntos tienen la misma cardinalidad si y solo si puede haber una correspondencia uno a uno entre esos dos conjuntos (proposición A). por ejemplo, el conjunto anterior tiene la misma cardinalidad que el conjunto {A, B, C} porque puede hacer esta correspondencia entre ellos:

1 <—> A
2 <—> B
3 <—> C

OK, sigamos. Este principio es general y se aplica también a conjuntos infinitos. Esta generalidad conduce a resultados maravillosos y contra intuitivos. por ejemplo, simplemente puede probar que N tiene la misma cardinalidad que Z. GUAUU ! más maravillosamente N tiene la misma cardinalidad que Q (conjunto de todos los números racionales) y N × N (producto cartesiano de N por sí mismo). un WOW más grande 😀.

pero la sorpresa final llega a la escena cuando se trata de encontrar una correspondencia entre N y R. intentas y no responde a tus intentos. bueno, aquí es donde entra un teorema (de nuevo por Cantor, si no me equivoco) y demuestra por ti que:

no puede haber una correspondencia entre N y R. (o más precisamente entre N y el conjunto de potencia de N)

ahora regrese a la proposición A. Es bidireccional. entonces …

Si no puede haber una correspondencia entre N y R, no tienen la misma cardinalidad. entonces la cardinalidad de uno es mayor que el otro. y ambos son infinitamente grandes. entonces hay un infinito que es más grande que otro infinito.

Esto es lo que estabas buscando. ¿Pero cuáles son esos dos infinitos (quiero decir cómo se llaman)? ¿Cuál de esos dos es más grande y por qué? ¿Cuáles son las pruebas de los teoremas? ¿hay solo dos números cardinales infinitos o hay más? ¿Cuáles son otras cosas interesantes relacionadas con este tema?

Estas son preguntas que usted -si es curioso y lo suficientemente ansioso- debe seguir.

PD: esta respuesta se basa en el concepto de infinito en la teoría de conjuntos. podría haber una respuesta en el término de funciones y cálculo también …

Answer 13

Sí, existe alguna diferencia.

Primero tome números naturales,
1,2,3,4,5,6, …… .. Son infinitos, pero se pueden contar.

Pero si ve números reales, también son infinitos pero no se pueden contar. Existe una hermosa prueba al suponer que son contables y luego llegar a una contradicción.

Entonces, los números reales son infinitamente innumerables, mientras que los números naturales son infinitamente contables. Por lo tanto, ambos infinitos son diferentes.
El infinito contable es más pequeño que el infinito incontable.

PD : Dos conjuntos infinitos se pueden considerar igualmente infinitos , si se pueden poner en correspondencia 1 a 1 entre sí.

Edición 1 : Extrañé ver la palabra rigurosa. Se puede probar rigurosamente como a continuación.
Deje A ser el conjunto infinito.
Sea B contiene todos los subconjuntos de A, eso significa B = conjunto de potencia de A
Se puede deducir que no existe un one-one + en el mapa de A a B. Entonces, el infinito (B) es más grande que el infinito (A).
De hecho, infinito (B) = 2 ^ infinito (A)

Answer 14

Algunos infinitos son más grandes que otros, pero no es una prueba tan simple de aplicar.

Los matemáticos están interesados ​​en un conjunto de infinitos que funcionan así. Si tienes una carrera con seis corredores, entonces ‘6’ es un ‘número cardinal’. Debe proporcionar seis bloques de inicio, etc. para los corredores. Los ‘ordinales’ son un grupo que dice que A vino primero, B vino segundo, etc. Hay 720 formas diferentes en que los seis corredores pueden terminar.

Como tienes N corredores, ¡entonces hay N! órdenes finales, y estos son infinitos manifiestamente diferentes. Pero estos también son alucinantemente inútiles, ya que no hay una idea de cómo N o N! trabajo.

El truco con el infinito no es hacerlo grande, sino ver cuán pequeño puedes hacerlo.

Si toma una ecuación ordinaria, como [math] x = 5 \ times 7 [/ math], entonces esperaría que x se comportara exactamente de la misma manera que otros números. Pero el truco con pequeños infinitos, es que puedes hacer cálculos algebraicos como este, pero el resultado como [math] u = 3u [/ math] no es el fin del mundo, sino más bien una declaración de “confusión” de lo que nosotros puede ver. Todavía podemos distinguir [math] u [/ math] de [math] 2u [/ math], pero ya no de [math] 3u [/ math]. Esto es como ver un número sin su exponente, como 1.618 para 1.618E33.

Algunos números podemos determinar correctamente el resto, independientemente de qué tan grande lo hagamos. 24 es un número con el que podemos contar fácilmente. 2 ^ 24 se puede escribir en decimal como 16777216, en docena como 5751054 y hexadesimal como 1000000. Tomar 2 a esta potencia (es decir, 2 ^ 2 ^ 24) todavía está en el rango de computadoras extensas, pero los números no Parecido. El siguiente paso es pasar el tamaño del universo para escribir.

De todos modos, puedo encontrar fácilmente el resto de estos números, en relación con cualquier número dado, como 2017 o 10081. Esto se debe a que existe un camino, y mientras siga ese camino, puedo hacer las sumas. Pero es muy difícil incluso saber cuántos dígitos están involucrados en estos números.

Answer 15

Primero tenemos que definir qué significa “igual” de una manera que tenga sentido para conjuntos infinitos. ¿Cómo podemos hacer esto? Mediante el uso de uno de los conceptos más básicos en matemáticas: correspondencia uno a uno. Para conjuntos finitos, esto es intuitivo. Por ejemplo, si cada asiento en una arena tiene una persona y no hay personas de pie, entonces hay un número igual de asientos y personas y podemos decir esto incluso si no sabemos cuántas personas o asientos hay.

Ahora, extendemos esta noción a conjuntos infinitos.

Los números de conteo (1, 2, 3, …) son infinitos. Siempre puedes agregar 1.
Los números pares (2, 4, 6 …) también son infinitos. Siempre puedes agregar 2.

¿Son del mismo tamaño o no?
La intuición dice que el primero es dos veces el tamaño del segundo pero … Se pueden poner en correspondencia uno a uno:

1 – 2, 2 – 4, 3 – 6,… ..

entonces son del mismo tamaño.

Los números racionales (fracciones) también son infinitos. De hecho, hay un número infinito de fracciones entre 0 y 1. 1/2, 1/4, 1/8…. puedes seguir dividiendo por 2.

¿Seguramente debe haber más números racionales que contar números?

No. Se pueden poner en correspondencia uno a uno:
1 – 0/1
2 – 0/2
3 – 1/1
4 – 0/3
5 – 1/2
6 – 2/1
7 – 0/4
8 – 1/3
9 – 2/2
10 – 3/1
…

Guau.

Entonces … ¿hay algún conjunto de números que no se puedan poner en correspondencia uno a uno con los números de conteo? Si. Los reales

Cantor lo demostró con su famosa “prueba diagonal” ……

Escriba una lista infinita de los reales en el orden que desee:

0.12010384781… ..
0. 3910175730… ..
0.427110743… ..
…

Ahora, siempre podemos encontrar un número que no esté en esta lista. Simplemente baje el diagonal … 1, 9, 7 … y agregue uno a cada uno para obtener

0,208 ……

ese número no está en ninguna parte de la lista, por lo tanto, los reales son un “infinito más grande” que los números de conteo.

Answer 16

En primer lugar, el término para “infinito” en números cardinales es aleph (א). Es la primera letra del alfabeto hebreo.
De hecho, hay diferentes tamaños si infinito. Uno de ellos es א nulo. Esto se define como el número de números naturales, que también es igual al número de números enteros, enteros y números racionales (para una prueba, consulte ‘ http://math.stackexchange.com/qu …). Esto también se llama infinito contable. Esto se debe a que puede escribir los objetos en una secuencia.
El siguiente infinito más grande es א uno. Este es el número de números irracionales, que también es igual al número de puntos en una línea. Es el primero de los infinitos incontables.
También hay infinitos más grandes que esto, como א dos y así sucesivamente. Es posible que también desee verlos.
Además, echa un vistazo a Hilbert’s Hotel. Es muy divertido pensar en eso.

Answer 17

La prueba más famosa de esta distinción entre los tamaños de conjuntos infinitos es el argumento diagonal de Cantor que muestra que el infinito (incontable) del conjunto de continuos de números reales es estrictamente mayor que el infinito (contable) del conjunto de números naturales.

En términos más generales, el teorema de Cantor mostró que el conjunto de potencia P (S) de cualquier conjunto S tiene una cardinalidad (es decir, “tamaño”) estrictamente mayor que la cardinalidad de S. (El conjunto de potencia de un conjunto S es el conjunto de todos los subconjuntos de S ). Por medio de esto, uno puede construir una secuencia infinita de conjuntos infinitos más grandes y más grandes, sin un conjunto infinito más grande.

Answer 18

Editar: la mayor parte de esta respuesta se escribió en respuesta a los detalles de las preguntas que ahora se han eliminado.

Anon ha dicho algo sobre por qué consideramos que las cardinalidades son diferentes, por lo que no lo repetiré.

Con respecto a su segundo párrafo, las fracciones se pueden escribir como eventualmente decimales infinitos periódicos. Entonces, por ejemplo, 3/4 = 0.75000000 … con los 0 repitiéndose hasta el infinito. Todas las fracciones tienen representaciones decimales infinitas que se repiten (como 1/3 = 0.3333 … ..) o que se repiten después de un segmento inicial finito (como 1/2 = 0.50000 …). Esto es lo que significaba el libro. Tenga en cuenta que esto no es cierto para los números irracionales, como pi. *

En su tercer párrafo, habla sobre el argumento diagonal de Cantor. La clave aquí es que el argumento comienza afirmando que tenemos una lista de todos los números reales entre 0 y 1. Luego, demostramos que podemos construir un número que no está en la lista, y por lo tanto no podríamos haber tenido tal lista en absoluto. ¿Cómo mostramos que no está en la lista? Mostramos que difiere en al menos un decimal de cada elemento de la lista.

Si tuviéramos que intentar hacer esto para los enteros, primero decimos que tenemos una lista de todos los enteros. Esto está bien, te daré uno ahora: 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, … etc. Desea agregar uno al último número en la lista para obtener un nuevo entero. ¿Cuál es el último número en la lista? Para diagonalizar aquí, debe construir un número entero que sea demostrablemente diferente de cada elemento de la lista. ¿Cómo lo harías tú?

* Crédito adicional, pruebe que si un número tiene una representación decimal que eventualmente se repite, entonces tiene una representación como fracción y, por lo tanto, es racional.

Answer 19

Es extremadamente natural declarar dos conjuntos, digamos A y B, para tener el mismo número de elementos, si y solo si, existe una correspondencia biyectiva entre ellos, lo que equivale a la existencia de una función univalente de uno a uno A a B, que es sobreyectivo (dicha función puede describirse informalmente como una regla que asigna a cada miembro del conjunto A uno y solo un miembro del conjunto B (la regla es univalente), de modo que dos miembros distintos de la al conjunto A se le asignan miembros distintos del conjunto B (uno a uno), y de tal manera que para cada miembro del conjunto B hay un miembro del conjunto A al que se le asigna el miembro dado del conjunto B (surjection)) .
Ahora, si tal asignación no es posible, la imposibilidad se refleja en tres posibilidades:
1. “No hay una asignación univalente posible”. – Pero si los conjuntos A y B no son nulos, uno podría elegir (y arreglar) un miembro del conjunto B y asignar a todos los miembros del conjunto A el miembro fijo de B. Por lo tanto, rechazamos esto como una posibilidad por la ausencia de una correspondencia biyectiva entre conjuntos no nulos.
2. “No hay una asignación univalente que sea uno a uno”. – Al apelar a nuestras nociones naturales de desigualdad, esto ciertamente refleja que no hay suficientes miembros en el conjunto B para identificar a los miembros del conjunto A con miembros del conjunto B de manera única. Por lo tanto, esta posibilidad puede interpretarse como el conjunto B que tiene miembros menores que el conjunto A.
3. “No hay una asignación univalente de uno a uno que sea sobreyectiva”. – Esta es una reafirmación formal de la condición de que, no importa cómo uno identifique a los miembros de A con los miembros de B de una manera única (identificando así a A con una colección de miembros de B), siempre quedarán miembros de B que tengan no ha sido identificado con miembros de A. Esta condición es un candidato natural para la declaración “B tiene más miembros que A”, y eso es precisamente lo que hacemos.

Ahora suponga que hay dos conjuntos infinitos A y B que no admiten una correspondencia biyectiva entre ellos. Entonces, la posibilidad 2 o la posibilidad 3 se mantienen. En el caso de la posibilidad 2, bajo las nociones que hemos desarrollado anteriormente, diríamos que el “infinito asociado con el conjunto A” es mayor que el “infinito asociado con el conjunto B”; y declararíamos exactamente la desigualdad opuesta de infinitos si se cumple la posibilidad 3.

Como ejemplo concreto, es extremadamente útil considerar el conjunto de números naturales y el conjunto de números reales. El famoso Argumento de Diagonalización de Cantor, que se puede encontrar en Wikpedia, etc., demuestra un ejemplo de la ocurrencia de la posibilidad 1 al mostrar que no hay una asignación univalente del conjunto de Números Reales al conjunto de Números Naturales. Por lo tanto, hay menos números naturales que números reales, aunque hay una infinidad de números de cualquier tipo.

Recomiendo encarecidamente Mengenlehre de Felix Hausdorff para una descripción extremadamente cómoda y muy profunda de la teoría de los conjuntos, que es el dominio apropiado para tales investigaciones sobre infinitos.

Answer 20

Infinito no es un número sino un concepto, por lo que sería un error decir que algunos de ellos son más grandes. Sin embargo, es cierto que nuestra intuición dice que a veces dos números, a pesar de ser infinitos, pueden no ser iguales. Sin embargo, esta no será la forma matemática rigurosa de decir las cosas. Los racionales y los reales forman conjuntos infinitos, pero de alguna manera parece haber más reales que racionales. Pero no puedes decir que la cardinalidad del conjunto de reales es mayor porque simplemente no puedes comparar dos infinitos matemáticamente. Para conjuntos infinitos, el concepto de mayor cardinalidad se rompe, pero las matemáticas nos han dado un concepto que se conserva incluso en tales casos, el concepto de mapeos inyectivos. Si existe tal mapeo de un conjunto a otro, entonces podemos decir que el último conjunto es más grande, aunque no podemos decir que tenga una mayor cardinalidad si ambos son infinitos. Entonces, sí, las matemáticas nos han dado una forma de comparar entre infinitos, pero no nos han permitido afirmar que uno es más grande que el otro. Entonces, los enteros, los racionales, los reales y el conjunto de potencia (el conjunto de todos los subconjuntos) de los reales forman conjuntos infinitos, pero no todos son comparables. Sin embargo, los enteros y los racionales están conectados por una función que no solo es inyectiva, sino también sobre. En tales casos, llamamos a los conjuntos equicardinales y cualquier conjunto equicardinal a los enteros (o números naturales) es contable. Sin embargo, los reales no son contables y, por lo tanto, forman un conjunto ‘más grande’ que los racionales, aunque ambos son infinitos. El conjunto de poder de los reales es aún mayor y se conjetura que no hay infinito entre el infinito de los reales y el de su conjunto de poder. Esta conjetura es la famosa hipótesis del continuo.