Creo que capto las corrientes subterráneas de esta pregunta; También preguntaba, hasta que tuve un destello a mediados de la década de 1990. La mayoría de las respuestas que obtendrá serán intramatemáticas, autorreferenciales, contextuales o “aplicadas”. ¿Por qué estaba preguntando? yo. porque un concepto tan fundamental como este “debería ser” algo intuitivo; ii) porque la pregunta subyacente probablemente es “¿por qué lo pensaron en primer lugar?”; iii) porque un poco antes, mientras escribía mi disertación de doctorado sobre “la teoría matemática de la música”, después de haber tocado la simple oscilación armónica y las complejidades relacionadas con el teorema de Fourier, copié una discusión sobre la fórmula de Euler de los libros de texto estándar, y estaba mirando y persistentemente pensando entonces (en comparación con comprender ahora) que o me faltaba algo esencial o que hay algo mal en él, ya sea en su expresión (difícilmente posible) o en sus interpretaciones y descripciones.
Te daré un ejemplo mundano relevante, quizás el más elocuente y directo que se me ocurre: la fórmula de Euler. Imagine las siguientes cuatro instancias.
I. Usted está mirando un disco circular totalmente transparente, como la bandeja giratoria de vidrio redonda en su horno de microondas. Marque un punto en su circunferencia. Ajuste la bandeja girando. Míralo directamente desde arriba; ¿Qué ves en cada caso? yo. su disco está girando , de manera simplista de acuerdo con la ecuación [ φ = ωt ], donde φ es el ángulo de barrido en radianes, ω es “velocidad angular” en, digamos, radianes por segundo yt es el tiempo en, digamos, segundos, si la fase inicial es ignorado por simplicidad; ii) el punto que marcó en su circunferencia está girando , de manera simplista de acuerdo con la ecuación [ s = Rωt ], donde s es la distancia recorrida a lo largo del arco y R es el radio, ambos dicen en cm para la escala que se ajusta a la ocasión.
IIa. Ahora baje gradualmente el nivel de sus ojos, como al doblar las rodillas. En su campo visual, la bandeja circular se ve gradualmente elipsoidal, hasta que haya inclinado 1 ángulo recto y haya alcanzado una posición de borde de su campo visual. ¿Qué ves ahora en cada instancia? yo. su disco se ha encogido en una delgada tira recta a lo largo de un segmento de una línea recta; ii) el punto que marcó oscila alternativamente hacia la izquierda y hacia la derecha, de manera simplista según la ecuación [ d = R cos ωt ], donde d es la distancia (visual) desde el punto medio, nuevamente en cm, todo lo demás como antes. IIb. En lugar de bajar su posición, proyecte su disco sobre su diámetro de borde. La proyección hará exactamente lo mismo, aunque esta vez ya no tenga un disco, sino un verdadero segmento rectilíneo geométrico abstracto; otras proyecciones fluctuarán dentro de un lapso más estrecho, dependiendo de la orientación.
IIIa. Imagine un planeta girando alrededor de una estrella en una órbita perfectamente “circular” (es decir, literalmente circunferencial). Del mismo modo, vea el par estrella-planeta de lado, de borde, donde el plano planetario parece haberse colapsado en su campo visual en un segmento rectilíneo. ¿Qué ves en cada instancia? su planeta parece estar oscilando alternativamente hacia la izquierda y hacia la derecha, de manera simplista de acuerdo con la ecuación [ d = R cos ωt ], donde d es la distancia radial (visual) de la estrella, medida en alguna unidad que es un múltiplo de un km u otra cosa en consecuencia grande, todo lo demás como antes. IIb. En lugar de bajar su posición, proyecte su trayectoria sobre su diámetro de borde. La proyección hará exactamente lo mismo, aunque esta vez ya no tiene vista de la rotación, sino un verdadero punto geométrico que oscila a lo largo de un verdadero segmento rectilíneo; otras proyecciones fluctuarán dentro de un lapso más estrecho, dependiendo de la orientación.
IV. Imagine un péndulo “matemático” que cuelga de una “cuerda muy muy larga”, o el punto medio de una larga cuerda de un arpa que supuestamente vibra en una “onda estacionaria” solo en su frecuencia fundamental. ¿Qué ves en cada instancia? Su peso y su punto medio realizan una oscilación armónica simple alternativamente hacia la izquierda y hacia la derecha, de manera simplista según la ecuación [ d = A cos ωt ], donde d es la distancia (real) desde el punto medio orbital, de vuelta a cm, tiempo como antes, excepto que ahora A es la amplitud y ω no tiene significado angular, pero representa 2 πf , donde π es la constante geométrica familiar, mientras que f es la frecuencia expresada en ciclos por segundo , alias Hertz . Como el fenómeno ahora es lineal, su amplitud (máxima) se reduce visualmente según el lugar desde el que se mira, es decir, la orientación, a diferencia de las revoluciones y rotaciones inclinadas del mundo real, pero al igual que sus proyecciones diametrales abstractas “irreales”. En cuanto a un péndulo realmente familiar, la situación se vuelve muy complicada debido a los términos no lineales adicionales, por lo que los ángulos se ven desordenados.
Ahora mira. Los cinco fenómenos IIa, IIb, IIIa, IIIb y IV se expresan de la misma manera algebraica, supuestamente todos idénticamente condensados en la fórmula de Euler:
[ Re ^ iωt = R (cos ωt + i sen ωt) ] o [ Ae ^ 2 iπft = A (cos2 πft + i sen2 πft) ]
En la oscilación armónica simple surge algo interesante: 2 πft es una fase de la función y puede llamarse un pseudoángulo o cuasiángulo , o un imitador de ángulo , o incluso un anguloide , que, aunque no es un ángulo por un tiro largo, funciona como uno en esta fórmula y en todo lo asociado a partir de entonces. Si las personas desean llamarlo “ángulo”, o se refieren a 2 πf como “velocidad angular”, Es su problema. Cantidad A cos2 πft es la suma total de lo que es y ves, es decir, todo el proceso físico que realmente está sucediendo. En cuanto al “término” Ai sen2 πft en movimiento armónico, es una declaración nula de nada en absoluto: simplemente no existe . No me importa si la gente lo llama rotación angular, reflexión, fase imaginaria, lo que tienes, simplemente no es nada y nunca será lo que sea; ponerlo en la ecuación es un fraude. Cualquiera que sea el cálculo que esté escribiendo para pasar como una ecuación diferencial y su solución euleriana, la ecuación para una oscilación armónica simple (y cualquier cosa más adelante, como el análisis y la síntesis armónica directa de Fourier) es simplemente A cos2 πf ( t + t ₀); el resto, es decir, el supuesto seno imaginario, es un disfraz teatral. Bien puede ser que estas oscilaciones sean el Waterloo de un supuesto “realismo” complejo; las cosas no nacen en el universo material de la nada porque alguna fórmula presuntuosa lo dice, ni el hombre “crea” bloques estructurales dimensionales, ni en el macrocosmos ni en el microcosmos.
¿Qué significa todo esto “realmente”? En IIa, IIIa y IV tenemos tres situaciones del mundo real, donde el álgebra es el mismo, complejo o no complejo. ¿La geometría es la misma? Apenas. ¿Es la física igual? De ningún modo. En IIb y IIIb tenemos dos abstracciones matemáticas, de nuevo con la misma formulación algebraica, geometrías diferentes y sin esencia física literalmente fiel.
Más específicamente, echemos un vistazo a los físicos. En IIa tenemos una revolución invisible de un disco compacto completo. ¿Dónde está la segunda dimensión? allí pero oculto, solo desapareció visualmente debido a la perspectiva normalmente inclinada. ¿Dónde está la fuerza centrípeta? En ninguna parte, a menos que uno deba contar alguna tensión radial adicional en la cohesión del disco de material como “centrípeta”, que es un poco exagerado, ya que el disco de material tiene la misma cohesión en reposo; La única característica adicional verdadera es el momento causal de inercia. En IIIa no tenemos revolución de ningún disco compacto, visible o invisible, sino una rotación, es decir, un recorrido arqueado lineal de un punto a lo largo de una circunferencia, un curso unidimensional curvado en una segunda dimensión. ¿Y dónde está esa segunda dimensión? allí pero escondido, detrás, solo desapareció visualmente debido a la perspectiva normalmente inclinada. ¿Dónde está la fuerza centrípeta? justo allí, gravitacionalmente, excepto que ahora el momento de inercia es un efecto estroboscópico. ¿Cómo difiere eso de los efectos relacionados con la cohesión de un disco material, ya que el disco aquí es irrelevante? ¿Cómo es esto similar y diferente de un peso giratorio unido al centro mediante un brazo mecánico material o mediante una cuerda como en el instrumento musical llamado “bullroarer”? o sujeto a un efecto magnético ejercido desde la distancia? ¿Estamos realmente tratando de describir lo virtual como real, forzando indirectamente lo inmaterial a materializarse mentalmente y luego “de hecho”? Pasemos ahora a IV. ¿Dónde está la rotación o revolución o momento de inercia allí? ¿Dónde está la segunda dimensión? ¿Dónde está el diámetro? En ninguna parte; nada gira ni gira, todo el fenómeno es puramente rectilíneo; No hay nada circular aquí, ni nunca lo hubo. ¿Dónde está la fuerza centrípeta? En ninguna parte tampoco; lo que tenemos, en cambio, es una fuerza restauradora (hasta el punto medio), [ F = – kx ] que hace todo el trabajo. ¿Realmente estamos tratando de forzar indirectamente a los inexistentes a saltar de alguna manera a la existencia y luego comenzar a decirnos que lo hizo, a juzgar por el resultado, o para obligar a una proyección falsa virtual a des-proyectarse? ¿Cómo?
Dos de los anteriores tienen sus amplitudes visuales no contraíbles, independientemente de su orientación, el tercero es contraíble. Un péndulo real es muy complicado debido a los términos no lineales adicionales, por lo que los ángulos salen desordenados. En cuanto a los dos casos restantes, es decir, IIb y IIIb, como dijimos, no son más que abstracciones matemáticas, sus amplitudes visuales se reducen a 0 dependiendo de la orientación. Estos son cinco casos distintos, cada uno con sus propios detalles específicos.
¿Que está sucediendo aquí? Siguiendo álgebras idénticas, la fórmula de Euler i. no hace distinción existencial entre revolución y rotación en movimiento circular, ii. proyecta de manera abstracta este movimiento esencialmente polar en los ejes euclidianos ortogonales cartesianos xey como R cos φ y Rsinφ , iii. le dice que puede querer conservar uno y rechazar el otro si se desvanece pero no se evapora de acuerdo con el ángulo de visión, porque entonces el sistema actúa solo como su proyección de coseno, iv. le dice que, siempre que esté disponible, pero no necesariamente, la contracción por proyección puede o no estar disponible en la realidad física real, pero está disponible y se tiene en cuenta en caso de que sea necesario; v. le dice que la oscilación armónica simple se comporta de manera idéntica a un giro teórico proyectado de lado a lado o de frente, que la segunda dimensión podría nunca haber estado o podría no estar allí, pero facilitaría su cálculo si la coloca como una cantidad virtual, como una pseudo-cantidad reconocida, como un fantasma algebraico imaginario (wow, incluso la fuerza restauradora se comporta como un centrípeto proyectado cosinusoidalmente), de hecho como un dispositivo conveniente para ahorrar trabajo; y luego puede descartarlo a su conveniencia; en todo caso, es un truco de aspecto limpio para mantener los senos y cosenos separados al mismo tiempo, incluso en situaciones en las que faltan unos u otros. También le dice que, dado que real es el imaginario imaginario, se deduce que donde puede tener centrípeto y / o momento de inercia no tiene oscilación armónica real, mientras que donde tiene oscilación armónica real no tiene centrípeto y / o momento de inercia. En resumen, pretendamos: uno virtual es el otro real y viceversa. En cuanto a e , bueno, se trata de un “número” trascendental hecho a medida con precisión para que coincida con ciertos arcos cruciales y para que los valores numéricos asociados como estos sean aún más sabrosos.
Entonces allí. Implícito, como si fuera y está registrado, nunca existió, pero el sistema de ecuaciones se comporta de manera más eficiente como si hubiera … cosas como esas, dadas vueltas a voluntad. Virtual, imaginario, implícito, implícito, cuasi-implícito, como si; estado de ánimo condicional en el lenguaje, no indicativo, inclinado. En todos estos casos, lo que se esconde debajo de la superficie es un encogimiento interdimensional real o falso y sin contracción y polarización-el-Euclidiano y Euclidizando-el-polar y proyectando y girando o como-aunque-rotando y desapareciendo / materializando o efecto lo que fue pero no es pero se visualiza, lo que podría / sería pero ya no existe, lo que sería que no es y nunca fue y nunca será sino “se comporta como si”; Todos estos son candidatos para la comprensión de un laico del análisis complejo.
Si inserta algo en una fórmula con un i pegado delante de él, de hecho está introduciendo una conveniente magnitud ficticia , que puede considerar irreal y / u oculta y / o encogida y / o rotada fuera del alcance y / o desaparecida y / o de alguna manera reflejada y / o proyectada y / o posible y / o fingida y / o representando la uniformidad de una función impar y / o la rareza de una función par y / o / … Y este muñeco la magnitud puede ser un número puro o un valor numérico, o puede ser una cantidad de unidades no dimensionales (“escalares”), o puede ser no dimensional (escalar) o mezclado en “geometría” analítica (mejor llamada “representación gráfica / trazar “, como” geometría “en estos casos es un nombre inapropiado), o puede ser dimensional en geometría analítica literal (longitudes cartesianas y / o radios y ángulos polares), o incluso puede ser dimensional en geometría clásica. Además, puede colocar y sacar esta magnitud ficticia según su conveniencia, intención y alcance. Puedes decirle a la naturaleza lo que es y hace, en lugar de aceptar que la naturaleza te dice lo que haces y lo que eres, haciéndote comprender el cerebro de los mamíferos que ella te ha dado.
Aquí hay un par de elocuentes ecuaciones simples de aspecto loco en álgebra legítima para observación divertida, el “teorema de Pitágoras complejo” primero, el segundo quizás su contraparte hiperbólica:
a ² + b ² = h ² = a ² – ( ib ) ² = ( a + ib ) ( a – ib )
( a + b ) ( a – b ) = a ² – b ² = a ² + ( ib ) ² = ( a + ib ) ² – 2 iab
Entonces, ¿el cuadrado de la hipotenusa es igual al área de un rectángulo cuyos lados tienen dos longitudes complejas conjugadas que involucran los dos lados perpendiculares del triángulo ortogonal? ¿No es un grito? ¿Implica cambiar de cuadrante? ¿Y no es todo una característica o un efecto secundario de las nociones que hemos puesto sobre clasificar y simbolizar nuestras áreas en los cuatro cuadrantes al grado deseado de diversificación? ¿Qué tal una prueba geométrica honesta que involucra figuras planas dimensionales y no sus medidas algebraicas que son números puros? De todos modos, esto no es geometría por mucho; ni siquiera es geometría analítica por admisión de nadie. El análisis complejo puede generar aritmética extraña, pero es simplemente álgebra. La Unidad 1 tiene una aplicabilidad universal a partir de la teoría de números, los fragmentos de 1 (racional, irracional, trascendental) tienen una amplia aplicabilidad, -1 tiene una amplia aplicabilidad; nada de eso se aplica a i , que es nebuloso e incómodo como concepto y es aplicable en tipologías algebraicas específicas donde se ha encontrado que es aplicable y no inaplicable (un gran caso de pensamiento circular). Por lo demás, configuramos instancias de lo que nos conviene de lo que es algebraicamente factible, definiéndolo para que se comporte de la manera que queremos que se comporte. Una vez completado, lo inspeccionamos y pretendemos que hace lo que hace por sí mismo, mientras solo observamos y registramos, en un estímulo de inversión completa de la intención y la direccionalidad de la causalidad teórica y del flujo de información: primero le decimos qué hacer. , segundo, observamos lo que hace y estamos asombrados, llevándonos a “creer” y argumentar que es lo que no es.
¿Son las “dimensiones imaginarias” dimensiones adicionales? ¿Es un quaternion de 4 dimensiones y un octonion de 8 dimensiones? No lo creo en absoluto; Probablemente los llamaría potenciales encriptados ocultos en las buenas dimensiones analíticas antiguas, donde, por ejemplo, el plano complejo no es x y “algo de y “, sino más bien x con un potencial de transformación / distorsión encriptado extra innato como en ix ; y, si el producto final intenta volver al análisis, cada “plano” complejo volverá a emerger como un eje modificado; quaternion debe ser una superficie 2D distorsionada, octonion una hiperesuperficie 3D distorsionada, hexadecanion una hiperhiperesuperficie 4D distorsionada, duotriacontanion una hiperhipersuperficie 5D distorsionada y
De todos modos, luego sigue un proceso de eliminación a posteriori : una audiencia está programada, quien pasa hace que el espectáculo juegue el papel especificado, el resto se va a casa, nadie vuelve a escuchar sobre ellos, los que responden las preguntas no los citan como éxitos o triunfos de análisis complejo si al final del día son fracasos. ¿Suena esto también como la mesa de un ilusionista o mago de escena? Admito que sí. ¿Es un truco? a veces no, a veces sí, en cuyo caso lo respeto más. ¿Colocamos una i frente a lo que sea que deseamos barrer debajo de la alfombra y la mantenemos allí solo para sacarla a voluntad? Simplemente no nos dejemos llevar a decirnos a nosotros mismos que lo que es evidentemente inexistente y virtual e inaccesible en el análisis complejo es necesariamente “existente” como otros fenómenos complejos realistas, simplemente porque el álgebra funciona, o porque hay dimensiones geométricas ocultas que no tenemos. No veo sino “existir”, o que los nombres incorrectos de geometría de alguna manera sobre el arcoíris “existen” como geometría. ¿Cómo existen para llorar en voz alta? Algebraicamente sí, geométricamente tal vez sí o tal vez no, en un mundo que habla de geometría algebraica pero no de aritmética algebraica. Si las álgebras coinciden, no significa que los elementos o procesos O GEOMETRÍAS también coincidan o materialicen su ectoplasma. Existe una gran brecha epistemológica entre física y metafísica, entre iMAGIng y MAGIc e i -MAGInary.
Espero que esto ayude y espero que no genere un Armagedón; si es así, algunos de nosotros estamos armados con medios adecuadamente avanzados para refinarlo y defenderlo … En cuanto a los laicos, dejen que guarden todas las necesidades básicas que entiendan de todo esto; Ya es más que suficiente.