¿Cuál de los intervalos dados en los detalles de la pregunta contiene X cuando X = 1/1001 + 1/1002 + 1/1003 +… + 1/3001?

Answer 1

En un examen de opción múltiple, lo que debe buscar es una suposición rápida y sucia. En este caso, incluso podemos obtener una respuesta rápida y bastante limpia, que es aún mejor 🙂

Aquí, lo primero que debe notar es que esta suma está relacionada con los números armónicos, es decir, es [matemática] H_ {3001} -H_ {1000} [/ matemática]. Y como la suma de [matemáticas] 1 / n [/ matemáticas] es aproximadamente la misma cosa que la integral de [matemáticas] 1 / n [/ matemáticas], sabemos que [matemáticas] H_n [/ matemáticas] es aproximadamente [matemáticas ] \ ln n [/ math]. (Estoy usando [math] \ ln [/ math] para denotar el logaritmo natural).

Ahora, 3001 es significativamente más que [matemática] 1000e [/ matemática] (que es aproximadamente 2718).

Por lo tanto, [math] \ ln 3001> \ ln (1000e) = \ ln 1000 + 1 [/ math].

Y de manera similar, 3001 es significativamente menor que [matemáticas] 1000e \ sqrt {e} [/ matemáticas] (que es aproximadamente [matemáticas] 2718. \ sqrt {e} [/ matemáticas], y [matemáticas] \ sqrt {e}> 1.5 [/ matemáticas]).

Por lo tanto, [math] \ ln 3001 <\ ln (1000e \ sqrt {e}) = \ ln 1000 + 1.5 [/ math].

Se deduce que podemos estar seguros de que el valor exacto de la suma está entre 1 y 1.5.

Answer 2

La suma de Riemann de punto final derecho para [matemática] \ int_ {1000} ^ {3001} \ dfrac {1} {t} \, dt [/ matemática] usando [matemática] 2001 [/ matemática] intervalos de ancho uniformemente espaciados [matemática] 1 [/ math] es [math] \ sum_ {n = 1001} ^ {3001} \ dfrac {1} {n} [/ math].

Como [math] \ dfrac {1} {n} [/ math] está disminuyendo, una suma de Riemann de punto final derecho subestimará el valor de la integral. Por lo tanto, [matemáticas] \ int_ {1000} ^ {3001} \ dfrac {1} {t} \, dt \ ge \ sum_ {n = 1001} ^ {3001} \ dfrac {1} {n} [/ matemáticas] .

La suma de Riemann del punto final izquierdo para [matemática] \ int_ {1001} ^ {3002} \ dfrac {1} {t} \, dt [/ matemática] usando [matemática] 2001 [/ matemática] intervalos de ancho uniformemente espaciados [matemática] 1 [/ math] es [math] \ sum_ {n = 1001} ^ {3001} \ dfrac {1} {n} [/ math].

Como [math] \ dfrac {1} {n} [/ math] está disminuyendo, una suma de Riemann de punto final izquierdo sobreestimará el valor de la integral. Por lo tanto, [matemáticas] \ int_ {1001} ^ {3002} \ dfrac {1} {t} \, dt \ le \ sum_ {n = 1000} ^ {3001} \ dfrac {1} {n} [/ matemáticas] .

Pon estas dos desigualdades juntas para obtener:

[matemáticas] \ int_ {1001} ^ {3002} \ dfrac {1} {t} \, dt \ le \ sum_ {n = 1000} ^ {3001} \ dfrac {1} {n} \ le \ int_ {1000 } ^ {3001} \ dfrac {1} {t} \, dt [/ math]

[matemáticas] \ ln \ left (\ dfrac {3002} {1001} \ right) \ le X \ le \ ln \ left (\ dfrac {3001} {1000} \ right) [/ math]

[matemáticas] 1.0982792 \ le X \ le 1.0989456 [/ matemáticas].

Por lo tanto, la respuesta es (C) [matemáticas] 1

Answer 3

Intente agrupar cada 250 términos y encárguese …

(i) Límite inferior:
(1/1001 +… + 1/1250) + (1/1251 +… + 1/1500) +… + (1/2501 +… + 1/3000) + 1/3001> (1/1250 +… + 1 / 1250) + (1/1500 +… + 1/1500) +… + (1/3000 +… + 1/3000) + 0
RHS = 250/1250 + 250/1500 +… + 250/3000 + 0
= 1/5 + 1/6 +… + 1/12
= 1.01 (aprox.)
LHS> 1

(ii) Límite superior:
(1/1001 +… + 1/1250) + (1/1251 +… + 1/1500) +… + (1/2501 +… + 1/3000) + 1/3001 <(1/1000 +… + 1 / 1000) + (1/1250 +… + 1/1250) +… + (1/2500 +… + 1/2500) + 1/3001
RHS = 250/1000 + 250/1250 +… + 250/2500 + 1/3001
= 1/4 + 1/5 +… + 1/11 + 1/3001
= 1.19 (aprox.)
LHS <1.5

Respuesta (c)

Answer 4

Resultado = 1.098612

Código C utilizado:
#include
int main ()
{
doble X = 0, n;
para (n = 1; n <= 2001; n ++)
{
X + = 1 / (1000 + n);
}
printf (“Resultado =% lf”, X);
devuelve 0;
}

Answer 5

Buena respuesta.