¿Cuántos números naturales existen que, divididos por cualquier número natural menor que él mismo, dan un número entero o un decimal final?

Answer 1

Un número [matemático] m [/ matemático] para el cual [matemático] 1 / m [/ matemático] es un decimal final es uno cuyos únicos divisores primos son [matemático] 2 [/ matemático] y [matemático] 5 [/ matemático] . Además, si [math] 1 / m [/ math] termina, entonces [math] k / m [/ math] para cualquier [math] k \ lt m [/ math].

Entonces, la pregunta es, ¿cuántos números [matemática] m [/ matemática] solo tienen [matemática] 2 [/ matemática] y [matemática] 5 [/ matemática] como divisores primos?

Hay infinitos de ellos. Todos tienen la forma [matemática] m = 2 ^ i5 ^ j [/ matemática] donde [matemática] i [/ matemática] y [matemática] j [/ matemática] son ​​enteros no negativos.

Los primeros son 1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 25.

Consulte A003592 – OEIS para obtener más información sobre ellos.

Aparentemente estos se llaman Números Regulares, pero nunca escuché a nadie llamarlos así.

Answer 2

Para asegurarnos de que al dividir obtenemos un decimal final, deberíamos asegurarnos de que el denominador de la fracción tenga 2 o 5 o ambos como factores primos. Si hay factores primos distintos de 2 o 5, entonces el decimal no terminará (al dividir). Pero esta propiedad solo se aplica cuando la fracción está en su forma más simple.

Ejemplo-:

2 / 10- En este caso 10 tiene 2 y 5 como sus factores primos, por lo tanto, obtendremos un decimal final (al dividir).

10 / 35- En este caso, antes que nada, cambiaremos esta fracción a su forma más simple, que será 5/7. Así que ahora el denominador es 7, que no tiene 5 o 2 como factores primos, por lo tanto, no obtendremos un decimal final (al dividir).