Respuesta preliminar:
Una secuencia se ve así:
[matemáticas] a_1, a_2, a_3, \ puntos, a_n [/ matemáticas]
Una serie se ve así:
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[matemáticas] a_1 + a_2 + a_3 + \ puntos + a_n [/ matemáticas]
Una secuencia infinita se ve así:
[matemáticas] a_1, a_2, a_3, \ puntos [/ matemáticas]
Una serie infinita se ve así:
[matemáticas] a_1 + a_2 + a_3 + \ puntos [/ matemáticas]
Anexo un poco más profundo:
Un matemático le dirá que el último objeto que puse allí, el que llamé una “serie infinita”, no está bien definido. ¿Qué pasa si la suma no sale a un número finito? Si bien esto es algo quisquilloso, debemos ser un poco más cuidadosos. Comenzamos relacionando series con secuencias. Específicamente, podemos definir cualquier serie (como los ejemplos dados anteriormente) como una secuencia de sumas parciales .
Esto significa que, en lugar de describir la serie (finita) anterior de la manera que lo hice, la describimos como la secuencia (finita)
[matemáticas] a_1, a_1 + a_2, a_1 + a_2 + a_3, \ dots, a_1 + a_2 + \ dots + a_n [/ math]
De manera similar, podemos describir las series infinitas anteriores como la siguiente secuencia infinita de sumas parciales:
[matemáticas] a_1, a_1 + a_2, a_1 + a_2 + a_3, \ puntos [/ matemáticas]
Ahora podemos definir el concepto de convergencia . Si los términos en esta secuencia infinita crecen sin límite (en valor absoluto), entonces se dice que la serie diverge. Si, por otro lado, los términos tienen algún límite superior mayor, podemos decir (la mayoría de las veces) que la serie converge a un valor específico menor que ese límite superior mayor. Hay más sutilezas involucradas aquí, pero no voy a entrar en ellas por ahora.