¿El número 1,000,000 está más cerca del infinito que el número 1?

Answer 1

Cada par de números reales que puede anotar están más cercanos entre sí que al infinito, bajo la métrica habitual de la recta de números reales extendida.

En resumen, la distancia entre dos números reales, digamos [matemática] x, y [/ matemática] generalmente se describe por el valor absoluto de la diferencia, [matemática] d (x, y) = | xy |. [/ math] Cuando quiera discutir la “distancia” al infinito, puede agregar algunos axiomas al campo de los números reales. Para definirlos, deje que [math] \ overline {\ mathbb {R}} = \ mathbb {R} \ cup \ {\ pm \ infty \}. [/matemáticas]

Para cada [math] x \ in \ mathbb {R} [/ math], defina las siguientes reglas
[matemáticas] x + \ infty = \ infty + x = \ infty [/ matemáticas]

[matemáticas] x – \ infty = – \ infty + x = – \ infty [/ matemáticas]

[matemáticas] x \ cdot (\ pm \ infty) = (\ pm \ infty) \ cdot x = \ pm \ infty, x> 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] x \ cdot (\ pm \ infty) = (\ pm \ infty) \ cdot x = \ mp \ infty, x <0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {x} {\ pm \ infty} = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {\ pm \ infty} {x} = \ pm \ infty, x> 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {\ pm \ infty} {x} = \ mp \ infty, x <0 [/ matemáticas]

Esto nos da la intuición de que [math] + \ infty [/ math] es un símbolo que es más grande que cada número real y [math] – \ infty [/ math] es un símbolo menor que cada número real.

Usando la primera o segunda regla, puede ver que la distancia entre cualquier número real a [math] + \ infty [/ math] es nuevamente [math] + \ infty. [/ math] Dado que la distancia entre dos números reales es de nuevo un número real, los dos números reales están más cerca uno del otro que cualquiera de los dos al infinito, debajo del espacio métrico [math] (\ overline {\ mathbb {R}} , | \ cdot |). [/ math]

Actualización: la respuesta de David Joyce me recordó un problema a mitad de período en mi primera clase de Análisis Funcional en la escuela de posgrado. Proporciona una forma en que un millón está de una manera “más cercana” al infinito que a uno.

Tome nuevamente los números reales extendidos, pero en lugar de medir la distancia por el valor absoluto de la diferencia [math] d _ {\ mathrm {abs}} (x, y) = | xy |, [/ math] use [math] d _ {\ mathrm {exp}} (x, y) = | e ^ {- x} – e ^ {- y} |. [/ math] Se necesita algo de trabajo que [math] (\ overline {\ mathbb {R}}, d _ {\ mathrm {exp}}) [/ math] forma un espacio métrico completo (mi problema de mitad de período). Bajo esta definición de distancia, calculamos
[math] d _ {\ mathrm {exp}} (1,10 ^ 6) = | e ^ {- 1} -e ^ {- 10 ^ 6} | \ aproximadamente 0.37 [/ math]
mientras
[math] d _ {\ mathrm {exp}} (10 ^ 6, \ infty) \ aprox 3.3 \ times 10 ^ {- 434295}. [/matemáticas]
Entonces, un millón está aproximadamente [matemática] 10 ^ {434294} [/ matemática] más cerca del infinito que de uno, bajo este espacio métrico.

Answer 2

Debe definir sus términos para obtener una respuesta a esta pregunta. Dependiendo de cómo defina sus términos, obtendrá una respuesta diferente.

Si usa los números reales extendidos que figuran en la respuesta de Ricky Kwok, entonces ambos números están igualmente lejos de [math] \ infty. [/ Math]

Si usa los números surrealistas, entonces no lo son. En esa interpretación, la distancia de 1 a [matemática] \ omega [/ matemática] es [matemática] \ omega-1, [/ matemática] mientras que la distancia de 1,000,000 a [matemática] \ omega [/ matemática] es [matemática] \ omega-1000000, [/ math] que está 999,999 más cerca.

¿Cómo decides cuál usar? Depende de cuál sea su aplicación, es decir, cuál es el contexto en el que hace la pregunta. ¿Cómo vas a usar la respuesta?

Answer 3

Si trabaja en la línea real extendida, es decir, los reales con más y menos infinito agregado, entonces sí, 1000000 está más cerca del infinito que el número 1 en el sentido de que 1 <1000000 . Tenga en cuenta que este “acercamiento” no se trata de distancias, y no podría responder “qué tan cerca”. “Más cerca” solo significa que hay un millón en el medio.

Answer 4

NO. Así es como lo pienso. Piensa en el número más grande que puedas imaginar o escribir. Por ejemplo, escriba 10 a la potencia de 10 a la potencia de 10 a la potencia de 10 … hasta que llenes una página entera. Llame a este número M para “número de monstruo”.

Ahora hágase la pregunta: ¿Cuántos números enteros hay más grandes que este número? Y la respuesta aterradora es: no importa cuán grande sea el número, hay infinitamente MÁS números más grandes que M que números que son más pequeños. De hecho, la extraña conclusión es que una vez que eliges un número, cualquier número entero válido, ¡estás en un sentido infinitamente más cercano a 0 que al infinito!

Entonces nunca te acercas al infinito.

Answer 5

El infinito no es un número específico . Es un concepto.
Se usa solo para indicar que el número es indefinidamente grande y simplifica la comprensión.

Dado que no es un número específico, las operaciones aritméticas como la suma y la resta con infinito no son válidas. ex. No podemos decir que infinito + infinito es 2 veces infinito.

Si cualquier número está más cerca del infinito solo puede determinarse por sustracción. Como esa operación no es válida, no podemos decir que ningún número esté más cerca o más al infinito.

…

Sin embargo, el concepto de infinito se usa ampliamente en el cálculo. Pero cuando se usa, nunca deberíamos decir que algo es igual al infinito, decimos que tiende al infinito.

Nota: Alguien puede corregirme sobre esto si estoy equivocado, no soy matemático.

Answer 6

Si supone que va en una dirección de aumento cada vez que agrega a su número ny si asume que INF está indefinidamente lejos en esa dirección y -INF está indefinidamente lejos en la dirección opuesta, entonces sí, cualquier x> n debería estar más lejos en el ‘camino’ de números crecientes.

Por otra parte, no soy matemático y supongo que piensan en términos muy diferentes.

Pero para responder a la pregunta “está 1,000,000 más cerca del infinito que el número 1”, diría que sí cuando esté más lejos en el camino de números crecientes hacia INF. Supongo que debido a que INF no es una figura real, marca la diferencia para los matemáticos que son muy específicos con su terminología (¡y con razón!).

Entonces, si te responden “no”, ¡entonces significa que es porque usas el término infinito y por la naturaleza del término no se pueden hacer evaluaciones de distancia!

Términos como infinito son bastante difíciles porque en realidad no son números y, en cambio, son, por muchos poderes, conceptos más abstractos. Tal vez te ayude a entender el dilema (si no me equivoco) si digo que el infinito es más bien una herramienta utilizada en matemáticas en lugar de cualquier figura o número. No es nada como pi, por ejemplo, no tiene nada que ver con constantes . En cierto modo, es más fácil para un programador entender esto:

1, 2 y 3 son números, enteros. Su tipo es entero.
Ahora, en aras de la discusión, imagine que el tipo de infinito es una clase helpTool . Ahora, si trato de hacer la operación infinito + 1, entonces todo lo que puedo responder es ‘error’ y que no puede hacer esa operación.

Tal vez esto es lo que los más inclinados matemáticamente están tratando de decir. Dicen “error” y “necesitas cambiar tu pregunta porque contiene un error”, pero como son humanos, manejarán ese error y en su lugar tratarán de explicar por qué no puedes hacer esa pregunta / por qué No puedo darle una respuesta directa a tal pregunta.

Entonces, lo que obtendrá por preguntar lo que pidió es “nulo”. Sin respuesta.

Answer 7

Pensemos un poco: [math] 1 <1000000 [/ math], y [math] \ infty> x [/ math] para todos [math] x \ in \ mathbb {R} [/ math]. Entonces, con el ordenamiento de los reales, podría pensar que un millón está más cerca del infinito que uno. Pero cuando queremos hablar de distancias, tenemos que pensar un poco más clara y específicamente. La distancia entre los dos números reales [matemática] x [/ matemática] y [matemática] y [/ matemática] es [matemática] | x – y | [/ matemáticas]. Entonces, vamos a evaluar las dos distancias que nos interesan: [matemáticas] | \ infty – 1 | = \ infty [/ math] y [math] | \ infty – 1000000 | = \ infty [/ math]. Entonces las dos distancias son iguales. Pero [matemáticas] 1 \ ne 1000000 [/ matemáticas], entonces, ¿cómo puede ser esto?

Bueno, tenga en cuenta que mencioné que esta medida de distancia era entre números reales . Técnicamente, cada número real es finito, así que lo que acabo de hacer para mostrar que las “distancias” eran las mismas significaba usar algo que no era un número real donde debería haber habido un número real, por lo que lo que mostré no es válido. Sin embargo, en un sentido diferente, tendrías que viajar tan lejos para “alcanzar el infinito” (no estoy seguro de que sea un concepto bien definido a menos que estés tomando un límite) de uno a de un millón, por lo que no es totalmente inesperado

Es posible, como muestran las otras respuestas aquí, hacer muchos tipos de manipulaciones que pueden mostrar cualquiera de los resultados. Es en gran medida una cuestión de cómo elige definir las cosas, lo que depende mucho de la situación.

Answer 8

La respuesta del ingeniero: el número máximo de coma flotante de doble precisión es ~ 1.79769 × 10 ^ 308, tan cercano al infinito como representable. Restar 1 o 1,000,000 de él todavía resulta en el mismo número, debido a la extrema falta de precisión en ese exponente, por lo que ambos están igualmente cerca o lejos. Lo mismo sucede si usa el IEEE INF real. Por lo tanto, ambos están igualmente lejos o cerca del infinito.

(Además, ambos equivalen a cero. ¡Toma eso, matemáticas!)

Answer 9

No en realidad no. Tanto el número uno (1,000,000) como el número uno (1) todavía son finitos. Un número podría ser, una fracción de infinito solitario (0.01 infinito), entonces estaría más cerca de 1 en matemáticas infinitas que de infinito solitario, pero aún más cerca de infinito que 1,000,000, que es un número finito y ningún número finito está relacionado con las matemáticas infinitas.

Answer 10

¡No!

Prueba por contradicción.

Dados enteros i, j; supongamos que i Deje que INF designe infinito.

Entonces, INF – i> INF – j;

Sin embargo, cualquier número entero específico (o número real) restado de INF todavía es igual a INF. (Otra forma de ver esto es que el límite de i / INF = 0, no importa cuán grande sea, siempre que i

Esto lleva a INF> INF, lo cual es una contradicción (porque estamos tratando aquí con la cardinalidad Cantorian Aleph Null, no con un infinito más grande).

Por lo tanto, ni i ni j están más cerca de INF y, específicamente, 1,000,000 no está más cerca de INF que 1.

Answer 11

está 1,000,000 más cerca de 1,000,000,000,000,000 que a 1. Fuera del curso 1 ya que la diferencia es 999,999 y 999,999,999,999,999 respectivamente. Ahora infinito es infinito veces más grande que el segundo número. Por lo tanto, su número siempre estará más cerca de 1.

No importa qué número elija, el resultado será el mismo.

Answer 12

No. Responder “sí” a eso es suponer que puede medir las dos diferencias, compararlas y encontrar que una es más pequeña que la otra.

El problema con el “infinito” es que no puedes llegar desde aquí. No es un punto en la recta numérica. A diferencia de 1 y 1,000,000, es un concepto y ninguna línea en el número. Como no puede medir la distancia hasta el infinito, no puede comparar dos de esas distancias. No se puede decir que 1,000,000 esté más cerca que 1.

Answer 13

Cuando se ve desde un punto muy distante, 1, 10, 1’000’000 e incluso 1’000’000’000’000’000’000’000 son casi iguales a cero.

Answer 14

El infinito se entiende mejor en relación con un cálculo particular
Considera la suma infinita

[matemáticas] \ sum_ {i = 1} ^ n {1 \ más de 2 ^ i} [/ matemáticas]

Claramente como n tiende al infinito, la suma tiende a 1
Y n = 1000000 da una aproximación más cercana, probablemente aceptable a la suma verdadera que 1.

Sin embargo, como se muestra en otra parte
[matemáticas] \ sum_ {i = 1} ^ \ infty {i} = {- 1 \ over {12}} [/ matemáticas]
En este caso, parece que n = 1 está más cerca de [matemáticas]] \ infty [/ matemáticas]

Answer 15

Es una pregunta sin sentido, mi amigo. Infinito no es un número, por lo tanto, no puede calcular la distancia desde ningún número hasta él.

Y, por cierto, te sugiero que pases más tiempo resolviendo preguntas “a tu alcance” y “a tu alcance”. Trata de evitar pensar demasiado en el infinito … es una manera perfecta de volverse loco, ¿verdad Cantor?

Answer 16

relativamente sí, pero de nuevo usando la lógica se puede probar lo contrario