¿Cuántos números diferentes de 7 dígitos se pueden escribir usando solo tres dígitos 1, 2, 3 de modo que el dígito 3 aparezca dos veces en cada número?

Como escribió ” tal que el dígito 3 aparece dos veces en cada número “, voy a suponer que el dígito 3 aparece exactamente 2 veces y nada más.

Entonces, de 7 dígitos, solo quedan 5 (ya que 3 se usa exactamente 2 veces).

Método de fuerza bruta (una mejor visión para principiantes)

Estos 5 dígitos tienen que ser una mezcla de 1 y 2.
No hay formas en que esto sea posible:

Cuando calculemos las permutaciones, recuerde estos 2 casos
a) Cuando no se repite ninguna letra / número y la palabra tiene una longitud n: ¡Permutaciones totales = n!
b) Cuando hay repeticiones (ejemplo: un número se repite dos veces, el segundo número se repite 9 veces, la longitud total de la palabra es n (n> 10), en este caso las permutaciones serán = n! / [2! x 9!])

1) Usando 1 cinco veces
No de tales casos (dos 3, cinco 1, cero 2): 7! / (2! X 5! X 0!)
2) 1 cuatro veces, 2 1 vez
No de tales casos (dos 3s, cuatro 1s, uno 2s): 7! / (2! X 4! X 1!)
3) 1 tres veces, 2 dos veces
No de tales casos (dos 3s, tres 1s, dos 2s): 7! / (2! X 3! X 2!)
4) 1 dos veces, 2 tres veces
No de tales casos (dos 3, dos 1, tres 2): 7! / (2! X 2! X 3!)
5) 1 una vez, 2 cuatro veces
No de tales casos (dos 3, uno 1, cuatro 2): 7! / (2! X 1! X 4!)
6) Usando 2 cinco veces
Ninguno de estos casos (dos 3, cero 1, cinco 2): 7! / (2! X 0! X 5!)

No de casos totales:
(Agregue 1 a 6 totales de casos, Nota *: los casos 1-3 y 4-6 son computacionalmente iguales, así que simplemente multiplique los casos 1-3 por 2)
7! x [(1/120) + (1/24) + (1/12)] = 7! x [(1 + 5 + 10) / 120] = 7! x [16/120]
= 7! x 16/5! = 16 x 7 x 6 = 672

Otro (y mejor) enfoque para resolver el problema dado:

Suponga que se deben llenar 7 espacios en blanco con 1,2,3 y 3 se pueden usar solo dos veces
entonces para cada uno de los 5 espacios restantes tenemos 2 opciones 1 y 2:

No de tales casos: 7C2 x 2 ^ 5 = (7 x 6 x 32) / 2 = 7 x 6 x16 = 672

(¿Por qué 7C2?: Significa elegir 2 de 7 espacios en blanco en este contexto)

Si desea calcular 3 ocurriendo 2 veces o más, debe usar una modificación del segundo enfoque.

Paso 1: en este caso, primero calcule las permutaciones totales totales posibles
que sería 3 ^ 7 (piense así: para cada uno de los 7 espacios en blanco hay 3 opciones 1,2,3, por lo que ninguna de las formas será 3 ^ 7)

Paso 2: Calcule el No del caso en que 3 ocurra 1 vez o menos
3 ocurriendo solo 1 vez: 7C1 x 2 ^ 6 = 7 x 64 = 448.
3 ocurriendo 0 veces: 2 ^ 7 = 128
Entonces total de estos casos: 448 + 128 = 576

Paso 3: Deduzca 576 de 3 ^ 7, ese será su número de casos en los que 3 ha ocurrido 2 o más.