¿Qué pasaría si existiera una clase de números que tuviera valores absolutos negativos?

Answer 1

Es difícil ver cómo ese valor absoluto podría definirse de alguna manera que merezca ser llamado “valor absoluto”.

Tenga en cuenta que no siempre hay un solo valor absoluto posible para cualquier sistema numérico dado (o “anillo”, para usar el término técnico para un sistema de números con suma y multiplicación). En cambio, un valor absoluto puede definirse más generalmente como cualquier función desde un anillo hasta los números reales no negativos que satisfacen los siguientes axiomas:

1. Definitividad positiva: [matemáticas] | a | = 0 [/ matemática] si [matemática] a = 0 [/ matemática] y [matemática] | a | > 0 [/ math] de lo contrario.
2. Multiplicatividad: [matemáticas] | ab | = | a | | b | [/ math] para cualquier [math] a, b [/ math]. (Como consecuencia, [matemática] | 1 | = 1 [/ matemática], porque [matemática] | a | = | 1a | = | 1 | | a | [/ matemática].)
3. Subaditividad: [matemáticas] | a + b | \ leq | a | + | b | [/ math] para cualquier [math] a, b [/ math].

Algo digresivo: los valores absolutos familiares de los números reales y los números complejos satisfacen todos estos ejemplos. Una clase más exótica es el valor absoluto de p-adic , que se define en los números racionales. Para un número primo fijo [matemática] p [/ matemática], cualquier racional [matemática] q \ in \ mathbb {Q} [/ matemática] puede escribirse únicamente como [matemática] q = p ^ na / b [/ matemática ] donde [matemática] a, b, n [/ matemática] son ​​enteros, [matemática] b [/ matemática] es positiva, [matemática] \ operatorname {gcd} (a, b) = 1 [/ matemática] y [ matemáticas] p [/ matemáticas] no divide ni [matemáticas] a [/ matemáticas] ni [matemáticas] b [/ matemáticas]. El valor absoluto de p-adic [matemática] || q || _p [/ matemática] se define como [matemática] p ^ {- n} [/ matemática] si [matemática] q \ neq 0 [/ matemática], o como cero si [matemática] q = 0 [/ matemática]. (La p es una variable, por lo que podemos hablar de 2-adic, 3-adic, 5-adic, etc.) Intuitivamente, los números con pequeños valores absolutos de p- adic son aquellos divisibles por grandes potencias de p; El teorema de Ostrowski establece que cada valor absoluto en los racionales es trivial ([matemática] | x | [/ matemática] es cero si [matemática] x = 0 [/ matemática] o uno diferente), uno de los valores absolutos p- adic , o el valor absoluto familiar que cambia el signo de los números negativos pero no hace nada más.

Ya no está divagando: Entonces, ¿qué sucede si relajamos la definición positiva y permitimos valores absolutos negativos? Hay algunas conclusiones obvias que podemos extraer: por ejemplo, como cualquier cuadrado tiene un valor absoluto positivo de la multiplicatividad ([matemática] | x ^ 2 | = | x | | x | = | x | ^ 2 \ geq 0 [/ matemática] porque [math] | x | [/ math] se presume real), ningún número sin sentido puede tener una raíz cuadrada . Además, si [math] x [/ math] no tiene sentido, entonces [math] 0 = | x + (-x) | \ leq | x | + | -x | [/ math] por subaditividad, lo que implica que [math] | -x | [/ math] debe ser positivo, y no menos que [math] – | x | [/ math]; por lo tanto, cada número sin sentido es el inverso aditivo de un número normal . De hecho, debemos tener [matemáticas] | -x | = – | x | [/ math] en este caso, porque [math] | -x | = | -1 | | x | [/ math], y si [math] | -1 | [/ math] fuera cualquier cosa menos [math] \ pm 1 [/ math], entonces la multiplicatividad requeriría [math] | 1 | = | -1 | ^ 2 \ neq 1 [/ math], que nunca puede contener. Probablemente podría continuar en la misma línea si quisiera; Lo haría, pero es muy tarde en la noche. Sospecho que sería posible demostrar que cada número distinto de cero normal también tiene un inverso aditivo sin sentido.

De hecho, un ejemplo muy simple que satisface nuestros nuevos axiomas son los enteros (o racionales, o reales) bajo el valor absoluto [matemáticas] | x | = x [/ math], la identidad; ¡cómo se ve este sistema debería ser muy familiar!

(Hay una noción vagamente similar en la física de un espacio vectorial con un producto interno que no es definitivo positivo; los productos internos se pueden usar para definir una especie de “norma”. Uno de los más simples es el espacio Minkowski , que es un Configuración especialmente simple para la teoría de la relatividad.)

Answer 2

La respuesta corta es: creo que quieres números de complejo dividido. Escribiré más sobre eso más tarde; primero describiré cómo llegué a esta conclusión.

Supongo que desea una solución a la ecuación [matemática] | x | + 1 = 0 [/ matemática] donde el valor absoluto se comporta como esperamos en números reales. Sin embargo, está bien (e inevitable) que muchas de las fórmulas para el valor absoluto no se generalicen.

Supongamos que existe un valor j tal que | j | = -1. Voy a pensar en j como una unidad a lo largo de un eje perpendicular a los números reales. Este eje va a representar el “espacio negativo”. Por lo tanto, cualquier punto a lo largo de este eje tendrá un valor absoluto negativo, o se le dará un número real [matemática] a [/ matemática], [matemática] | aj | = – | a | [/ matemáticas].

Este no es el final de la historia. Si vamos a extender los números reales con este nuevo elemento j, vamos a obtener números de la forma [math] a + bj [/ math] donde a y b son reales. ¿Qué sucede cuando tomamos el valor absoluto de un número con esta forma general?

Para obtener una respuesta razonable aquí, pensé en cuál es la gráfica de [matemáticas] | a + bj | = c [/ math] se vería así. Si estuviéramos en el plano complejo o [math] \ mathbb {R} ^ 2 [/ math], esta ecuación se vería como un círculo de radio c alrededor del origen. En nuestro caso, no podríamos tener un círculo porque con c siendo positivo, nunca puede intersecar el eje del espacio negativo. Afortunadamente, hay una sección cónica doble que funciona perfectamente aquí, y esa es una hipérbola rectangular. Si c es +1, intersecta el eje x en [math] \ pm 1 [/ math] y si c es -1, intersecta el eje y en [math] \ pm 1 [/ math]. Estoy pensando en las ecuaciones:
[matemáticas] x ^ 2-y ^ 2 = 1 [/ matemáticas] x ^ 2-y ^ 2 = 1 – Wolfram | Alpha
[matemáticas] x ^ 2-y ^ 2 = -1 [/ matemáticas] x ^ 2-y ^ 2 = -1 – Wolfram | Alpha

Otra decisión que debemos tomar es definir [matemáticas] j ^ 2 [/ matemáticas]. Si lo establecemos en 1 (y creo que esa es la decisión correcta porque todo encaja muy bien) obtenemos los números complejos divididos.

Típicamente, el módulo de los números complejos de saliva se define como [matemáticas] | a + bj | = a ^ 2 – b ^ 2 [/ math] que es realmente algo así como el cuadrado de lo que quieres. Su extensión al valor absoluto podría verse así:
[matemáticas] | a + bj | = \ sqrt {a ^ 2 – b ^ 2} [/ math] if [math] a ^ 2 \ geq b ^ 2 [/ math]
[matemáticas] | a + bj | = – \ sqrt {b ^ 2 – a ^ 2} [/ math] if [math] b ^ 2 \ geq a ^ 2 [/ math]

Cualquiera de las dos opciones conduce a las mismas gráficas hiperbólicas de [matemáticas] | a + bj | = c [/ matemáticas]

La pregunta pregunta si esto ocurre de manera no contradictoria. Bueno, algunas de las propiedades de los campos numéricos ya no se mantienen, pero este es un conjunto válido y lógicamente consistente de objetos matemáticos con suma y multiplicación bien definidas.

¡Y resulta que no es nada sensato! Estos números se pueden representar como matrices 2D de números reales. También tiene aplicaciones para comprender el espacio-tiempo en la teoría de la relatividad.

Si quieres pensar en algo más fácil de relacionar, la primera vez que vi números complejos divididos se usaban para calcular las mejores coincidencias para cada usuario en una aplicación de citas en línea:
Página en tsinghua.edu.cn

Answer 3

Pero los números imaginarios se hicieron necesarios de varias maneras en el desarrollo del álgebra. Más simplemente, ¿cuál es la solución para [matemáticas] x ^ 2 + 1 = 0 [/ matemáticas]. Entonces, los necesitábamos. ¿Cuál es el propósito de estos nuevos números que propone?