¿Hay un salto en el orden de la lógica requerido para describir los números trascendentales?

Answer 1

Debo advertir, esta es una respuesta muy parcial:

En primer lugar, necesito corregir su suposición: algunos números algebraicos no pueden describirse (con precisión) mediante un número finito de pasos. Un ejemplo sería [math] sqrt (2) [/ math], un número irracional (y por lo tanto, uno que requiere un polinomio de Taylor con un número infinito de derivadas para describirlo con precisión) que, sin embargo, es algebraico y no trascendental.

En cuanto a su pregunta: No, en realidad no necesita ningún salto en orden de lógica para describir un número trascendental.

La lógica de primer orden se basa en el concepto de Verdadero / Falso, más comúnmente descrito como 1 y 0 (respectivamente). Ergo, si pudiéramos describir un número trascendental usando solo 1’s y 0’s, no requerirá un salto en orden o lógica.

Entra Joseph Liouville.

La ecuación de Liouville: (Fuente: Wikipedia)

nos proporciona una descripción decimal de un número trascendental de acuerdo con este conjunto de reglas: ¡el número en la enésima posición después del punto decimal es “1” si existe una K natural para la cual el valor de K! (factorial) es igual al número de la posición (n). De lo contrario, es cero.
En el número anterior: si n = 1 yk = 1, K! = Ny, por lo tanto, el primer número después del punto decimal es un 1.
Si n = 5, no hay K para el cual K! = 5, por lo que hay un “0” en la quinta posición.
Si n = 6 y K = 3, entonces K! = 1 * 2 * 3 = 6 = ny, por lo tanto, hay un “1” en la sexta posición.
Las posiciones de “1” se calculan fácilmente así: 1,2,6,24,120 …

Dicho esto, hay una advertencia. Casi todos los números son trascendentales y, por lo tanto, una regla no se aplica. Para demostrar, por ejemplo, que e es trascendental requiere un cálculo muy diferente del anterior, y muy diferente del necesario para, digamos, pi . Por lo tanto, algunos números trascendentales pueden describirse utilizando lógica de primer orden, mientras que otros no. Esto, sin embargo, no es diferente de los números algebraicos, como [math] sqrt (2) [/ math] mencionado anteriormente.

En otras palabras, si la pregunta era “¿ se pueden describir los números trascendentales usando la lógica de primer orden? “, La respuesta es sí . Si es “¿ se pueden describir todos los números trascendentales de esa manera? “, Entonces no.

Answer 2

Los números algebraicos no se pueden definir sobre [math] (\ mathcal {R}, +, *, 0) [/ math] en lógica de primer orden. Para ver esto, suponga lo contrario que hay una fórmula [matemática] \ phi (x) [/ matemática] que es verdadera si y solo si [matemática] x [/ matemática] es algebraica.
Sea [math] \ psi_i [/ ​​math] la fórmula que expresa que x no es la raíz de un polinomio de orden [math] i [/ math]. Entonces la teoría [matemáticas] \ bigcup_ {i \ in \ omega} \ {\ psi_i (x) \} \ cup \ {\ phi (x) \} [/ math] tiene un modelo según el teorema de compacidad. Pero como cada [math] \ psi_i (x) [/ math] se mantiene en el modelo, x no es la raíz de ningún polinomio de ningún orden finito. ¡Contradicción!

Para dar una prueba algo más directa: se puede demostrar que los números algebraicos son de hecho una subestructura elemental de los reales. Esto significa que cada oración de primer orden se cumple con los números algebraicos si y solo si se cumple con los reales. Obviamente, no hay una oración que indique que un número es algebraico entonces. De lo contrario, se cumpliría con los reales, pero no con los números algebraicos.

La mayoría de las otras respuestas en este hilo se centran en la definibilidad en ZFC, pero esto está fuera de lugar en mi opinión. Hay modelos de ZFC en los que cada conjunto es definible desde una perspectiva externa y la definibilidad en ZFC ni siquiera es definible en ZFC, por lo que deberá asumir alguna metateoría para hacer un argumento riguroso con respecto a este tipo de definibilidad. Los teóricos de modelos solo estudian idiomas sobre los reales (o algún subcampo) en este contexto.

Los números algebraicos son definibles en la lógica de segundo orden, pero creo que sería más estéticamente agradable usar la lógica infinitaria y escribir una oración infinita que indique que un número es la raíz de cualquier polinomio (todos ellos pueden enumerarse en tal frase). La lógica infinitaria tiene propiedades teóricas de prueba / modelo más interesantes, especialmente si asume los cardenales grandes apropiados.

Answer 3

No. A partir de los axiomas [matemáticos] ZF [/ matemáticos], utilizando el aparato habitual de deducción lógica de primer orden, debe haber innumerables números reales; y podemos dar un mapeo explícito sobrejetivo de [math] \ mathbb {N} [/ math] en el conjunto de números algebraicos, lo que significa que el conjunto de números algebraicos es contable. Por lo tanto, está contenido adecuadamente en el conjunto de números reales, de modo que los números trascendentales deben existir.

Answer 4

De hecho, los números algebraicos son las raíces de la arena polinómica, por lo tanto contables, lo que significa que no necesitamos nada más que aritmética. Pero los reales y los números complejos no son contables si necesitamos algo mejor. La respuesta tradicional es la lógica de orden superior o la teoría de conjuntos que tiene lo que a veces se denomina poder de análisis. Un poco exagerado en mi opinión, hay sistemas mucho más débiles que nos permiten lidiar con el continuo. La teoría de tipos de Martin-Loef es mi favorita.

Answer 5

No. Los números trascendentales (como opuestos a los números algebraicos) no son misteriosos en absoluto: son solo números que no son raíces de ningún polinomio con coeficientes enteros. Se pueden definir en la teoría de conjuntos habitual y la lógica de primer orden. No es necesaria una lógica superior.

Answer 6

Para agregar a la respuesta de Jens Oliver Gutsfeld: también se puede usar la o-minimalidad para evitar la compacidad.

Suponga que los números trascendentales se pueden definir en [math] (\ mathbb R, \ times, +, 0,1) [/ math]. Entonces también se puede definir en el campo ordenado [math] (\ mathbb R, \ times, +, <, 0,1) [/ math]. Pero los números reales con el orden natural son mínimos. Entonces sus conjuntos definibles deben ser uniones finitas de intervalos y muchos puntos. Claramente los números trascendentales no son de esta forma.

Answer 7

No. La lógica normal y la teoría estándar de variables reales es bastante suficiente.

No permita que términos como “trascendente” lo engañen. Si puede comprender qué es un número algebraico (la raíz de algún polinomio), entonces puede comprender qué es un número no algebraico.