¿Cómo se calcula el valor de [math] \ pi [/ math]?

Answer 1

Aquí hay un experimento divertido que puede hacer en casa para aproximar pi, suponiendo que tenga un piso de madera, como este:

Aquí se explica cómo hacerlo:

Obtenga una aguja cuya longitud sea menor que el ancho de una tabla de piso, luego suéltela aleatoriamente en el piso. Si la aguja se detiene tocando una costura longitudinal en el piso, llámela un éxito. De lo contrario, llámalo un fracaso.

Eso es.

Entonces, ¿cómo se obtiene pi de eso ? Bueno, si haces el experimento suficientes veces (y tienes más de cero éxitos, ¡no queremos una división por cero!), Encontrarás que pi es aproximadamente igual a:

[matemáticas] \ dfrac {2 \ times (\ text {longitud de la aguja}) \ times (\ text {número de intentos})} {(\ text {ancho de las tablas del piso}) \ times (\ text {número de éxitos} )}[/matemáticas]

La razón por la que esto funciona es porque la probabilidad de que la aguja toque una costura del piso depende del ángulo agudo que la aguja forma con ella. Y dado que la probabilidad de ese ángulo se distribuye uniformemente entre 0 y [matemática] \ pi / 2 [/ matemática] radianes, obtenemos una función de densidad de probabilidad que incluye [matemática] \ pi [/ matemática] en el denominador.

Wikipedia da la justificación completa aquí. Solo daré el resultado.

La probabilidad de que la aguja toque una costura viene dada por:

[matemáticas] P = \ displaystyle \ int_ {0} ^ {\ pi / 2} \ displaystyle \ int_ {0} ^ {(l / 2) sin \ theta} \ dfrac {4} {t \ pi} dx d \ theta = \ dfrac {2l} {t \ pi} [/ math]

donde [matemática] l [/ matemática] es la longitud de la aguja y [matemática] t [/ matemática] es el ancho del piso.

Por la ley de los grandes números, sabemos que el número de éxitos dividido por el número de ensayos debería converger a nuestra probabilidad [matemática] P [/ matemática]. Entonces, con la aplicación de un poco de álgebra, podemos resolver [math] \ pi [/ math] en términos de [math] P [/ math] y llegar a la solución dada anteriormente.

Oh, casi lo olvido. No olvides recoger las agujas cuando hayas terminado. No queremos que un individuo desventurado y descalzo obtenga un desagradable sorpresa , es decir, sorpresa , mientras deambula por su sala de estar.

Answer 2

La respuesta corta: calculamos los dígitos de pi mediante el uso de fórmulas que han demostrado aproximar los dígitos de pi. Estas fórmulas no se aproximan a pi en el sentido de que 22/7 se aproxima a pi. Más bien, estas fórmulas son fórmulas iterativas que dan aproximaciones cada vez más cercanas a pi con cada iteración. Entonces, si pudiera calcular las iteraciones infinitas con una de estas fórmulas, habría calculado pi perfectamente.

¿Cuál fue el primer método utilizado para aproximar pi?
El primer método conocido de aproximación de pi fue un método geométrico proporcionado por Arquímedes en el siglo III a. C. Arquímedes notó que a medida que aumenta el número de lados, los polígonos regulares se vuelven más y más como círculos: un círculo, como puede notar, en realidad es solo un polígono regular con lados infinitos. Entonces dibujó polígonos que inscribieron el círculo y polígonos que circunscribieron un círculo, y notó que el área del círculo debe estar en algún lugar entre el área del polígono circunscrito y el área del polígono inscrito. Mientras calculaba las áreas de polígonos con lados cada vez más grandes, encontró aproximaciones cada vez mejores para pi. Finalmente se detuvo después de calcular el área de dos 96 gons que circunscribieron e inscribieron un círculo, respectivamente. Concluyó de esto que pi cayó entre 223/71 (el área de la forma de inscripción) y 22/7 (el área de la forma de circunscripción). Otros matemáticos utilizaron este método para desarrollar aproximaciones ligeramente mejores.

¿Qué otras aproximaciones geométricas hay además de las de Arquímedes?
El problema de la aguja de Buffon es una forma particularmente interesante de aproximar pi porque se basa en la aleatoriedad. El problema es el siguiente: si un segmento de línea de longitud [matemática] l [/ matemática] se coloca aleatoriamente, con orientación aleatoria, en un plano marcado con líneas paralelas [matemática] w [/ matemática] unidades separadas entre sí, qué Cuál es la probabilidad de que el segmento de línea se cruce con una de las líneas paralelas? Resulta que la probabilidad es simplemente:
[matemáticas] P = \ frac {2l} {\ pi w} [/ matemáticas]

Tenga en cuenta [math] \ pi [/ math] en el denominador. Entonces, si puede calcular (o estimar) [matemática] P, l [/ matemática] y [matemática] w [/ matemática], puede calcular pi. ¡Entonces puede aproximar pi haciendo un experimento para estimar la probabilidad [matemática] P [/ matemática]! Si suelta un objeto con longitud [matemática] l [/ matemática] y ancho insignificante [matemática] n [/ matemática] veces en un piso con líneas paralelas [matemática] w [/ matemática] unidades separadas, e intersecta al menos una de estas líneas [matemáticas] x [/ matemáticas] veces, puede aproximar pi utilizando la siguiente fórmula, que puede derivarse fácilmente de la fórmula original:
[matemáticas] \ pi \ aprox \ frac {2nl} {wx} [/ matemáticas]

También puede calcular (lentamente) una aproximación de pi contando los puntos de la red dentro de un círculo. Si dibuja un círculo [math] r [/ math] unidades de ancho en una cuadrícula y cuenta el número de puntos de la red [math] n [/ math] dentro del círculo, el número de puntos de la red proporciona una subestimación del área del circulo. Por lo tanto, puede calcular una estimación para pi con la siguiente fórmula, fácilmente derivable de la fórmula para el área de un círculo:
[matemáticas] \ pi \ aprox \ frac {n} {r ^ {2}} [/ matemáticas]

Pero estos métodos no son prácticos para calcular realmente los dígitos de pi. En el mejor de los casos, sin una computadora, estos métodos darán 2 o 3 dígitos de pi. Para calcular los dígitos de pi fácilmente, debe buscar métodos algebraicos.

¿Qué fórmulas iterativas se pueden expresar algebraicamente que se aproximan a pi?
Los matemáticos también han desarrollado fórmulas algebraicas que han demostrado aproximarse a pi. Estas fórmulas son menos intuitivas que las dadas por aproximaciones geométricas, pero se pueden usar de manera mucho más eficiente para calcular dígitos de pi. Aquí están algunos de mis favoritos:

La fórmula de Gregory y Leibniz. Es probablemente la aproximación pi más simple de expresar.
[matemáticas] \ pi = 4 \ sum_ {k = 1} ^ {\ infty} \ frac {(- 1) ^ {k + 1}} {2k-1} [/ matemáticas]

La serie Madhava-Leibniz:
[matemáticas] \ pi = \ sqrt {12} \ sum ^ \ infty_ {k = 0} \ frac {(- 3) ^ {- k}} {2k + 1} [/ matemáticas]

La famosa fórmula de Ramanujan. Mentiría si te dijera que entiendes cómo o por qué funciona. Es particularmente impresionante porque se acerca rápidamente a pi; es decir, cada iteración sucesiva da ocho (!) dígitos más de pi. En contraste, las fórmulas anteriores dan menos de un dígito de pi por iteración. Aquí está, en todo es gloria.
[matemáticas] \ frac {1} {\ pi} = \ frac {2 \ sqrt {2}} {9801} \ sum ^ \ infty_ {k = 0} \ frac {(4k)! (1103 + 26390k)} { (k!) ^ 4 396 ^ {4k}} [/ matemáticas]

Debido a lo rápido que se acerca a pi, los poseedores del récord mundial actual para calcular la mayor cantidad de dígitos de pi usaron una variante de la fórmula de Ramanujan.

***

Wikipedia y WolframAlpha tienen excelentes páginas sobre aproximaciones de pi. Te animo a explorarlos: existen innumerables métodos ingeniosos y fórmulas increíbles que se aproximan a pi. ¡Buena suerte!

Answer 3

Cómo calcular Pi

Cinco métodos:

1. Calcule Pi usando las medidas de un círculo
2. Calcule Pi usando una serie infinita
3. Calcule Pi usando el problema de la aguja de Buffon
4. Calcule Pi usando un límite
5. Función Arcsine / Función seno inversa

Pi (π) es uno de los números más importantes y fascinantes de las matemáticas. Aproximadamente 3.14, es una constante que se usa para calcular la circunferencia de un círculo a partir del radio o diámetro de ese círculo. También es un número irracional, lo que significa que se puede calcular a un número infinito de decimales sin caer en un patrón repetitivo. Esto hace que sea difícil, pero no imposible, calcular con precisión.

Calcule Pi usando las medidas de un círculo

Método 1 [1]

1. Asegúrate de estar usando un círculo perfecto. Este método no funcionará con elipses, óvalos o cualquier cosa que no sea un círculo real. Un círculo se define como todos los puntos en un plano que están a la misma distancia de un único punto central. Las tapas de los frascos son buenos objetos domésticos para usar en este ejercicio. Debería poder calcular pi aproximadamente porque para obtener resultados exactos de pi, necesitará tener un cable muy delgado (o lo que sea que esté usando). Incluso el lápiz de grafito más afilado podría ser enorme para tener resultados exactos.
2. 2 Mida la circunferencia de un círculo con la mayor precisión posible. La circunferencia es la longitud que rodea todo el borde del círculo. Dado que la circunferencia es redonda, puede ser difícil de medir (es por eso que pi es tan importante). Coloque una cuerda sobre el círculo lo más cerca posible. Marque la cuerda donde da vueltas y luego mida la longitud de la cuerda con una regla.
3. 3 Mide el diámetro del círculo. El diámetro va de un lado del círculo al otro a través del punto central del círculo.
4. 4 Usa la fórmula. La circunferencia de un círculo se encuentra con la fórmula C = π * d = 2 * π * r . Por lo tanto, pi es igual a la circunferencia de un círculo dividido por su diámetro. Inserte sus números en una calculadora: el resultado debería ser aproximadamente 3.14. [1]
5. 5 Para obtener resultados más precisos, repita este proceso con varios círculos diferentes y luego promedie los resultados. Es posible que sus mediciones no sean perfectas en un círculo dado, pero con el tiempo deberían promediar un cálculo bastante preciso de pi.

Método 2

Calcule Pi usando una serie infinita

1. 1 Use la serie Gregory-Leibniz. Los matemáticos han encontrado varias series matemáticas diferentes que, si se llevan a cabo infinitamente, calcularán con precisión pi a un gran número de decimales. Algunos de estos son tan complejos que requieren supercomputadoras para procesarlos. Una de las más simples, sin embargo, es la serie Gregory-Leibniz. Aunque no es muy eficiente, se acercará cada vez más a pi con cada iteración, produciendo con precisión pi a cinco decimales con 500,000 iteraciones. [2] Aquí está la fórmula para aplicar. π = (4/1) – (4/3) + (4/5) – (4/7) + (4/9) – (4/11) + (4/13) – (4/15)… Toma 4 y resta 4 dividido por 3. Luego suma 4 dividido por 5. Luego resta 4 dividido por 7. Continúa alternando entre sumar y restar fracciones con un numerador de 4 y un denominador de cada número impar subsiguiente. Cuantas más veces hagas esto, más cerca estarás de pi.
2. 2 Prueba la serie Nilakantha. Esta es otra serie infinita para calcular pi que es bastante fácil de entender. Si bien es algo más complicado, converge en pi mucho más rápido que la fórmula de Leibniz. π = 3 + 4 / (2 * 3 * 4) – 4 / (4 * 5 * 6) + 4 / (6 * 7 * 8) – 4 / (8 * 9 * 10) + 4 / (10 * 11 * 12) – 4 / (12 * 13 * 14) … Para esta fórmula, toma tres y comienza a alternar entre sumar y restar fracciones con numeradores de 4 y denominadores que son el producto de tres enteros consecutivos que aumentan con cada nueva iteración. Cada fracción posterior comienza su conjunto de enteros con el más alto utilizado en la fracción anterior. Realice esto incluso algunas veces y los resultados se acercan bastante a pi.

Método 3

Calcule Pi usando el problema de la aguja de Buffon

1. 1 Pruebe este experimento para calcular pi lanzando perritos calientes. Resulta que Pi también tiene un lugar en un interesante experimento mental llamado Problema de la aguja de Buffon, que busca determinar la probabilidad de que objetos alargados uniformes arrojados al azar caigan entre o cruzando una serie de líneas paralelas en el piso. Resulta que si la distancia entre las líneas es la misma que la longitud de los objetos lanzados, la cantidad de veces que los objetos caen a través de las líneas de una gran cantidad de lanzamientos se puede usar para calcular pi. Consulte el enlace del artículo de WikiHow anterior para obtener un desglose divertido de este experimento usando comida arrojada. Los científicos y matemáticos no han descubierto una manera de calcular exactamente pi, ya que no han podido encontrar un material tan delgado que funcione para encontrarlo. cálculos exactos. [3]

Método 4

Calcule Pi usando un límite

1. 1 En primer lugar, elige un número grande. Cuanto mayor sea el número, más preciso será su cálculo.
2. 2 Luego, ingrese su número, que llamaremos x, en esta fórmula para calcular pi: x * sin (180 / x) . Para que esto funcione, asegúrese de que su calculadora esté configurada en Grados. La razón por la que esto se llama Límite es porque el resultado está ‘limitado’ a pi. A medida que aumenta su número x, el resultado se acercará cada vez más al valor de pi.

Método 5

Función Arcsine / Función seno inversa

1. 1 Elija cualquier número entre -1 y 1. Esto se debe a que la función Arcsin no está definida para argumentos mayores que 1 o menores que -1.
2. 2 Inserte su número en la siguiente fórmula, y el resultado será aproximadamente igual a pi. pi = 2 * (Arcsin (sqrt (1 – x ^ 2)) + abs (Arcsin (x))). Arcsin se refiere al seno inverso en radianesSqrt es la abreviatura de raíz cuadradaAbs es la abreviatura de valor absoluto x ^ 2 se refiere a un exponente, en este caso, x al cuadrado.

Notas al pie

[1] Cómo calcular Pi

Answer 4

Algoritmos de espiga:

Un algoritmo de espiga es un tipo particular de algoritmo utilizado para calcular el valor de una constante matemática como π o e , que puede generar una secuencia de dígitos de salida sin necesidad de reutilizarlos.

Para el número [math] \ pi [/ math], use las fórmulas de Bailey – Borwein – Plouffe.

Descargo de responsabilidad: no reclamo una gran experiencia en este tema.
Si conoce un mejor enfoque, mencione en los comentarios.

Answer 5

Durante mucho tiempo, la serie utilizada para encontrar el valor de Pi fue dada por la serie Leibniz Gregory.

π = (4/1) – (4/3) + (4/5) – (4/7) + (4/9) – (4/11) + (4/13) – (4/15)…

Pero para dar el valor de Pi correctamente hasta 5 decimales, esta serie requirió alrededor de 500000 términos.

Ahora, en la tradición india, Nilakantha, un matemático de la Escuela de Matemáticas de Kerala, dio otra fórmula que vivió un par de siglos antes de Leibniz y la serie convergió muy rápidamente.

π = 3 + 4 / (2 * 3 * 4) – 4 / (4 * 5 * 6) + 4 / (6 * 7 * 8) – 4 / (8 * 9 * 10) + 4 / (10 * 11 * 12) – 4 / (12 * 13 * 14)…

Y para dar el valor de Pi hasta 5 decimales, esta serie requiere solo 6 términos. Y eso es una gran cosa, pero que no logró llamar la atención de los occidentales hasta el siglo XIX.

Ahora, tenga en cuenta todo esto y lo que hizo Ramanujan. Ramanujan simplemente escribió una serie infinita, luciendo tan horrible, que sería igual al recíproco de Pi.

Y esta es la serie de convergencia más rápida jamás dada por el valor de Pi y el algoritmo basado en esto se ha utilizado en las computadoras.

Ahora el factor más bello. Para tener el valor de Pi hasta 6 decimales, la serie infinita de Ramanujan solo necesitaba UN SOLO TÉRMINO.

Y tomas el segundo término y de repente tienes el valor de Pi hasta 11 términos en tus manos.

¡Creo que habla algo genial, y Ramanujan fue realmente genial!

De todos modos, si necesita el valor de pi en números, creo que sería como

3.1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510
5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679
8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128
4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196
4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091
4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273
7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436
7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094
3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548
0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912
9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798
6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132
0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872
1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235
4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960
5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859
5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881
7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303
5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778
1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989 ………………………… ..

Answer 6

Básicamente [math] \ pi [/ math] se puede calcular a partir de las siguientes fórmulas:

[math] \ pi = \ lim_ {n \ to \ infty} nsin (180 / n) [/ math] donde el argumento para firmar debe interpretarse en grados y no en radianes.

Cuanto mayor sea el valor de n, más tiende el valor hacia [math] \ pi [/ math].
Se puede observar fácilmente que para n = 6 el valor de [math] \ pi [/ math] resulta ser 3, bastante cercano para un número pequeño.

Prueba:

---

Considere un polígono regular de n lados con vértices [matemáticas] A_1, A_2 … A_n [/ matemáticas] y cada lado de longitud L. Deje que el circuncentro sea O.

Únete a las líneas [matemáticas] OA_1, OA_2 … OA_n [/ matemáticas].

También dibuje una bisectriz de ángulo de [matemáticas] \ ángulo A_1OA_2 [/ matemáticas] para encontrar [matemáticas] A_1A_2 [/ matemáticas] en M, que sería perpendicular a él y se encontraría en el punto medio desde [matemáticas] OA_1 = OA_2 [/ matemáticas].

Ahora en [matemáticas] \ triángulo A_1OM [/ matemáticas] [matemáticas] \ ángulo A_1OM [/ matemáticas] = 1/2 [matemáticas] \ ángulo A_1OA_2 [/ matemáticas] = 1/2 * (360 / n) = 180 / n …………………… (1)

Esto se debe a que el ángulo completo se divide en n partes iguales por los segmentos de línea [matemática] OA_i [/ ​​matemática].

También,
sin ([matemáticas] \ ángulo A_1OM [/ matemáticas]) = [matemáticas] \ frac {A_1M} {OA_1} [/ matemáticas]

De 1, tenemos

sin (180 / n) = [matemáticas] \ frac {A_1M} {OA_1} [/ matemáticas]

Ahora [matemáticas] A_1M = 1 / 2A_1A_2 = L / 2 [/ matemáticas] y deje que [matemáticas] OA_1 [/ matemáticas] = R

Entonces nosotros tenemos:

sin (180 / n) = L / 2R

Multiplicamos ambos lados por n obtenemos

nsin (180 / n) = nL / 2R

Ahora nL es el perímetro P del polígono, por lo tanto:

nsin (180 / n) = P / 2R

Ahora, si n es infinitamente grande, el polígono tiende a convertirse en un círculo y la P se convierte en la circunferencia. Por definición [math] \ pi [/ math] es la relación de circunferencia a diámetro, es decir, dos veces el radio. Entonces de este argumento tenemos

[matemática] \ lim_ {n \ to \ infty} nsin (180 / n) [/ matemática] = C / 2R = [matemática] \ pi [/ matemática]

Answer 7

Una buena aproximación fraccional es 355/113.
Mi profesor de matemáticas solía llamar a esto una pi de “isla desierta”. Una buena forma de recordar es escribir 1, 1, 3, 3, 5, 5 y agregar una barra diagonal inversa en el medio, por lo tanto: 113 \ 355.

Por supuesto, puede recordar 3.14159265 y estar bien.

Y para aquellos que reiteran el hecho básico de que pi es la razón de la circunferencia de un círculo a su diámetro, eso no agrega nada útil (a menos que sea un genio matemático y pueda encontrar una manera de calcular Pi solo a partir de ese hecho). Dado que esa relación es irracional, la circunferencia o el diámetro (¿o quizás ambos?) También serán irracionales. (Si ambos fueran racionales, Pi sería racional, lo cual no lo es, por lo que al menos uno debe ser irracional). Y dado que “irracional” significa no consistir en un número entero de unidades de cualquier tamaño posible (es decir, no expresable en un número entero de unidades, no importa cuán pequeña pueda ser esa unidad), es imposible medir con precisión un número irracional . Por lo tanto, sería imposible medir la C o D de un círculo dado y, por lo tanto, imposible calcular / extrapolar pi al intentar primero medir esas dimensiones.

En pocas palabras, pi es una noción completamente abstracta porque no se puede medir, mientras que un número racional es menos abstracto porque se puede medir, siempre se puede representar mediante una cierta combinación de unidades.

Pi solo se puede calcular o descubrir; no se puede “medir” con precisión (siempre que la unidad de medida no sea pi en sí).

-Matemáticas es el estudio de la unidad, es el estudio del número uno y todas sus implicaciones.

Editar: Pido disculpas porque esta no es una respuesta directa a la pregunta que se encuentra actualmente. Fue movido por QUORA y no tengo las calificaciones para abordar esta pregunta de frente.

Answer 8

Respondí cómo se puede abordar la computación pi en esta respuesta: la respuesta del usuario de Quora a ¿Cómo se desarrollan los algoritmos de cálculo pi?

Para calcular miles de millones de dígitos, se utiliza una implementación inteligente y eficiente del algoritmo de Chudnovsky con división binaria. Por lo general, se verifica con la fórmula de Ramanujan o, con una confianza alta pero imperfecta, un algoritmo de extracción de dígitos como BBP o Bellard.

Los algoritmos aritmético-geométricos medios han caído en desgracia debido a sus requisitos de memoria extremadamente altos y debido a la falta de localidad.

Answer 9

Aproximación numérica de π:

Como los puntos se dispersan aleatoriamente dentro del cuadrado de la unidad, algunos caen dentro del círculo de la unidad. La fracción de puntos dentro del círculo se aproxima a π / 4 a medida que se agregan puntos. π / 4 = m / n, aquí, m es el número de puntos que satisfacen & n es el número de puntos de tamaño de muestra

Método de Monte Carlo aplicado para aproximar el valor de π. Después de colocar 30000 puntos aleatorios, la estimación para π está dentro del 0.07% del valor real.

Para más consulta vaya a este enlace:

Cálculo de Pi utilizando el método de Monte Carlo

Cálculo de Pi con el método de Monte Carlo

Answer 10

Me gusta esta pregunta porque conecta dos áreas que amo: matemáticas y computadoras. El algoritmo más rápido actual para calcular la constante es el algoritmo de Chudnovsky. La fórmula es sorprendente en muchos sentidos. Sea [matemáticas] a = 13 591 409, b = 545 140 134, c = 649320. [/ Matemáticas] Entonces

[matemáticas] \ frac {1} {\ pi} = 12 \ sum_ {k = 0} ^ \ infty \ frac {(- 1) ^ k (6k)! (a + bk)} {(3k)! (k !) ^ 3 c ^ {3k + 3/2}}. [/matemáticas]

A partir del 21 de febrero de 2014, un grupo privado encontró 12 billones de dígitos utilizando este algoritmo.

Vea su sitio web: Pi – 10 billones de dígitos y una discusión ¿Cómo determinar si mi cálculo de pi es exacto?

Answer 11

En el Diagrama tenemos un círculo de circunferencia 2 [Pi] r, e inscrito en él un polígono de n lados ahora si es un polígono de n lados que podemos calcular.

θ en función de n => (2 ∗ θ) ∗ n = 360Degree

θ = 360 / 2n

Ahora tendremos que calcular S, que será

S = rsin (360 / 2n)

Básicamente estoy calculando Pi por circunferencia / diámetro, por lo que tendré que calcular la circunferencia real / aproximada para un radio dado, desde el diagrama, un lado del polígono es de longitud

2 ∗ S

cual es

L = 2 ∗ (rsin (3602n))

si este polígono tuviera 900 lados, el valor de

n ∗ L

estará cerca de la circunferencia real, y si n fuera Infinito, entonces el valor sería igual a la circunferencia, pero no tenemos que poner n = infinito para derivar pi con una precisión razonable.

ahora circunferencia = n ∗ 2 ∗ (rsin (360 / 2n))

dividiendo esto por Diámetro = 2 * r

π = (n ∗ 2 ∗ (rsin (360 / 2n))) / 2 ∗ r

π = n ∗ (sin (360 / 2n))

manteniendo n = 1000

obtendrá el valor de pi = 3.14158748587

Answer 12

¿Una pregunta del gran Tom Robinson? ¡Guauu!

---

Las computadoras hoy en día se usan para calcular dígitos de [math] \ pi [/ math]. Hay muchas fórmulas, pero la más conocida es el algoritmo de Chudnovsky.

[matemáticas] \ displaystyle \ frac 1 {\ pi} = 12 \ sum \ limites_ {k \ geq0} (- 1) ^ k \ frac {(6k)!} {(3k)! k! ^ 3} \ frac { 545140134k + 13591409} {\ left (640320 ^ 3 \ right) ^ {k + 1/2}} \ tag * {} [/ math]

Esto se utilizó para calcular los primeros 2,7 billones de dígitos de [math] \ pi [/ math], que era un registro en ese momento, y tomó un total de 131 días.

Answer 13

El número [math] \ pi [/ math] se define de muchas maneras diferentes. Una de estas formas es que es el primer número real positivo [matemática] x [/ matemática] tal que [matemática] \ sen x = 0 [/ matemática]. Multiplicado por [matemática] 2i [/ matemática], donde [matemática] i [/ matemática] se define de manera tal que [matemática] i ^ 2 = -1 [/ matemática], [matemática] \ pi [/ matemática] es el número eso hace que [math] 2 \ pi i [/ math] sea el período de la función exponencial. Podría seguir…

El número se calcula de innumerables maneras diferentes también. Por ejemplo, a través de la expansión de la serie Taylor sobre [matemáticas] 0 [/ matemáticas] de [matemáticas] \ tan ^ {- 1} x [/ matemáticas] evaluado en [matemáticas] x = 1 [/ matemáticas]; cuatro veces ese resultado da [matemática] \ pi [/ matemática], porque [matemática] \ tan \ frac {\ pi} {4} = 1 [/ matemática], entonces [matemática] 4 \ tan ^ {- 1} 1 = \ pi [/ matemáticas]. Otra forma es sacar la raíz cuadrada de seis veces la suma de los recíprocos de los cuadrados de todos los enteros positivos (obviamente, calcularía una suma finita y obtendría el resultado con cierta precisión finita, pero esto también converge). A Ramanujan se le ocurrió una serie maravillosamente abstrusa que converge a [math] \ pi [/ math] con bastante rapidez, aunque ahora tenemos mejores métodos. Hay métodos que pueden proporcionarle [matemática] n [/ matemática] -th dígito hexadecimal de [matemática] \ pi [/ matemática] sin calcular todos los dígitos anteriores. Vea aquí una lista de muchas fórmulas: Fórmulas Pi.

También hay una interpretación geométrica de [matemáticas] \ pi [/ matemáticas], que probablemente haya escuchado: en un espacio euclidiano, [matemáticas] \ pi [/ matemáticas] es la relación de la circunferencia de un círculo a su diámetro (aunque ¡Esto no significa que [math] \ pi [/ math] sea racional! Significa, porque [math] \ pi [/ math] es irracional, que si una de esas cantidades es racional, la otra no lo es, y eso no significa que si uno no es racional, ¡el otro sí lo es!). También es el número por el cual debes multiplicar el cuadrado en el radio de un círculo para encontrar el área del círculo.

Finalmente, también hay algunas formas bastante divertidas de estimar [math] \ pi [/ math]. Por ejemplo: la aguja de Buffon.

Answer 14

La fórmula más simple que también converge bastante rápido, aunque no tan rápido como algunos de los otros ejemplos dados aquí por otros, es probablemente:

[matemáticas] \ pi = 16 \ arctan \ frac {1} {5} -4 \ arctan \ frac {1} {239} [/ matemáticas]

Para cualquier positivo [matemáticas] x [/ matemáticas] con [matemáticas] x \ le 1 [/ matemáticas]:

[matemáticas] \ arctan (x) = x- \ frac {x ^ 3} {3} + \ frac {x ^ 5} {5} – \ frac {x ^ 7} {7} + \ cdots [/ math]

La siguiente fórmula es probablemente la más simple:

[matemáticas] \ frac {\ pi} {4} = 1- \ frac {1} {3} + \ frac {1} {5} – \ frac {1} {7} + \ cdots [/ math]

No converge muy rápido, pero al tomar repetidamente los medios de sumas parciales consecutivas se puede hacer que converja mucho más rápido.

Answer 15

Sé que los quoranes publicarán casi todas las buenas respuestas posibles a su pregunta, ¿me dejarán publicar otra cosa? 🙂

¿Por qué todos están tan obsesionados con solo pi?

Mira este video:

Wau: el número más asombroso, antiguo y singular – YouTube

Creo que lo encontrarás increíble.

Salud.

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Lea esto: el número en ese video es básicamente igual a 1.

Revisalo.

Wau: ¿El número más asombroso del mundo?

😛 😛 😛

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PD: Si crees que no ayudé en absoluto, aquí va:

¿Cómo podemos calcular el valor de pi hasta n decimales?

Encontrarás muchos cálculos interesantes aquí. 🙂

Answer 16

Echa un vistazo aquí: página en wolfram.com

Le encantará esto: del artículo anterior
Spigot (Rabinowitz y Wagon 1995; Arndt y Haenel 2001; Borwein y Bailey 2003, pp. 140-141) y los algoritmos de extracción de base 16 dígitos (la fórmula BBP) son conocidos por . Una fórmula recursiva notable conjeturada para dar el el dígito hexadecimal de es dado por , dónde es la función de piso,
(3)
es la parte fraccionaria y (Borwein y Bailey 2003, Ch. 4; Bailey et al. 2007, pp. 22-23).
Pi-primos, es decir, -los números primos constantes ocurren en 2, 6, 38, 16208, 47577, 78073,… (A060421 de Sloane) dígitos decimales.

Answer 17

Según aryabhatt, la relación de circunferencia de un círculo y su diámetro siempre es constante. Esta constante más tarde recibió el nombre de pastel (π). Sorprendido de no mencionar la respuesta más simple posible.

Answer 18

Esta función le proporciona 4 dígitos decimales por iteración:
(cambie NUM_DIGITS como desee)

#define NUM_DIGITS 1000 * 4
#define SCALE 10000
#define ARRINIT 2000

void pi_digits ()
{
int carry = 0;

largo arr [NUM_DIGITS + 1];

para (int i = 0; i <= NUM_DIGITS; ++ i)
arr [i] = ARRINITAR;

para (int i = NUM_DIGITS; i> 0; i- = 14) {
suma larga = 0;
para (int j = i; j> 0; –j) {
suma = suma * j + ESCALA * arr [j];
arr [j] = suma% (j * 2 – 1);
suma / = j * 2 – 1;
}
printf (“% 04d”, carry + sum / SCALE);
carry = sum% SCALE;
}
volver pi;
}

Answer 19

Gracias por el A2A. La respuesta es … pi.

Las otras respuestas aquí son engañosas. Pi es irracional, por lo que, en forma decimal, tiene infinitos dígitos. No es posible, incluso en principio, conocer todos los dígitos en pi. Cada expansión decimal es una aproximación. Aquí hay una historia de eso, sin embargo:
Aproximaciones de π