¿Qué determinó números como e y pi? ¿Por qué no podrían haber sido otros números, por ejemplo, pi siendo 4.213592, etc.?

Answer 1

En primer lugar, estos dos números, como todos los demás, no están determinados por lo que sucede en nuestro universo físico. Están determinados por sus definiciones matemáticas.

π

π es la razón del área de un círculo al área del cuadrado en su radio en geometría euclidiana. También es igual a la longitud de la circunferencia de un círculo a la longitud de su diámetro. Se sabía que había tales proporciones durante al menos 4000 años, pero el valor de π no se conocía con mucha precisión. De hecho, 3 fue utilizado como una aproximación común por los antiguos babilonios.

Euclides demostró que la proporción del área de un círculo con respecto al área en su cuadrado es la misma para todos los círculos en sus Elementos, Libro XII, Proposición 2. (En realidad, esa proposición involucra el cuadrado en el diámetro, pero mostró en otras partes que similar los polígonos tienen áreas proporcionales.) Más tarde, Arquímedes mostró que la misma relación π era la relación entre la longitud de la circunferencia de un círculo y la longitud de su diámetro. Además, Arquímedes tiene mejores límites en el valor de π , es decir, se encuentra entre 3 10/71 y 3 1/7. Por lo tanto, π no puede ser 4.213592. Desde entonces, otros han encontrado mejores y mejores aproximaciones.

mi

Este es un número más sutil. No se mencionó hasta 1618 en el estudio de los logaritmos de Napier. No se llamó e hasta 1731. Se puede definir de varias maneras, una de ellas es el límite de Bernoulli, el límite de [matemáticas] (1 + 1 / n) ^ n [/ matemáticas] como [matemáticas] n \ to \ infty. [/ math] Dado que, o cualquiera de las otras definiciones equivalentes, su valor (aproximado a tres decimales) no puede ser más que 2.718.

Estas son constantes matemáticas, no constantes físicas.

Aunque π es una constante geométrica, la geometría es independiente del espacio físico. La geometría euclidiana es una construcción matemática que es muy buena para modelar el espacio, de hecho es por eso que se creó, pero no es lo mismo que el espacio físico. También se puede definir analíticamente. e siempre se define analíticamente. Como se definen matemáticamente, sus valores son los mismos para todos los universos físicos posibles.

Answer 2

Se encontró que la relación del perímetro de un círculo a su diámetro siempre es una constante, a la que se le asignó el símbolo [math] \ pi [/ math] (aproximadamente 3.141593).
Cuando se demuestra que es una constante, no se le puede asignar ningún número aleatorio, se debe determinar su valor.

1. Los egipcios calcularon el área de un círculo mediante una fórmula que dio el valor aproximado de 3.1605 para pi . El primer cálculo de pi fue realizado por Arquímedes de Siracusa (287-212 a. C.), uno de los mejores matemáticos del mundo antiguo.

fuente: http://www.exploratorium.edu/ pi / history_of_ pi /

Hoy en día, para la mayoría de los cálculos manuales, consideramos que el valor de [math] \ pi [/ math] es aproximadamente 3.142 o 22/7.

Del mismo modo, e se asigna a una cierta constante (aproximadamente 2.718281)

La constante se puede definir de muchas maneras. Por ejemplo, e puede definirse como el número positivo único a tal que la gráfica de la función y = ax tenga una pendiente unitaria en x = 0. [3] La función f ( x ) = ex se llama función exponencial, y su inverso es el logaritmo natural, o logaritmo a base e . El logaritmo natural de un número positivo k también se puede definir directamente como el área bajo la curva y = 1 / x entre x = 1 yx = k , en cuyo caso, e es el número cuyo logaritmo natural es 1

Fuente: e (constante matemática)

Dato curioso: los números 0, 1, π, e e i . son de importancia eminente en matemáticas y se consideran las cinco constantes más importantes.

Están relacionados entre sí por la identidad de Euler:

Answer 3

Las definiciones y propiedades de [math] \ pi [/ math] y [math] e [/ math] se explican muy bien en otras respuestas, por lo que no las voy a repetir aquí. Abordaré la pregunta genérica “¿Qué determina el valor de [alguna constante matemática]?” en lugar.

Está determinado por su definición.

En matemáticas, nosotros

1. Comience desde axiomas y definiciones, luego
2. Ir a través de una secuencia de deducciones lógicas y finalmente
3. Llega como algunos teoremas o resultados.

En el caso de [math] \ pi [/ math], la definición es “la razón de la circunferencia de un círculo a su diámetro en geometría euclidiana”. Luego deduce algunas propiedades y fórmulas de [matemáticas] \ pi [/ matemáticas] (por ejemplo, la fórmula de Leibniz para π), y obtiene algo concreto de ellas (por ejemplo, calcula que el valor de pi es 3.14 correcto a 2 decimales). El valor 3.14 … se deriva de la definición y la secuencia de razonamiento.

Hay varias preguntas que puede hacer.

1. Puede cuestionar los axiomas y proponer un conjunto alternativo de axiomas que conduzca a un valor diferente de circunferencia / diámetro de un círculo. Por ejemplo, en geometría no euclidiana, la relación circunferencia / diámetro puede ser algo diferente de [matemáticas] \ pi [/ matemáticas]. Sin embargo, al hacer esto, está definiendo algo que ya no es el original [math] \ pi [/ math], y no está “cambiando” el valor de [math] \ pi [/ math].
2. Puede cuestionar la utilidad de la definición de [math] \ pi [/ math] y dar otra definición que otorgue un valor diferente. Hay algunos defensores del uso de [math] \ tau = 2 \ pi [/ math] en lugar de [math] \ pi [/ math]. De manera similar a lo anterior, estamos definiendo un nuevo número (por ejemplo, [math] \ tau [/ math]) en lugar de cambiar el valor de [math] \ pi [/ math].
3. Por supuesto, también puede cuestionar la secuencia de razonamiento que conduce al valor 3.14 … Históricamente, hubo algunos cálculos erróneos de [math] \ pi [/ math] (por ejemplo, el de William Shanks). Pero hoy en día los primeros millones de dígitos de [math] \ pi [/ math] se verifican tantas veces que son correctos sin lugar a dudas.

Pero es extraño cuestionar el resultado final 3.14 … solo, que no es más que una simple consecuencia de los axiomas, definiciones y razonamientos. No tiene sentido preguntarle a un cajero “¿por qué el monto total es de $ 314?”, A lo que la única respuesta sensata es “porque $ 314 es la suma de los precios de sus artículos”. Abordar mejor la fuente del problema, como “¿por qué este champú cuesta $ 5 mientras que el precio dice $ 4.5?”, O los cálculos que dan la suma, como “¿por qué aplica el cupón después del descuento, mientras que los términos dicen lo contrario? “.

Answer 4

La geometría determina el número [matemática] \ pi [/ matemática]. Un círculo no tiene nada que ver con los números, son solo todos los puntos equidistantes de un punto fijo. Una vez que tiene un círculo, es natural hacer la pregunta: “¿Qué tan lejos está alrededor del círculo en comparación con qué tan lejos está a través del círculo (en su parte más ancha)?” La respuesta es [matemáticas] \ pi [/ matemáticas].

El número [matemáticas] e [/ matemáticas] se descubrió por primera vez al estudiar el interés compuesto. Es la respuesta al siguiente límite:
[math] \ lim_ {n \ to \ infty} \ left (1 + \ frac 1 n \ right) ^ n = e [/ math].

A partir de esta definición, resulta que el número, [math] e [/ math], tiene varias propiedades interesantes (y relacionadas). Es el maximizador único de [math] \ sqrt [x] {x} [/ math]. Es el único número real, [matemática] a [/ matemática], que tiene la propiedad de que [matemática] \ frac {d} {dx} (a ^ x) = a ^ x [/ matemática]. Es el único número real, [matemática] a [/ matemática], que tiene la propiedad de que [matemática] \ frac {d} {dx} \ log_a {x} = \ frac 1 x [/ matemática].

Del mismo modo, [math] \ pi [/ math] aparece de formas que no son obviamente geométricas (al menos a primera vista). Creo que hay una pregunta de Quora dedicada a tales apariciones inesperadas de [math] \ pi [/ math].

Answer 5

Estoy en una clase de Geometría Euclidiana basada en pruebas en este momento en mi Universidad, y traje cierta idea a la clase, me habían dicho que estaba muy cerca de descubrir lo mismo que Arquímedes descubrió hace mucho tiempo. Lo siguiente puede ser difícil de entender, pero simplemente puedo decir que solo hay una respuesta para el valor de “Pi”, simplemente porque todo lo demás no funcionaría:

I. Sea AB el diámetro de cualquier círculo, O su centro, AC la tangente en A ; y deje que el ángulo AOC sea ​​un tercio de un ángulo recto.
Entonces
(1) OA : AC > 265: 153
y
(2) OC : AC = 306: 153.
Primero, dibuje OD bisecando el ángulo AOC y encontrando AC en D.
Ahora
CO : OA = CD : DA
así que eso
( CO + OA) : CA = OA : AD
Por lo tanto
(3) OA : AD > 571: 153 .
Por lo tanto
OD 2: AD 2> 349450: 23409
así que eso
(4) OD : DA > 5911/8: 153.
En segundo lugar , deje que OE biseque el ángulo AOD , encontrando AD en E.
Por lo tanto
(5) OA : AE > 11621/8: 153
Así
(6) OE : EA > 11721/8: 153.
En tercer lugar , deje que B biseque el ángulo AOE y cumpla con AE en F.
Obtenemos así el resultado que
(7) OA : AF > 2334 1/4: 153
Así
(8) OF : FA > 2339 1/4: 153.
En cuarto lugar , deje que OG biseque el ángulo AOF , encontrando AF en G.
Tenemos entonces
OA : AG > 4673 1/2: 153.
Ahora el ángulo AOC , que es un tercio de un ángulo recto, se ha dividido en cuatro veces, y sigue ese ángulo AOG = 1/48 (un ángulo recto).
Haga que el ángulo AOH en el otro lado de OA sea igual al ángulo AOG , y deje que el GA producido se encuentre con OH en H.
Entonces ángulo GOH = 1/24 (un ángulo recto).
Por lo tanto, GH es un lado de un polígono regular de 96 lados circunscritos al círculo dado.
Y desde
OA : AG > 4673 1/2: 153,
mientras
AB = 2 OA, GH = 2 AG,
resulta que
AB : (perímetro de un polígono de 96 lados)> 4673 1/2: 14688
Pero
Por lo tanto, la circunferencia del círculo (que es menor que el perímetro del polígono) es a fortiori menor que 3 1/7 veces el diámetro AB.

II Luego, deje que AB sea ​​el diámetro de un círculo, y deje que AC , al encontrarse con el círculo en C , haga que el ángulo CAB sea igual a un tercio de un ángulo recto. Únete a BC .
Entonces
AC : BC <1351: 780.
Primero , deje que AD bisecte el ángulo BAC y cumpla con BC en d y el círculo en D. Únete a BD .
Entonces
ángulo BAD = ángulo dAC = ángulo dBD
y los ángulos en D, C son ambos ángulos rectos. Se deduce que los triángulos ADB, BDd son similares.
Por lo tanto
AD : BD = BD : Dd = AB : Bd
= ( AB + AC ): ( Bd + Cd )
= ( AB + AC ): BC
o ( BA + AC ): BC = AD : DB .
    Por lo tanto
(1) AD : DB <2911: 780.
Así
(2) AB : BD <3013 3/4: 780.

En segundo lugar , deje que AE biseque el ángulo MALO, encontrando el círculo en E ; y que se unan BE . Luego demostramos, de la misma manera que antes, que
(3) AE : EB <5924 3/4: 780 = 1823: 240.
Por lo tanto
(4) AB : BE <1838 11/9: 240.
En tercer lugar , deje que AF divida el ángulo BAE, encontrando el círculo en F.
Así,
(5) AF : FB <3661 9/11 x 11/40: 240 x 11/40
= 1007: 66.
Por lo tanto,
(6) AB : BF <1009 1/6: 66.
En cuarto lugar, deje que el ángulo BAF sea ​​atravesado por AG que se encuentra con el círculo en G.
Entonces
AG : GB <2016 1/6: 66 , por (5) y (6).
Por lo tanto
(7) AB : BG <2017 1/4: 66.
Por lo tanto, BG es un lado de un polígono inscrito regular de 96 lados.
De (7) se desprende que
(perímetro del polígono): AB > 6336: 2017 1/4 .
Y .
Mucho más es la circunferencia del diámetro.
<3 1/7 pero > 3 10/71.

Answer 6

Para comprender la respuesta, debe comprender que esta pregunta es exactamente lo mismo que preguntar:

¿Qué determinó números como 1 y 2? ¿Por qué no podrían haber sido otros números, por ejemplo, 2 siendo 4.213592, etc.?

e y π son simplemente los nombres de los números, como 1 y 2 son los nombres de los números.

¿Por qué 1 + 1 = 2? Porque si tienes una cosa y luego agregas otra, tienes 2 cosas. No 4.213592 cosas. Obvio.

¿Por qué la primera raíz positiva de la función seno (y, por lo tanto, la relación del diámetro con la circunferencia de un círculo en geometría euclidiana) es igual a π? El mismo tipo de razón. Es cierto que no es tan obvio si no estás acostumbrado a pensar de esa manera, pero resuélvelo y resulta que es la única respuesta posible. No hay margen de maniobra.

1 + 1 no puede ser 4.213592 porque la definición de 1 y la definición de + y la definición de 2 hacen imposible que 1 + 1 sea otra cosa que 2.

π no puede ser 4.213592 porque la definición de primero y la definición de positivo y la definición de raíz y la definición de función seno hacen imposible que la primera raíz positiva de la función seno sea otra cosa que π.

Answer 7

Yo diría que pi es el resultado de la geometría del espacio. Se cae de la relación entre dimensiones. Pi es el factor que relaciona la longitud del perímetro del círculo (en 2D) con el radio (1D). También está en la relación entre el radio y el área del círculo, el área de la superficie de una esfera y el volumen de la esfera. Quizás puedas llamarlo la relación entre redondo y recto.

El número e queda fuera de la búsqueda de otros tipos de relaciones. Si pregunta qué curva exponencial es igual a su propia derivada, la solución resulta ser e, no 4.213592, sino e.

La proporción áurea, phi, se cae de otro conjunto de relaciones.

Answer 8

No sé qué los determinó, pero hay una manera de ver que su valor es único.
[matemáticas] \ frac {d} {dx} (e ^ x + c) = e ^ x [/ matemáticas].
([matemáticas] e ^ {(x + c)} \ neq e ^ x + c [/ matemáticas])
No dé eso por sentado. Expanda [math] e ^ x [/ math] a la suma infinita y tome la derivada y vea.
Trate de trazar una curva en el plano euclidiano xy 2-D, su pendiente siempre es igual a la altura de la curva desde el eje x. Solo puede haber una curva, ya que cualquier otra curva tendrá una pendiente diferente a la altura, para algún valor de altura y eso rompe la condición. Si no lo hace, no es una curva diferente.
Solo puede tener en la intersección con la línea [math] x = 1 [/ math], que es el valor de [math] e ^ 1 = e [/ math].
Dicho esto, [math] e ^ i \ pi + 1 = 0 [/ math], da un valor único de [math] \ pi [/ math] para un valor único de [math] e [/ math].

Answer 9

Para agregar al profesor David Joyce, e también se define como la base de la función exponencial cuya derivada es ella misma:

[matemáticas] d / dx (Ce ^ {x + c}) = Ce ^ {x + c} [/ matemáticas],

donde C y c son constantes arbitrarias.

Esto es muy útil porque [math] f (x) = Ce ^ {x + c} [/ math] es la única familia de funciones cuya primera derivada es ella misma. Por lo tanto, e aparece mucho en cálculo y ecuaciones diferenciales. No hay otro valor que no sea el valor actual de e que satisfaga esa misma condición, por lo que matemáticamente e debe ser el valor que es.

Answer 10

Diría que las leyes básicas de las matemáticas, y por extensión la totalidad de las matemáticas, están determinadas por las propiedades observables de nuestro universo. Por ejemplo, la longitud y el tiempo muestran todas las propiedades de la aritmética básica, incluidas la suma, la resta, la división y la multiplicación, y fueron la fuente original de información matemática. Al observar directamente las propiedades físicas del espacio y el tiempo, como la adición de reglas o la resta de peso, se definen las operaciones matemáticas. Dentro de este marco físico, uno se da cuenta de que la razón de la circunferencia de un círculo a su diámetro (pi), o los números que hacen que las funciones exponenciales sean bonitas (e), tienen valores establecidos por la naturaleza particular de nuestro espacio-tiempo local.

Answer 11

Podemos decir qué es pi y cómo se calculó, pero creo que está haciendo una pregunta mucho más profunda, tal vez filosófica. ¿Por qué es que cuando dividimos la circunferencia de un círculo por su diámetro obtenemos un resultado exacto con una aproximación decimal en algún lugar cercano a 3.14159 …? y no algún otro número.

Todo lo que puedo decir es que pi solo puede tener un valor y si tuviera cualquier otro valor, todavía estaría haciendo la misma pregunta. Pi es definitivamente un número especial, pero por qué tiene el valor que tiene es solo porque lo tiene.

Lo siento, no podría ser de más ayuda.

Answer 12

Si bien las respuestas son correctas, la pregunta interesante es por qué Pi elige números como 3,1,4, etc. Las respuestas se deben a la elección de la base (10), podría haber otra base donde los números caen en un hermoso patrón.

Answer 13

π no es solo la razón de la circunferencia de un círculo a su diámetro.
También aparece en la famosa identidad:
[matemáticas]
e ^ iπ = -1
[/matemáticas]

Entonces e y π no tienen valores que ver con el universo físico. Son construcciones puramente matemáticas.

Answer 14

Pi fue escogido de la nada. Necesitas un círculo constante como pi o 2pi o pi / 2, pero e surge de la carpintería.

Existe el ‘manifiesto tau’ que dice que deberíamos usar 6:34 para el número del círculo, pero la mayoría de los argumentos planteados son síntomas de deficiencias de vitamina D. Hay personas que presionan eta = 1: 6860, que usan argumentos más profundos.

e sale a la carpintería. Suponga que usa una escala de registros donde lg 2 = 12. En algún momento encuentra que los números van uno a uno, esto sucede en esta escala en lg 16 = 48, lg 17 = 49, lg 18 = 50. Si luego miras alrededor de lg x = 17, 18, 19, obtienes alrededor de 2: 8623 (es decir, e). No importa qué granularidad, pero si obtiene un punto donde lg (x + 1) = lg (x) +1 = r, entonces lg (r) = e.

Answer 15

no son números configurados al azar, son algunas razones muy comunes. Si encuentra una proporción común como el parámetro de una nariz humana que divide la longitud de su pene es aproximadamente 4.213492, etc., entonces puede llamarlo un nuevo número b o algo así.