Los números primos existen en el plano complejo como “enteros gaussianos”, a saber, a + bi donde a y b son enteros. Al igual que con los enteros de números reales ordinarios donde algunos son primos y otros no, algunos enteros gaussianos son primos y otros no. Hay algunos DATOS DIVERTIDOS interesantes SOBRE LOS NÚMEROS COMPLEJOS:
En primer lugar, incluso en enteros puramente reales, cada primo en realidad existe en dos formas, más y menos, y su verdadera lista de divisores sería ella misma, 1, negativa en sí misma y -1, si uno tuviera que ser “justo” acerca de eso. En el plano complejo, si a + bi es primo, entonces también lo es a – bi, -a + bi, -a – bi, b + ai, b – ai, -b + ai y -b – ai (todos ocho combinaciones posibles en todos los reflejos horizontales, verticales y de inclinación de 45 grados) son primos, y si no, ninguno de esos reflejos es primo. Entonces, por ejemplo, 2 + 5i es primo, por lo tanto también lo son 2 – 5i, -2 + 5i, -2 – 5i, 5 + 2i, 5 – 2i, -5 + 2i y -5 – 2i. Cada uno de estos solo es divisible por (algunos) entre sí y por 1, i, -1 e -i. Esto se compara directamente con 7 y -7 siendo divisibles de manera uniforme solo entre sí y por 1 y -1 dentro de los enteros reales.
En segundo lugar, los números primos reales se dividen en tres categorías básicas, a saber, los que tienen la forma 4n + 1, 4n + 2 y 4n + 3. Hay un número infinito de números primos de cada una de las formas 4n + 1 y 4n + 3, y solo un primo único de la forma 4n + 2, es decir, el propio 2 (n = 0 en ese caso). Como resultado, cada uno de los 4n + 1 primos (5, 13, 17, 29, …) se factoriza en pares de primos gaussianos, como en 5 = (2 + i) × (2 – i) (o también (1 + 2i) × (1 – 2i) o también (-2 + i) × (-2 – i) o (-1 + 2i) × (-1 – 2i)). Sin embargo, cada uno de los primos 4n + 3 (3, 7, 11, 19, 23, …) no tiene en cuenta ningún número entero gaussiano complejo. El único factor primo 4n + 2 primo (2) en solo cuatro (en lugar de ocho) pares de enteros gaussianos: 2 = (1 + i) × (1 – i) o (-1 + i) × (-1 – i ) Y así como la mitad de todos los enteros reales son múltiplos de 2 (números pares), la mitad de todos los enteros gaussianos son múltiplos enteros gaussianos de 1 + i.
Tercero, así como cada 4n + 1 y 4n + 2 factores primos enteros reales en un par de enteros gaussianos primos, cada primo gaussiano, cuando se multiplica por su conjugado complejo (el signo cambiado para el componente “imaginario”, como en 5-2i es el conjugado de 5 + 2i), dará como resultado un 4n + 1 primo. Dado que multiplicar cualquier número complejo por su conjugado es exactamente lo mismo que tomar a² + b² donde a y b forman el número complejo a + bi, esto significa que cada suma de dos cuadrados a² y b² será un primo 4n + 1 si y solo si a + bi es un primo gaussiano. Eso también se aplica al 4n + 2 primo solitario, a saber 2, que es 1² + 1².
Cuarto, mientras que los matemáticos ya no cuentan 1 como primo (por varias buenas razones no voy a entrar aquí), tampoco es un número compuesto, y en todo caso es primo, y ahora se cuenta como una categoría diferente , es decir, una “unidad”. Resulta que, incluso con la unidad 1 en sí, que también podría considerarse como de la forma 4n + 1 (por coherencia con el resto de esta discusión; n = 0 en ese caso) , también tiene en cuenta la unidad compleja (i) y su conjugado (-i). Para resumir: todos los factores primos 4n + 1 en dos conjugados complejos elegidos entre ocho posibles factores primos gaussianos, los factores primos solitarios 4n + 2 en cualquier par de conjugados complejos elegidos entre los cuatro factores primos gaussianos posibles, y los 4n + solitarios Los factores de 1 unidad en el par único de unidades complejas como conjugados entre sí. En el plano complejo, los primos de números reales 4n + 1 o 2 no se consideran primos, o “primos gaussianos”, pero sus factores (los ocho o cuatro en cada caso) se consideran primos gaussianos.
Quinto, como se mencionó anteriormente, los números primos 4n + 3 no tienen en cuenta ningún número entero gaussiano complejo de ningún tipo y, por lo tanto, siguen siendo números primos, incluso si se consideran en el plano complejo. En este caso, cada uno de ellos viene en un conjunto de cuatro, es decir, 3, 3i, -3, -3i, 7, 7i, -7, -7i, y así sucesivamente. Estos enteros de números reales (junto con sus equivalentes “imaginarios” puros) se consideran primos gaussianos. Hay un número infinito de números primos de las formas 4n + 1 y 4n + 3, pero los recuentos exactos de ellos tienden a coincidir bastante entre sí, con un total de más de uno (4n + 1) en algunos rangos, y un total de más del otro (4n + 3) en la mayoría de los otros rangos.
Sexto (saliendo del tema de los números primos), existe el hecho de que cualquier entero gaussiano a + bi, primo o no, siempre que a ≠ 0 y b ≠ 0 y a ≠ b y a ≠ -b, se puedan elevar al cuadrado proporcione un “triple pitagórico”, un cuadrado complejo a + bi tal que a² + b² = c² donde c también sea un número entero, por ejemplo (2 + i) ² = 3 + 4i y 3² + 4² = 5² o (6 + i ) ² = 35 + 12i, y 35² + 12² = 37². Algo similar también funciona con ayb son números racionales que cumplen con el mismo criterio, por ejemplo (1/2 + 1 / 3i) ² = 5/36 + 1 / 3i, y 5 / 36² + 1 / 3² = 13 / 36²
Séptimo, mientras que los cuadrados perfectos en el eje de número real positivo siguen un patrón conocido (1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, … como cuadrados de 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …) y bastante similar para la dirección negativa, excepto que las raíces son todas imaginarias puras (-1, -4, -9, -16, -25, -36, -49, … como cuadrados de i, 2i, 3i, 4i , 5i, 6i, 7i, …), pero en el eje imaginario los cuadrados perfectos tienen el doble del tamaño de sus respectivos cuadrados de números reales respectivos. Entonces 2i, 8i, 18i, 32i, 50i, 72i, 98i, … son cuadrados perfectos de 1 + i, 2 + 2i, 3 + 3i, 4 + 4i, 5 + 5i, 6 + 6i, 7 + 7i, …
Octavo, en los números reales, el más pequeño, que es una potencia de 2 y una potencia de 3 (sin contar 1, que es cualquier potencia en sí misma) es 64, que es igual a 4³ y 8². Lo mismo ocurre con -64, que es -4³ y 8i². Pero en el plano complejo, el número más pequeño es 8i, que es (-2i) ³ y (2 + 2i) ². Y también hay -8i que es (2i) ³ y (2 – 2i) ².
Noveno, mientras que todos los primos 4n + 1 o 2 se pueden factorizar en un par de primos Gaussianos conjugados complejos (y todos los primos 4n + 3 o 0 no se pueden factorizar), algunos números compuestos (c = a × b donde a, b, yc son todos enteros no negativos y a ≠ c y b ≠ c) también se pueden factorizar en tales pares conjugados de enteros gaussianos no primos, mientras que otros no. Hay una manera simple de determinar si un número compuesto dado se puede factorizar de esa manera sin tener que ir al plano complejo y verificar tediosamente: simplemente factorice el número en sus factores primos, teniendo cuidado de enumerar cada uno el número correcto de veces. Entonces, por ejemplo, 468 factores en 2 × 2 × 3 × 3 × 13. De esa lista, elimine todos los primos 4n + 1 (o 2) y observe solo los primos 4n + 3 restantes. Si no hay ninguno, entonces el número puede ser factorizado. Si hay un número par de todos y cada uno de los 4n + 3 primos (como los hay aquí, 3 × 3), aún puede ser factorizado. Si contiene un número impar de 4n + 3 primos (por ejemplo, 156 que es 2 × 2 × 3 × 13, observe solo un “3” allí), no se puede factorizar de esa manera.