¿Qué es un número realmente?

Answer 1

En lugar de describir qué es un número individual, es mejor describir qué son todos los números. Son las conexiones entre los números que los caracterizan. Así que cambiaré un poco la pregunta: ¿Qué son realmente los números?

No importa lo que sean, sino lo que hacen. Y para eso, una abstracción es ideal. La abstracción se puede dar axiomáticamente, y eso se hace generalmente para números enteros positivos por los axiomas Dedekind-Peano.

Necesita un lugar para comenzar, y lo llama 1. Necesita poder contar, y eso se reduce a tener un próximo número, el sucesor , para cada número, de modo que no haya dos números diferentes que tengan el mismo sucesor. Y necesita el principio de inducción matemática (si alguna propiedad es válida para 1, y cada vez que es válida para un número, también es válida para el siguiente número, entonces es válida para todos los números). Eso es.

Cualesquiera que sean los números, si satisfacen los axiomas Dedekind-Peano, es suficiente.

Answer 2

Creo que es difícil evitar la metafísica, o al menos la filosofía, porque diferentes puntos de partida filosóficos tenderán a producir diferentes respuestas a esta pregunta.

Probablemente la posición más fácil de entender es la formalista. Un número es un objeto definido por un conjunto particular de reglas. Podemos probar cosas sobre estos objetos manipulando las reglas, pero cualquier correspondencia con objetos físicos reales está fuera del ámbito de las matemáticas. El hecho de que los enteros sean buenos para contar, o los números complejos son buenos para la mecánica cuántica, es pura cuestión de cómo construimos nuestros modelos. (Desafortunadamente, esto invierte la causalidad en que las definiciones formales de número llegan bastante más tarde que el uso del número). Pero la respuesta formalista es que un número no representa nada, es solo un objeto en una abstracción matemática particular. Por lo tanto, podemos hablar de “números” que no corresponden a ningún fenómeno físico en absoluto.

El enfoque platónico insiste en que los números son reales, en cierto sentido. Cuando observamos números o hablamos de sus propiedades, estamos en contacto con un objeto real, independiente de la creación humana. Una representación lingüística de un número, “uno”, representa el verdadero número platónico. Este número tiene propiedades que podemos descubrir a través de la razón (aunque como no soy platónico, no estoy seguro de poder explicar de dónde provienen los axiomas en los que basamos nuestro razonamiento …)

Otro enfoque intenta decir que un número como “tres” representa la acción de comparar conjuntos de objetos uniéndolos: su cantidad. Si tenemos tres manzanas y tres naranjas, podemos combinar cada manzana con una naranja y no nos queda ninguna. “Tres” -ness es, por lo tanto, una relación entre colecciones; podemos observar que “tres” y “cuatro” son relaciones distintas, que todos los “tres” son iguales, y que las relaciones sumarán y así sucesivamente. Esta definición de número es una explicación decente de cómo los humanos comenzaron a pensar en los números, pero no es una explicación tan atractiva cuando se habla de un número como “un millón”. El sentido del número visual humano solo aumenta hasta una docena más o menos antes de que se vuelva borroso.

El uso del número como “orden” es un significado relacionado pero distinto. Se puede agregar un número de colección (un número cardinal): 2 + 3 = 5. Pero la suma no tiene sentido para las posiciones en una lista (números ordinales). Lunes (segundo día) más martes (tercer día) no es igual al viernes (quinto día.) Lingüísticamente, el inglés (y algunos otros idiomas) hace esta distinción al proporcionar diferentes palabras para contar: uno, dos, tres, versus primero, segundo, tercero. Por supuesto, algunos idiomas van en una dirección diferente y tienen diferentes palabras de conteo para diferentes tipos de objetos. (¡Y los informáticos a menudo comienzan a contar desde cero!) ¿Son “primero” y “uno” realmente el mismo número? Ciertamente están relacionados.

Por supuesto, una vez que comenzamos a usar números como etiquetas, crecen y se divorcian tanto de la cantidad como de los pedidos. Es improbable que un jugador con “35” en su camiseta sea el jugador número 35 (en un sentido razonable) o contenga 35 de algo. Pero “35” sigue siendo un número, quizás deberíamos llamar a este caso “numeral”. La representación se ha desprendido de donde comenzó y simplemente actúa como un alias para el jugador.

Entonces, un número puede representar cualquiera de estos o más:
* Una idea abstracta definida por un conjunto particular de reglas
* Un objeto matemático platónico
* Una propiedad de colecciones
* Un punto entre un pedido
* Una etiqueta
* Una relación entre una medida y una referencia fija (distancia, área, volumen)
* El número o la palabra utilizada para representar uno de los otros conceptos.

Algunos de estos conceptos son fundamentales; otros pueden ser abstraídos, pero generalmente solo a algo más difícil de entender.

Answer 3

Gran pregunta De acuerdo con todas las definiciones anteriores. Mi definición de números: las letras en un alfabeto usado por las matemáticas. Mientras que todos los otros idiomas usan símbolos arbitrarios (letras), para construir palabras, que tienen significados asignados (es decir, inglés, francés, español, vasco …), los símbolos matemáticos están limitados a cantidades y las operaciones lógicas (es decir, gramática) que se puede realizar con o sobre ellos. Una cantidad es algo que observamos, que parece tener un límite: sin un límite, no podría existir una cantidad. Por ejemplo, ¿dónde comienza o termina una manzana? En su piel, pero cuando se examina la piel de una manzana con un aumento cada vez mayor, el límite comienza a ser más ambiguo: sin embargo, a una pulgada de la piel de una manzana está claramente, por sentido común, no Ya no más que la manzana. Uno de los valores únicos que tiene el lenguaje ordinario es que permite la transmisión de ideas complejas y simbólicas. Los números son específicos de la cantidad sola – una manzana, un protón, un perro – son todos “iguales” en ese sentido – “uno”. Esta noción resulta ser increíblemente útil para describir la realidad. Espeluznantemente así. Las matemáticas teóricas, sin aparente conexión con la realidad, sino solo con sus propias reglas (gramática), a menudo se han encontrado útiles para resolver problemas reales, muchos años después. Por qué esto debería ser así es un gran misterio. Los animales claramente tienen la capacidad de contar, pero cómo se desarrolló esto, y si es consciente o genéticamente programado, es otro gran misterio. Todos los idiomas, incluidas las matemáticas, se utilizan para construir mapas mentales de aspectos de la realidad. Como descripciones simbólicas, son de necesidad (al menos hasta ahora), solo descripciones parciales, pero pragmáticamente útiles, de la realidad.

Answer 4

Un número (natural) es fundamental y puede formalizarse en términos de otros conceptos.

Es fundamental en el sentido de que contamos usando números naturales y formamos un sentido del significado de “uno, dos, tres” de la misma manera fundamental que obtenemos el significado de “silla” o “gato” y todas estas cosas son bastante confusas límites definitorios.

En matemáticas, los números naturales se pueden formalizar utilizando, por ejemplo, los axiomas de Peano. Estos definen cero y una “función sucesora” como fundamental. Es una cuestión de debate filosófico si tales cosas son realmente más fundamentales, pero ciertamente son útiles en los fundamentos de las matemáticas.

Un modelo de los números naturales utiliza el conjunto vacío como cero y construye cada número posterior (ordinal) como el conjunto que contiene todos los números anteriores, de modo que:

• [matemáticas] 0 \ equiv \ {\} \ equiv \ emptyset [/ matemáticas]
• [matemáticas] 1 \ equiv \ {0 \} \ equiv \ {\ emptyset \} [/ matemáticas]
• [matemáticas] 2 \ equiv \ {0,1 \} \ equiv \ left \ {\ emptyset, \ {\ emptyset \} \ right \} [/ math]

y así. Esto siempre me ha llamado “creatio ab nihilo”, creación de la nada (o, al menos, el conjunto que no contiene nada).

Al observar las propiedades de los números, como el hecho de que están ordenados (al menos hasta llegar a los números complejos) y que puede hacer aritmética en ellos, también puede crear entidades matemáticas posiblemente más fundamentales como anillos y campos. Estudiarlos podría ayudarlo a tener una idea de lo que realmente es un número. O, como puede ver en esta respuesta, simplemente puede aumentar su rango de comprensión de lo que podría ser. Incluso podría extender su comprensión a los maravillosos números surrealistas donde existen cosas como las raíces cuadradas del infinito.

Finalmente, muchas cosas que llamamos números realmente no son números en absoluto, simplemente usan dígitos como identificadores. El primer ejemplo de esto es un “número” de teléfono: simplemente agregue dos de esos para ver si obtiene un resultado útil [math] \ ddot \ smallsmile [/ math]

Answer 5

Los matemáticos y filósofos tienen al menos 3 clases de puntos de vista sobre los números:

1) Realismo (o platonismo): cuando dices “la tierra es redonda”, tiene que haber una cosa llamada tierra y debe tener una propiedad de redondez. Ahora, cuando dices “3 es extraño”, ¿a qué entidad le estamos atribuyendo la propiedad de lo extraño? Los realistas argumentarían que hay un número 3 y que es tan real como la Tierra.

Esta vista puede parecer extraña, pero esta es la vista más popular entre los matemáticos. Sin embargo, los números son un tipo diferente de objetos, llamados objetos abstractos: no son espacio-temporales, no causan ni afectan otras cosas.

2) Intucionismo : esta visión afirma que los números son solo intuiciones o entidades ficticias que ayudan a describir muy bien el mundo físico. No salen independientemente de las mentes humanas.

3) Nominalismo, Logismo y Formalismo – Estas son variaciones más fuertes o más débiles de las posiciones anteriores. Algunos niegan la existencia de la lógica y la teoría de conjuntos que se nos da, pero aceptan la independencia mental de los números, algunos toman la lógica como universal y eterna, que existe en todos los mundos posibles.

Answer 6

¿Qué son los números? La mayoría de las personas, incluso de cinco años, pueden responder esa pregunta a su entera satisfacción. Se dan muchas respuestas diferentes a esta pregunta, todas más o menos aceptables dentro del discurso que tiene lugar. Aunque los números negativos, fraccionarios e irracionales fueron aceptados por los eruditos en Europa en el siglo XVI, y anteriormente en las civilizaciones antiguas en otras partes del mundo, hasta el siglo XIX, los números negativos y los números complejos a menudo se denominaban despectivamente números absurdos y números imaginarios . Estos números ahora juegan un papel esencial en las matemáticas, incluso en las matemáticas escolares, y los escolares aprenden sobre ellas.

Answer 7

Puedes buscar el significado del diccionario, pero probablemente no te ayudará si esperas usarlo para probar cosas sobre los números. Lo mejor que puede hacer en este caso es compilar una breve lista de las propiedades esenciales y evidentes de lo que llamamos números, una lista de la que podemos derivar todas las demás propiedades conocidas de los números. Axiomas de Peano es solo una lista de las propiedades esenciales de los números naturales. Han tenido tanto éxito a este respecto que estos axiomas han llegado a definir formalmente el conjunto de números naturales.

Los números enteros, racionales, reales y complejos se pueden construir, comenzando con los números naturales.

Answer 8

Los números son acumulaciones. Son tan reales e irreales como las palabras. Son objetos a los que les hemos dado significado, usando el lenguaje. Los números solo funcionan con un decodificador, que es el lenguaje, que es la inteligencia. Sin inteligencia, los números no son nada.

Answer 9

Tiendo a ser aristotélico, por lo que creo que las formas ideales, como los números, no existen aparte de las cosas.

Dado que los números son anteriores a la existencia de las matemáticas, usaría una definición psicológica de los números. Sé que esto tiene sus problemas: todos sabíamos que la gravedad existe antes de Newton, pero Newton tenía la descripción más elegante. Dicho esto, aquí está mi respuesta sobre qué son los números.

Los números tienen dos propósitos:

Son para contar, que se utiliza para determinar la cantidad. En tiempos prehistóricos, querías saber cuántas ovejas tenías, o cuántos hijos tenías. Usaste esta cantidad para medir tu crecimiento. Esta es la idea de los números cardinales en matemáticas.

El segundo propósito de los números es ordenar las cosas. El domingo es el primer día de la semana, el lunes es el segundo, y así sucesivamente. Estos son los números ordinales.

Las matemáticas modernas tienen definiciones muy formales que son superiores y más sutiles que las definiciones ingenuas y simples que acabo de dar. Pero este es el comienzo.

Answer 10

Algunas personas aquí han respondido qué son los números en lugar de los números. Si te pregunto “¿qué son tres?”, No deberías responder diciendo “tres es una palabra”. (Alguien dijo “puedes pronunciar números”, eso está mal).

Vamos a responder algunas preguntas más fáciles primero.

¿Qué son los conejos? Todos hemos visto un conejo y generalizado a una clase de conejos que comparten ciertas propiedades cruciales (orejas largas, saltos, etc.)

Ok, entonces, ¿qué son tres? Bueno, tres es el número que uso para clasificar grupos de objetos que tienen una cantidad específica de miembros. Aquí hay un grupo de ejemplo: xxx

¿Qué son los animales ahora? Los conejos, osos, ardillas, etc. son animales. Caminan, defecan, comen, duermen, etc. Los animales son una clasificación abstracta que es aún más general que la clasificación abstracta de conejos.

Entonces, finalmente, ¿qué son los números? 39, 7, 12 y 3 son números. Puedo usar números para contar los miembros de grupos de objetos que encuentro. Puedo realizar varias operaciones en números para obtener otros números. Entonces, los números son una clasificación abstracta que se refiere a estas cosas que puedo usar para contar cosas.

¿Existían las clasificaciones abstractas en algún ámbito incluso antes de que aparecieran organismos para contar cosas y clasificarlas? No ! Los grupos de tres objetos existían antes de que alguien contara los miembros. Pero la clase de todos los números no existía hasta que alguien aprendió a usar los números y comenzó a enseñar las habilidades a otros.

Si no hay martillos, ¿de qué se trata la carpintería? Los martillos no existieron hasta que la gente comenzó a fabricarlos y usarlos. Los números son herramientas que se pueden usar para las tareas de aritmética.

Si no hay números, ¿de qué se tratan las matemáticas? Los números no existían hasta que se contaban los miembros de los grupos. (Los grupos de objetos en sí mismos existían antes de ser contados). La matemática se trata de cómo puedes hacer números y qué puedes hacer con ellos y cuáles son las propiedades de los números.

En conclusión: los números son objetos físicos reales . Son abstracciones, patrones físicos que se pueden usar para diversas tareas. No existen sin un proceso físico para incorporar (o representar) los números y aplicarles las operaciones deseadas.

A pesar de Platón, puedes imaginar un martillo en tu mente. No se puede usar para martillar un clavo que tienes en la mano. Pero el martillo imaginado es un proceso físico aún así . Todas las abstracciones requieren procesos físicos para encarnar los patrones relevantes.

Answer 11

Muchas personas responden de una manera extremadamente simplista. En realidad están respondiendo la definición de contar. En realidad, los números son medios verbales y visuales para estimar y representar fenómenos teóricos.

Answer 12

Ay … Esa es una pregunta difícil.

Lo ves,
[matemáticas] n = \ {0, 1, 2, …, n-1 \} [/ matemáticas]
Con 0 = {}.

De hecho, un número natural es un conjunto que tiene exactamente n entradas, con cada entrada un número en sí mismo.
Aún más, cada elemento de esta colección es un conjunto, que contiene otros conjuntos o está vacío. Miedo, ¿no es así?

Así se definieron los números en el siglo XIX, después del colapso de muchos campos matemáticos, por ejemplo, la teoría de conjuntos con la paradoja de Russel. Necesitaban una base sólida nuevamente para definir los números, así que se les ocurrió esto.

Y, por supuesto, puedes calcular con esto, pero eso es para otro momento.

Answer 13

Los números cardinales son clases de conjuntos que tienen la misma cardinalidad.

Los números ordinales son clases de conjuntos, cada par de cuyos elementos son de orden isomorfo entre sí.

Answer 14

Los números se originan en la realidad del universo como la perfección absoluta del singular unido representado por el 1.

Le muestra una flexibilidad infinita y, al mismo tiempo, una estabilidad absoluta.

Todos los demás números se originan a partir de 1, ya que ese 1 se replica y / o divide, cada uno con su propia identidad única a medida que interactúan entre sí produciendo más de lo mismo. Mientras que la integridad del 1 permanece intacta.

Aunque cada número es un todo y perfecto en sí mismo, siempre y cuando su identidad permanezca como un número único, se presentará como una limitación, ya que su interacción entre sí producirá resultados diferentes.

Por ejemplo, 7 * 8 es diferente a 6 * 8, aunque el 8 será consistente en su interacción con cada uno de los otros números, los resultados nunca serán exactamente iguales a los cambios del otro número.

Solo pueden alcanzar la verdadera perfección, cuando llegan a un estado en el que son iguales a 1 … lo último de toda perfección. Solo entonces pueden lograr el estado de ser verdaderamente ilimitados y mantenerse autosuficientes exactamente como es el universo.

Ahora considere la ecuación 1 + 1 = 2,
La integración de los 1 es tan perfecta que el 2 resultante puede representarse como 1 y no será inexacto. Entonces, en realidad, 1 + 1 = 1

Los 1 se pueden sustituir con cualquier otro número y no habrá diferencia, el resultado siempre será 1 si 1 es el resultado deseado de la integración.

Answer 15

Un número es un símbolo arbitrario que le damos valor. Este símbolo fue definido arbitrariamente. El valor que le damos a este símbolo sin sentido es igualmente sin sentido. Sin embargo, cuando un sistema completo se define por una construcción originalmente sin sentido, se vuelve útil. 5 podría haber sido igual de fácil == 1 o a == 2. Simplemente se decidió que el símbolo ‘1’ mantendría el valor 1.

Para resumirlo. Es un valor completamente sin sentido asignado a un símbolo igualmente sin sentido.

Answer 16

Los números son simplemente un juego.

Cuando los entiendes como entidad, comienzas el juego. A medida que juegas más, más se acercan.

Cuando te cuentes como número, sabrás no contar la felicidad.

Cuando los números son agentes de aprendizaje, te permitirán sentir el nuevo mundo.

Answer 17

Los números son cosas que todos los animales entienden (por ejemplo, una madre loon puede contar el número de sus polluelos a distancia para ver si todavía están todos allí). Y parece que los números son parte de cierta capacidad biológica que tenemos y que usamos para hacer frente a la experiencia. A veces, hacemos un gran negocio acerca de la capacidad de “tener” números, pero los peces también los conocen.

Una mejor pregunta podría ser “¿Qué piensan los animales que son los números?”. ¡Y esto es mucho más profundo porque los animales (como se supone comúnmente) no tienen un idioma para contar!

Los humanos han desarrollado la capacidad de crear idiomas escritos (por ejemplo, los muchos idiomas de las matemáticas) y, por lo tanto, hemos podido refinar el concepto de “número” (por ejemplo, tenemos números enteros, números racionales, números irracionales, números complejos, etc.) para adaptarse a nosotros dónde y cuándo parecen apropiados para explicar lo que experimentamos.

Answer 18

Los números cardinales son clases de equivalencia de conjuntos. Tres manzanas y tres naranjas están en la misma clase de equivalencia, que nombramos 3. Cualquiera de los conjuntos de esta clase puede ser emparejado miembro por miembro con cualquier otro.

Los números ordinales se pueden definir con clases de equivalencia de órdenes en conjuntos.

Answer 19

Un número es el conjunto de todos los conjuntos que tienen una “cardinalidad” particular.

Es decir, “dos” es el conjunto de todos los conjuntos que tienen dos elementos.
“Tres” es el conjunto de todos los conjuntos que contienen tres cosas.

A partir de ahí, es útil elegir un representante particular de esos conjuntos, de la siguiente manera:
0 = {}, es decir, el conjunto vacío. (Solo hay un conjunto vacío, que es fácilmente comprobable).

1 = {{}}, el conjunto que contiene el conjunto vacío. Contiene una cosa, el conjunto del cual ya hemos establecido la existencia. Por supuesto, podemos escribirlo como 1 = {0}.

2 = {{}, {{}}}, el conjunto que contiene {} y {{}}, es decir, 0 y 1. Podemos escribirlo 2 = {0, 1}.

3 = {{}, {{}}, {{}, {{}}}}, el conjunto que contiene {}, {{}} y {{}, {{}}}. Podemos escribirlo 3 = {0, 1, 2}.

Y así.

Explicar la naturaleza de los enteros, racionales, reales y números complejos requiere más trabajo.

Answer 20

Un símbolo que representa una cantidad.