Gracias por el A2A. Déjame ver si no puedo deconstruir esta pregunta por completo.
Desde un punto de vista de álgebra lineal, puede hacer cualquier espacio [math] n [/ math] -dimensional: simplemente lo denotamos por [math] \ mathbb {R} ^ n [/ math], y es solo la colección de [ matemáticas] n [/ matemáticas] -tuplas de números. Así, por ejemplo, [math] \ mathbb {R} ^ 3 [/ math] es solo la colección de puntos [math] (r_1, r_2, r_3) [/ math]. Como se trata de espacios vectoriales, podemos sumar dos puntos y multiplicarlos por números reales.
Lo que parece estar preguntando es, si tenemos uno de estos espacios vectoriales [math] \ mathbb {R} ^ n [/ math], ¿podemos definir una multiplicación significativa en él? Este es claramente el caso de [math] \ mathbb {R} [/ math], y con la noción correcta de multiplicación, podemos identificar los números complejos [math] \ mathbb {C} [/ math] con el bidimensional espacio [matemáticas] \ mathbb {R} ^ 2 [/ matemáticas]. Hasta aquí todo bien.
Como resultado, si desea mantener su suma y multiplicación asociativa y conmutativa (es decir, desea que su conjunto de números sea un campo ), no puede ir más allá. La razón por la cual está relacionada con la teoría de Galois y el hecho de que [math] \ mathbb {C} [/ math] está cerrada algebraicamente. Para resumir: si tiene un campo que contiene los números reales, entonces ese campo es un espacio vectorial real. Si ese campo es un espacio vectorial de dimensión finita, entonces es lo que se llama una extensión algebraica (en términos generales, se forma al agregar a su campo soluciones a ecuaciones polinómicas. Así, por ejemplo, [math] \ mathbb {C} [/ math] es una extensión algebraica de [math] \ mathbb {R} [/ math] porque agregas a los reales el número [math] i [/ math], que es una solución para [math] X ^ 2 + 1 = 0 [/ matemáticas]). Dado que cualquier polinomio sobre los números complejos tiene una solución compleja (es decir, [math] \ mathbb {C} [/ math] está algebraicamente cerrado), esto muestra que no puede tener ninguna extensión de [math] \ mathbb {C} [/ math ] que no es [math] \ mathbb {C} [/ math].
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Multa. Pero tal vez no somos tan necesitados, y estamos dispuestos a conformarnos con que la suma sea asociativa y conmutativa, y que la multiplicación sea asociativa, pero no necesariamente conmutativa. Quizás también deberíamos pedir que siempre podamos encontrar el inverso de un elemento (es decir, [math] x ^ {- 1} [/ math] siempre existe, siempre que [math] x \ neq 0 [/ math]). Esto es lo que hoy se conoce como un anillo de división (porque la división es posible en él). Los cuaterniones, como has leído en otra parte, son solo los números complejos, excepto que también agregamos los números [math] j, k [/ math], así que tenemos que los cuaterniones [math] \ mathbb {H} [/ matemáticas] son el conjunto de cosas de la forma [matemáticas] r_1 + r_2 i + r_3 j + r_4 k [/ matemáticas], con la regla de que [matemáticas] i ^ 2 = j ^ 2 = k ^ 2 = ijk = – 1 [/ matemáticas].
¿Por qué esta multiplicación no es conmutativa? Bueno, a partir de las leyes anteriores, es bastante fácil verificar que [matemáticas] ij = k [/ matemáticas], pero [matemáticas] ji = -k [/ matemáticas]. Misterioso. También debe señalarse, en contraste con los comentarios de los comentaristas, que [math] \ mathbb {H} [/ math] es un espacio de 4 dimensiones, no un espacio de 3 dimensiones. Sin embargo, reconoceré que es posible utilizar cuaterniones para describir rotaciones tridimensionales. Sin embargo, hay mucho que decir sobre los cuaterniones en este pequeño espacio, por lo que pasaré a la pregunta original (ya que esencialmente la he reformulado):
¿Existe un álgebra de división que sea tridimensional sobre los números reales? No, no hay De hecho, era un teorema de Frobenius (demostrar en 1877) que solo hay tres álgebras de división real: [math] \ mathbb {R} [/ math], [math] \ mathbb {C} [/ math] y [matemáticas] \ mathbb {H} [/ matemáticas]. Si fuera algebraista, tal vez podría dar una buena idea intuitiva de por qué debería ser así. Lamentablemente no lo soy. Dicho esto, si encuentras este tipo de cosas interesantes, deberías investigar un poco más para obtener más información, y espero que lo que he aludido aquí sea de alguna utilidad.