¿Se puede discernir la naturaleza trascendental de un número a partir de su representación decimal?

Answer 1

Para algunos tipos muy especiales de números trascendentales, puede inferir la trascendencia a partir de su representación decimal.

Esta línea de la teoría de los números trascendentales es en realidad completamente distinta de los argumentos de existencia formulados por primera vez por Cantor, y en realidad los antecede. La construcción se debe a Liouville, y utiliza la teoría de aproximación de Diophantine: en pocas palabras, es muy difícil aproximar los números racionales por otros números racionales. Es un poco menos difícil aproximar los números algebraicos por números racionales, pero aún así es un poco difícil. Por lo tanto, si un número puede ser súper aproximado por números racionales, tiene que ser trascendental. De hecho, esta clase de números, el “súper aproximable por números racionales” es un subconjunto apropiado de los números trascendentales (llamados números “U”), que en sí mismo es cero.

Este número es un poco artificial, pero ese es el punto. Considere la expansión decimal .101001000010000000010 … y así sucesivamente, donde el número de ceros intermedios crece exponencialmente. Si lo piensa, puede aproximar este número ridículamente bien por números racionales. Estas aproximaciones son .1, .101, .101001, etc.

Pensamos en el “costo” de una aproximación en términos del tamaño del denominador de la fracción. A muy bajo costo, estos racionales ofrecen una gran aproximación.

Uno puede demostrar, utilizando el análisis de diofantina (gran parte del cual depende del principio del agujero de la paloma), que si [math] \ alpha [/ math] es algebraico de grado d, entonces existe una constante [math] A [/ math] tal que
[matemáticas] | \ alpha – \ frac {p} {q} | \ geq \ frac {A} {q ^ d} [/ math] se cumple para todas las fracciones de p / q.

El número de Liouville está diseñado explícitamente para romper esta desigualdad, para cualquier valor de d. En consecuencia, por contradicción podemos inferir que el número de Liouville es trascendental.

Una vez fui a un REU de verano como estudiante, donde estudiamos este tipo de matemáticas, e hicimos camisetas de Liouville Slugger 🙂

Answer 2

Puede usar la representación decimal para concluir que un número no es trascendental, pero no puede usarlo para mostrar que el número es trascendental. ¿Por qué? Porque, como mínimo, necesitaría investigar toda la secuencia decimal infinita solo para mostrar que no se repite, lo que sería necesario para que el número sea irracional. (Ser irracional es necesario, pero no suficiente, para que el número sea trascendental).

Answer 3

No. Para cualquier modelo razonable de computación real, no existe un algoritmo para decidir si un número es trascendental. Ver Decidabilidad de los números trascendentales para alguna discusión.

Answer 4

Si parcialmente Hay una industria bastante grande en eso.
Básicamente, el tipo de cosa que prueban es calcular un número hasta un número muy grande de decimales. Luego pueden establecer teoremas del tipo: si el número x es racional, entonces el denominador de su fracción es mayor que …
Se puede hacer el mismo tipo de cosas para la trascendencia, se puede obtener que si el número x es algebraico de grado, digamos 10, uno de los coeficientes es mayor que …

El algoritmo que se usa se llama PSLQ. Se basa en el algoritmo LLL detrás de escena. Alternativamente, puede encontrar un polinomio P, para el cual el número x será un cero aproximado. El objetivo del matemático sería encontrar una prueba de que es un cero exacto. Se han encontrado muchas fórmulas con la ayuda de PSLQ. Por otro lado, probar la trascendencia es extremadamente difícil en general.