¿Por qué los números primos ocurren tan al azar a pesar de que están definidos por un enfoque algorítmico?

Answer 1

Para ser completamente honesto, como alguien que trabaja en teoría de números, creo que puedo decir que aún no tenemos una buena respuesta a esta pregunta. Si lo hiciéramos, el campo sería mucho más simple de lo que es ahora.

¿Qué significa incluso decir que los números primos se comportan “como si fueran al azar”? Ciertamente no son al azar: su posición es muy fija y está definida por un algoritmo muy claro. Sin embargo, hay algo en este enfoque. Una forma común de escribir una conjetura que involucra números primos es, primero, descubrir las “obstrucciones locales”. Es decir, descarta todas las cosas obvias que no pueden suceder; por ejemplo, no puede tener dos números primos separados por 1 (excepto por 2 y 3, por supuesto). No puede tener tres números primos impares consecutivos (excepto 3, 5 y 7). Básicamente, te aseguras de que en ningún lugar las preocupaciones básicas de divisibilidad estropeen tu conjetura.

Luego, después de haber tenido en cuenta las obstrucciones locales, asume que los números primos se distribuyen aleatoriamente (sabiendo, desde el teorema del número primo, aproximadamente cuántos hay hasta un número dado N). Aquí es de donde proviene la conjetura del primo gemelo, por ejemplo. Y esto parece funcionar (en la medida en que podemos analizarlo a través del cálculo puro), y es algo sorprendente que lo haga.

Sin embargo, nadie ha demostrado ser un buen modelo de esta heurística. Peor aún, ni siquiera estamos seguros de cuál debería ser la conjetura subyacente a este comportamiento aleatorio, una vez más, porque sabemos que los números primos no son aleatorios … pero se comportan como si lo fueran.

La mejor respuesta que puedo dar es que, cuando estamos aplicando estas heurísticas, lo que estamos haciendo esencialmente es tomar en cuenta todo el orden que define los números primos (su no divisibilidad), y luego asumir que lo que es “sobrante” es aleatorio. Entonces, tal vez no sea completamente loco.

Answer 2

Creo que “aleatorio” es probablemente engañoso. No es aleatorio en absoluto, es demasiado complejo para nosotros para encajar en una fórmula ingeniosa.

Comencemos con 2 (el primer número primo) y tracemos todos los múltiplos de 2, que no serán primos:
Eso no es al azar, ¡es bastante sencillo! Se repite cada 2 números.

Ok, el siguiente número sin completar es 3, así que pasemos a múltiplos de 3: el siguiente número primo:
Eso tampoco es muy aleatorio. Muy predecible Ahora, superponemos estos mapas juntos:
Huh Sigue siendo bastante predecible. Ahora solo se repite cada 6 números.

El siguiente que no está lleno es 5 (el próximo primo), así que ahora verificaremos múltiplos de 5:
Eso también es normal. Y ahora superponemos ESE patrón predecible (que se repite cada 5) en nuestra superposición anterior (que se repite cada 6), y obtenemos:
Eso también es predecible, pero este gráfico lo hace complicado, porque se repite cada 30 números (pero sí, todavía se repite).

¡Seguimos superponiendo patrones predecibles además de patrones predecibles! Entonces, ¿no debería ser predecible el resultado? Bueno … algo así. Pero cuando sumamos 7, se repite cada 210 números, y cuando sumamos 11 se repite cada 2,310 números, y luego 13 nos da un patrón repetitivo cada 30,030. ¡Ay! ¡Acabamos de comenzar y el patrón ya es enorme!

Resulta que cada iteración hace que el resultado sea cada vez más complejo, y la única forma que tenemos de calcular los números primos es seguir agregando más y más iteraciones, hasta que sea TAN complejo que sea muy difícil de calcular. Simplemente no hay atajos conocidos. No sabemos cómo agregar todas las superposiciones en un solo paso, y es difícil incluso predecir cosas sobre números primos sucesivos una vez que llegamos a los muy altos.

Esta es básicamente la teoría del Caos, sistemas iterativos que parecen bastante sencillos a nivel individual, pero cuando se aplican repetidamente, crean resultados de aspecto irregular que parecen impredecibles.

Answer 3

Combinatoriamente, en lugar de al azar. Visto a través de la lente de la combinatoria, la organización de los números primos es bastante sorprendente. Esto es algo de lo que me di cuenta recientemente. Tome las permutaciones de un pequeño conjunto de factores primos *. Consideremos [math] 2 \ cdot3 \ cdot5 \ cdot7 = 210 [/ math]. Llame al producto de estos factores primos (generalmente llamados primarios ) un punto fijo . Alinee los números primos menores que 210 y restelos. Luego agrega esas diferencias a 210 y esto es lo que obtienes:

Solo faltan cuatro números primos en la fila inferior (y estos reaparecen en el siguiente conjunto, [math] 2 \ cdot3 \ cdot5 \ cdot7 \ cdot11 = 2,310). [/ Math]

* Me refiero a factores primos, específicamente el factor primo mínimo de cada compuesto menos que el punto fijo. Los primos solo pueden ocupar un número finito de ranuras , las que no son tomadas por las permutaciones de factores primos, que son fijas. Para el punto fijo más pequeño, es:

[matemáticas] 3, 2, p_ {1}, 2, p_ {2}, 2, 3 [/ matemáticas]

Este es el conjunto completo de permutaciones para [matemáticas] 2 [/ matemáticas] y [matemáticas] 3 [/ matemáticas]. Ahora imagine la superposición de estos [math] 2 \ cdot3 = 6 [/ math] sets en [math] 2 \ cdot3 \ cdot5 = 30 [/ math] sets, en [math] 2 \ cdot3 \ cdot5 \ cdot7 = 210 [ / math], en los [math] 2 \ cdot3 \ cdot5 \ cdot7 \ cdot11 = 2,310 [/ math] sets, y así sucesivamente. Los primos son subconjuntos de cada conjunto.

Para ser claros, un conjunto tiene cada permutación de sus factores primos, ya que pueden aparecer como factores primos mínimos , pero no todos los miembros del conjunto pueden ser producto de estos factores. Algunos miembros son primos. Considere las permutaciones de [matemáticas] 2 \ cdot3 \ cdot5 = 30 [/ matemáticas]. Este es un conjunto de permutaciones infinitamente recurrente.

Observe que una [matemática] p_ {1} [/ matemática] y una [matemática] p_ {2} [/ matemática] están ocupadas por [matemática] 5 [/ matemática] y todas las demás [matemática] p_ {1} [ / math] y [math] p_ {2} [/ math] s son, por eliminación, primos – en este conjunto, pero no en iteraciones posteriores.

Ahora, aquí podemos ver algo interesante alineando números en los puntos semi- fijos simétricos de espejo. (Así es, las permutaciones de conjuntos de punto fijo son simétricas en espejo alrededor de sus puntos medios). A continuación, los primeros 420 enteros (las primeras 10 filas omitidas por claridad) se han dividido en cuatro columnas. La primera, tercera, quinta y séptima columnas alternan orden descendente y ascendente. Las columnas segunda, cuarta, sexta y octava muestran el mínimo factor primo de cada entero. Si no hay uno, es primo. Los nuevos números primos están alineados uniformemente con la primera columna de números primos.

Aquí hay resultados completos para varios puntos fijos modestos:

2 * 3 * 5 * 7 = 210

2 * 3 * 5 * 7 * 11 = 2,310

2 * 3 * 5 * 7 * 11 * 13 = 30,030

2 * 3 * 5 * 7 * 11 * 13 * 17 = 510,510

2 * 3 * 5 * 7 * 11 * 13 * 17 * 19 = 9,699,690 (14 MB)

Answer 4

La opinión de abajo es mía. Estoy abierto a discusión, esp. por el carácter del reclamo.

El término aleatoriedad puede ser engañoso cuando se trata de la distribución de números primos. Para respaldar esta afirmación, una cita (profesor Gowers): “Los números primos han atormentado a los matemáticos desde los griegos, porque parecen estar distribuidos de manera aleatoria pero no completamente “ . Además, el profesor Ribenboim dijo: ” Esta combinación de ‘aleatoriedad’ y ‘previsibilidad’ produce al mismo tiempo una disposición ordenada y un elemento de sorpresa en la distribución de números primos “. De hecho, afirmar aleatoriedad es conjeturar una afirmación muy estricta . Si un conjunto de datos se distribuirá perfectamente al azar, entonces no puede existir ninguna relación entre los puntos del conjunto de datos. Cerremos el primer párrafo con las palabras de Vaughan: “Es evidente que los números primos se distribuyen aleatoriamente pero, desafortunadamente, no sabemos qué significa ‘aleatorio’ ”.

Utilizamos números para modelar la realidad percibida (nuestra imagen de la realidad, que podemos percibir con nuestros sentidos). Los enteros son solo una de las clases de números. Cada entero tiene su propia (y única) representación en números primos . Los números primos son bloques de construcción de enteros , es decir, los enteros no solo representan un valor, sino que contienen más información (que se puede mostrar de forma “geométrica”). Los enteros se parecen más a objetos “geométricos” que a los valores reales.

La distribución de los números primos escapa a nuestra comprensión, porque no podemos realizar una selección de modelo lo suficientemente buena , por ejemplo, no podemos ver los componentes básicos de los números primos. Puede ser el caso, porque pensamos en los números en términos de sus valores reales y no de lo que representan. Cada número entero (incl. Primos) lleva más información que solo su valor real. Por esta razón, debemos buscar bloques de construcción de primos . Esto se reduce a la selección del modelo .

En el pasado, las grandes mentes no tenían suficiente apoyo de las máquinas para manejar problemas tan profundos. No pudieron automatizar su resolución de problemas y comenzaron con rel. Modelos simples (ingenuos). Eso podría funcionar, pero, para los primos, no. Euler estaba entusiasmado con eso: “Los matemáticos han tratado en vano hasta el día de hoy de descubrir algún orden en la secuencia de números primos, y tenemos razones para creer que es un misterio en el que la mente nunca penetrará”. Tiendo a estar en desacuerdo. Euler agregó: ” Dado que los números primos son los componentes básicos del universo numérico del que se componen todos los demás números naturales, cada uno en su propia combinación única, la falta de orden percibida entre ellos parecía una discrepancia desconcertante en lo que de otra manera estaría rigurosamente organizado estructura del mundo matemático ” . Pero, creo que incluso si los primos son bloques de construcción, llevan mucha más información de lo que muchos piensan .

El siguiente gran paso fue usar la función Zeta (podría dar aquí una hermosa explicación de por qué). Ahora, la pregunta es si modelar números primos en números complejos será suficiente (¿falta de ajuste?). Sin embargo, este es el siguiente paso que tomamos.

Terminaré con un par de citas relacionadas con números primos. Solo para inspirar a algunos de ustedes.

Hardy, “La teoría de los números siempre ha sido considerada como una de las ramas más obviamente inútiles de las Matemáticas Puras. La acusación es una contra la cual no hay una defensa válida; y nunca es más que cuando se dirige contra las partes de la teoría que están más particularmente relacionados con los números primos. Se dice que una ciencia es útil si su desarrollo tiende a acentuar las desigualdades existentes en la distribución de la riqueza, o promueve más directamente la destrucción de la vida humana. La teoría de los números primos no satisface tales criterios. Los que lo persiguen, si son sabios, no intentarán justificar su interés en un tema tan trivial y tan remoto, y se consolarán con el pensamiento de que los mejores matemáticos de todas las edades lo han encontrado una misteriosa atracción imposible. resistir.”

Gauss , “Se sabe que el problema de distinguir números primos de números compuestos y de resolver estos últimos en sus factores primos es uno de los más importantes y útiles en aritmética. Ha involucrado a la industria y la sabiduría de los geómetras antiguos y modernos a tal en la medida en que sería superfluo discutir el problema en profundidad … Además, la dignidad de la ciencia misma parece requerir que se exploren todos los medios posibles para la solución de un problema tan elegante y tan celebrado “.

Bombieri, “Para mí, que la distribución de los números primos puede representarse con tanta precisión en un análisis armónico es absolutamente sorprendente e increíblemente hermosa. Habla de una música arcana y una armonía secreta compuesta por los números primos”.

Answer 5

Aunque algo aleatorio, varias conjeturas han demostrado que existe cierta similitud en el patrón obtenido de los números primos.

Uno de ellos es la espiral de Ulam.

Una espiral de 150 × 150 ulam. Las densas líneas azules muestran los números primos.

Fuente: en.Wikipedia.org/wiki/Ulam_spiral

Answer 6

Debido a que son los restos de un proceso iterativo infinito, al igual que el conjunto de Mandelbrot.
El conjunto de Mandelbrot se define básicamente por esta ecuación extremadamente simple, z = z ^ 2 + c. La complejidad surge cuando se itera hasta el infinito.
Un número es primo si no es múltiplo de ningún primo más pequeño, por lo que cada primo se define por la lista de primos más pequeños, lo que lleva a una complejidad infinita.
Al igual que la evolución por selección natural. Es un proceso extremadamente simple, muy fácil de entender. Pero iterar hasta el infinito y conduce a una complejidad infinita.

Answer 7

Los algoritmos pueden definir muchas cosas aparentemente aleatorias, como el valor de [math] \ pi [/ math] (y sus dígitos decimales aleatorios), por ejemplo.

Esto es igual a [matemáticas] \ frac {\ pi} {4} [/ matemáticas]

dónde
es la función zeta de Riemann.

Answer 8

La factorización es un proceso regular o modelado: saque cada segundo número … luego cada tercer número … luego cada quinto número … luego cada séptimo … Al agotar todos los patrones de frecuencias numéricas, nos quedamos con los números primos. Dado que los números primos son números que no tienen un patrón de ocurrencia, deben ser aleatorios.

Tenga en cuenta que el algoritmo descrito anteriormente encuentra todos los números compuestos, y los números primos son justo lo que queda. No existe un enfoque algorítmico para definir números primos excepto por exclusión.

Answer 9

(1) Si el trabajo de generar todos los números primos menores que, digamos el número entero [matemáticas] N ^ {2} [/ matemáticas], se le dio a los militares, ¡así es como lo harían!

Alinearían a un grupo de reclutas [matemáticos] N [/ matemáticos] y les ordenarían marchar en tándem, con el sargento mayor gritando la pregunta ‘¿Primer?’ a ellos a cada paso.

Se le ordenaría al recluta [math] 1 [/ math] ‘gritar NO en cada paso de [math] 2 [/ math]. El recluta [matemático] 2 [/ matemático] es gritar NO en cada paso de [matemático] 3 [/ matemático]. El recluta [matemático] 3 [/ matemático] debe gritar NO en cada paso [matemático] 4 [/ matemático], y así sucesivamente (es decir, el recluta [matemático] N [/ matemático] debe gritar NO al cada ([matemáticas] N + 1 [/ matemáticas]) paso th).

Si hace un diagrama que representa dicho desfile en papel, verá que de vez en cuando hay un paso, digamos [math] k [/ math], cuando ningún recluta en la línea de marcha grita NO.

Si dicho paso [matemáticas] k [/ matemáticas] (es decir, cuando ningún recluta grita NO) es menor que [matemáticas] N ^ {2} [/ matemáticas], entonces ese paso es un número primo.

¿Por qué [math] k [/ math] es primo si ningún recluta grita NO?

Porque si el recluta [math] n [/ math] ‘th hubiera gritado NO en el paso [math] k [/ math], entonces [math] k [/ math] habría sido un múltiplo de [math] n [/ matemáticas], y por lo tanto no es un primo.

Ahora bien, si en lugar de imaginar una línea de reclutas solo [matemáticos] N [/ matemáticos], imaginamos una línea interminable de reclutas, su desfile interminable generaría hipotéticamente todos los números primos.

Consulte el Apéndice II (A), fig.6, p.23 y el Apéndice II (B), fig.7, p.24 del siguiente documento para obtener una visualización gráfica del algoritmo anterior:

http://alixcomsi.com/40_PNT_Dir_ …

(2) La distribución de los números primos es tan aleatoria como la de lanzar una moneda o un dado de seis caras.

Sabemos que, estadísticamente, la probabilidad de obtener caras con cualquier lanzamiento de una moneda es [matemática] \ frac {1} {2} [/ matemática], y que la probabilidad de obtener un número particular con un dado de seis caras es [ matemáticas] \ frac {1} {6} [/ matemáticas].

También sabemos que si lanzamos una moneda y tiramos un dado al mismo tiempo, la probabilidad de obtener caras en la moneda y 3 en el dado es [matemática] \ frac {1} {2}. \ Frac {1} { 6} = \ frac {1} {12} [/ matemáticas].

Motivo: El lanzamiento de una moneda y el lanzamiento de un dado no están conectados, por lo que son acciones (eventos) mutuamente independientes.

Además, de las [matemáticas] 12 [/ matemáticas] posibles resultados:

(cabezas y 1) o (colas y 1),
(cabezas y 2) o (colas y 2),
(cabezas y 3) o (colas y 3),
(cabezas y 4) o (colas y 4),
(caras y 5) o (colas y 5),
(cabezas y 6) o (colas y 6)

solo [matemáticas] 1 [/ matemáticas] de las [matemáticas] 12 [/ matemáticas] es (cabezas y 3).

Por un razonamiento similar, se puede demostrar que si un primo [matemático] p [/ matemático] divide cualquier número entero [matemático] k [/ matemático] es independiente de si un primo [matemático] q [/ matemático] divide o no [matemática] k [/ matemática] si [matemática] p [/ matemática] no es igual a [matemática] q [/ matemática].

Ahora se puede ver fácilmente que [matemática] k [/ matemática] es primo si, y solo si, [matemática] k [/ matemática] no es divisible por cualquier primo menor o igual que [matemática] \ sqrt {k }[/matemáticas].

Luego se deduce que la probabilidad estadística de que [math] k [/ math] sea primo puede ser [math] \ prod_ {i = 1} ^ {\ pi (\ sqrt {k})} (1- \ frac {1} {p _ {_ {i}}}) [/ math] (Teorema 3.11 del documento anterior).

Aquí, [math] p _ {_ {i}} [/ math] es el [math] i [/ math] ‘th prime, y [math] \ pi (\ sqrt {k}) [/ math] es el número de números primos que no excedan [math] \ sqrt {k} [/ math].

Answer 10

Los números primos no son aleatorios, sino más bien una función de divisibilidad. Si bien los números primos aparecen al azar, si examina los números entre los números primos, puede ver que todos son divisibles por los números que los preceden. Si ayuda a entender por qué los números Prine ocurren en la secuencia que lo hacen, piense en una recta numérica, y los números primos son espacios entre los números divisibles por números que se preceden a sí mismos.