¿Hay alguna prueba matemática para mostrar que 0! es 1?

Answer 1

0! = 1 como 0! se define de esta manera.

Pero esta definición no es arbitraria.
Es más como una hipótesis aceptada, ya que no se puede probar matemáticamente ni se ha comprobado que sea refutada.

Un ejemplo para explicar por qué 0! se define como uno sería:

considerar el número total de apretones de manos entre un número determinado de personas (1 apretón de manos por par)

para n personas es [matemáticas] ^ {n} C_2 = \ frac {n!} {(n-2)! \ times 2!} [/ matemáticas]

para n = 4, lógicamente la respuesta es 6 y por fórmula = [matemáticas] ^ {4} C_2 = \ frac {4!} {(4-2)! \ times 2!} = \ frac {4 \ cdot 3 \ cdot 2!} {2! \ cdot 2} = 6 [/ math]

para n = 3, lógicamente la respuesta es 3 y por fórmula = [matemáticas] ^ {3} C_2 = \ frac {3!} {(3-2)! \ times 2!} = \ frac {3 \ cdot 2! } {1! \ Cdot 2} = 3 [/ matemáticas]

Para 2 personas, lógicamente es 1 y por fórmula = [matemáticas] ^ {2} C_2 = \ frac {2!} {X \ cdot 2!} = \ Frac {1} {x} [/ matemáticas],
donde x es 0!
[math] \ Rightarrow 1 = \ frac {1} {x} [/ math].

Por lo tanto, se puede suponer que 0! se puede definir de forma segura como 1.

Answer 2

si supieras sobre la función gamma, es bastante fácil de probar.

función gamma Γ (t) definida por la integral

y una de sus propiedades básicas es

al poner n = 1, la segunda expresión da como resultado Γ (1) = 0!

en la primera expresión si ponemos t = 1

se reduce a

por integración obtenemos Γ (1) = 1

HENCE PROPORCIONÓ ..

Answer 3

Se puede observar que, n! = (n + 1)! / (n + 1).
3! = 4! / 4, 2! = 3! / 3 y 1! = 2! / 2.
Por lo tanto, 0! = 1! / 1 = 1.

Además, n! representa la cantidad de formas de organizar n elementos. Entonces, si no tiene nada (un conjunto nulo), se puede organizar de una sola manera. Eso es solo colocando el conjunto nulo.

Answer 4

La mayoría de la gente respondería eso

[matemáticas] (n + 1)! = (n + 1) (n!) [/ ​​matemáticas]

[matemáticas] \ implica 1! = (1) (0!) [/ ​​Matemáticas]

entonces 0! = 1

Pero esta lógica se rompe si vas más allá

[matemáticas] 0! = (0) (- 1)! [/ Matemáticas]

En cambio, ¡deberías pensar en 0! Un producto vacío .

Déjame explicarte con una cosa más simple.

Considere esta serie: 1,2,3,4… .n

¿Cuál es la suma de los primeros 3 términos? Son 6

La suma de los primeros 5 términos? 15.

¿Qué pasa con los primeros 0 términos? Es 0 porque no estamos agregando nada. Más específicamente, es 0 porque 0 es la identidad aditiva (cualquier cosa + 0 es en sí misma)

El producto de los primeros 3 términos de esta serie es 1 * 2 * 3 = 6; de los primeros 1 * 2 * 3 * 4 * 5 = 120 y de manera similar los primeros 0 términos son 1 porque 1 es la identidad multiplicativa (cualquier cosa multiplicada por 1 es en sí misma)

Pero lo que he escrito anteriormente es solo por la razón intuitiva. La razón principal por la que 0! 1 es porque es conveniente definirlo como tal. ¡Los factoriales son la parte central de la combinatoria y la mayoría de nuestras fórmulas tienen sentido si 0! Es 1

Editar: Si quieres saber por qué es la identidad multiplicativa, lee la respuesta de Dylan Holmes a ¿Hay una prueba matemática para mostrar que 0! es 1?

Answer 5

La idea del factorial (en términos simples) se usa para calcular el número de permutaciones (combinaciones) de organizar un conjunto de n números.

norte:

Número de permutaciones (n!):

Ejemplo visual:

1

1

{1}

2

2

{1,2}, {2,1}

3

6 6

{1,2,3}, {1,3,2}, {2,1,3}, {2,3,1}, {3,1,2}, {3,2,1}

10

3,628,800

ummm, tienes la idea …

Por lo tanto,

0 0

1

{}

Answer 6

Si; la prueba implica la intuición de cómo surge la función factorial en primer lugar. Como han dicho otros, n! es la cantidad de formas en que puede reorganizar n elementos en una fila.

Algebraicamente, n! es el número de automorfismos de un conjunto de n cosas: el tamaño del grupo de permutación. Y solo hay una función del conjunto vacío en sí mismo: la identidad.

Entonces puede “categorizar” los conceptos involucrados, reemplazando los números con estructuras más ricas:

• n representará un conjunto (n) finito de n elementos.
• ¡norte! representará el grupo de permutación del conjunto n.
• Y A = B significará que los conjuntos A y B son isomórficos, hay una biyección entre ellos.

(Para traducir una declaración que involucre estas estructuras más ricas nuevamente al lenguaje más simple de números, simplemente tome el tamaño de cada conjunto involucrado).

Como consecuencia de esta notación, observe que 0 representa el conjunto vacío y 1 representa un conjunto (ny) con exactamente una cosa en él.

El hecho de que 0! = 1 es ahora una declaración comprobable en la teoría de conjuntos; dice que el conjunto de automorfismos del conjunto vacío es isomorfo a un conjunto singleton. Por supuesto que lo es: la función de identidad es un automorfismo, y es la única función del conjunto vacío en sí misma.

Answer 7

No estoy seguro si cuenta como una prueba, ¡pero podemos escribir n! como
¡norte! = (n + 1)! / (n + 1)
(n-1)! = n! / n
.
.
3! = 4! / 4
2! = 3! / 3
1! = 2! / 2
0! = 1! / 1
no podemos avanzar más desde aquí, ya que dividir por 0 no tiene sentido.

Answer 8

Creo que 0! se define como 1 por conveniencia (facilidad de uso). Factorial se define como el producto de n enteros. Entonces, cuando tenemos que encontrar nCn, los valores intuitivos y definidos deben coincidir, ¡lo que lleva a 0! siendo 1.

Answer 9

¡Sí, sabemos que 1! = 1 y también n! = N * (n-1)! Solo sustituye n = 1; 1 = 1 * 0! Entonces 0! = 1

Answer 10

No puedo demostrarlo matemáticamente, pero cada vez, ¡siento que es extraño que 0! = 1. Pienso en x ^ 0 = 1.
Porque no puedes multiplicar x cero veces. (Concepto similar en el primero). Gracias por el A2A.